Напряжения в эллиптических координатах

Обозначение напряжений в эллиптических координатах [c.21]

Напряжения в эллиптических координатах. [c.462]

НАПРЯЖЕНИЯ В ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ 46S [c.463]

Решения в эллиптических координатах. Эллиптическое отверстие в пластинке с однородным напряженным состоянием [c.197]

Взаимодействие волн с трещиной конечных размеров может быть исследовано в эллиптических координатах [5, 80]. Покажем, как задача дифракции антиплоской волны на конечной трещине сводится к системе дуальных интегральных уравнений [130]. Рассматриваемая трещина интерпретируется разрезом длиной 2а вдоль оси Ох] (рис. 6.5). В постановке антиплоской задачи ( 1 главы 1) перемещение w удовлетворяет уравнению Гельмгольца, а не равные нулю напряжения определяются формулами [c.133]

Анализ напряженного состояния образца с концентрацией напряжений выполнен в эллиптических координатах и, v, w [67]. Поверхность выточки образца совпадает с осью v = Vq (рис. 185), [c.263]

Теперь проанализируем, каким образом комплексные потенциалы характеризуют распределение напряжений вокруг концентраторов напряжений. Рассмотрим эллиптический надрез с применением криволинейной системы координат, описанной в гл. II, раздел 3. [c.50]

Поле напряжений в окрестности эллипсоидального включения. Пусть безграничное тело находится в условиях плоской деформации или плоского напряженного состояния. Положение каждой точки этого тела определяется декартовыми координатами j , у или одной комплексной координатой 2 = J + iy. Пусть это тело содержит упругое включение эллиптической формы, так что граница раздела различных упругих сред описывается уравнением [c.111]

Изложен разработанный приближенный метод определения концентрации упругих напряжений в сопряжениях с галтельными переходами. Метод использует эллиптические и гидродинамические криволинейные координаты соответственно для глубоких и мелких галтелей. Приведено сравнение результатов расчета с экспериментальными данными. [c.148]

Основные уравнения и граничные условия. Рассмотрим скольжение шероховатого эллиптического цилиндра по границе идеально-пластического полупространства в декартовых координатах х,у , связанных со скользящим цилиндром (рис. 1). При этом цилиндр и образующаяся перед ним стационарная пластическая область будут неподвижными, а полупространство — движущимся по положительному направлению оси х со скоростью скольжения V. Материал полупространства у О считаем несжимаемым идеально-пластическим, а цилиндр — абсолютно жестким и шероховатым. Координаты, напряжения и скорости перемещений будем считать безразмерными величинами, принимая длину дуги контакта ОА за характерную длину, удвоенное напряжение текучести материала при сдвиге 2/ = 1 за характерное напряжение и скорость скольжения цилиндра V = 1 за характерную скорость. [c.583]

Относительно простое решение задачи было построено А. И. Лурье [88], который представил функции Папковича и Нейбера в декартовых координатах и использовал только эллиптические интегралы, но не эллиптические функции. Для определения напряжений при этом также требуются трудоемкие численные процедуры. [c.296]

Динамическая контактная задача для случая чистого сдвига, рассмотренная в [3], изучалась также в работе Н. М. Бородачева I ], причем в 7 ] получено точное решение задачи, основанное на использовании эллиптических координат и функций Матье. Найдены формулы для определения касательных напряжений на площадке контакта, а также амплитуды, колебаний штампа и угла сдвига фаз между колебанием штампа и возмуш.ающей силой. [c.315]

Берега раскрывшейся трещины образуют эллиптический контур. Действительно, пусть плоскость растягивается напряжениями О22. При этом, как следует из соотношений (2.1.6), если точка, лежащая в начале координат, не смещается и плоскость не поворачивается, то на вещественной оси [c.80]

По результатам испытаний, полученным при различных сочетаниях переменных стих, строят диаграммы в координатах СТо — Та или в относительных величинах ста/ст и Та/т . Точки таких диаграмм определяют напряженные состояния, характеризуемые величинами Ста и Та при СЛОЖНОМ напряженном состоянии. Типичная диаграмма для конструкционных сталей, построенная по экспериментальным данным, показана на рис. 584 (кривая /). Она соответствует дуге окружности. Для высокопрочных сталей и чугунов экспериментальные данные располагаются ближе к эллиптическим дугам (рис. 584, кривая 2). [c.664]

На рис. XI. 19 в координатах а , т , т по уравнению (Х1.21) построена поверхность АВС (предельная), являющаяся частью поверхности эллиптического конуса, ось которого совпадает с осью. Если компоненты напряженного состояния в опасной точке детали являются координатами точки этой поверхности, то деталь разрушится от усталости. Поэтому поверхность АВС можно назвать предельной. [c.347]

Отсюда нетрудно найти напряжения как функции криволинейных координат р, 0 или декартовых координат х, у. В частности, на контуре эллиптического отверстия (р = 1) имеем [c.510]

Чтобы обобщить результаты исследований плоских задач на трехмерный случай, необходимо определить напряженное состояние в окрестности криволинейного фронта трещины. Ирвин [52] постулировал, что для эллиптической трещины состояние в окрестности вершины (фронта) является состоянием плоской деформации, и вывел выражение для соответствующего коэффициента интенсивности напряжений Ki. Позже гипотеза Ирвина была подвергнута проверке в работах [47,49], где было показано, что коэффициент интенсивности напряжений можно найти в виде некоторой функции локальных координат t, п, z, отсчитываемых по касательной и по перпендикулярам к фронту трещины, как показано на рис. 15 полное решение имеет вид [c.36]

Взаимодействие эллиптического отверстия и прямолинейной трещины.Пусть бесконечная плоскость ослаблена эллиптическим отверстием LqH прямолинейной.трещиной Lj. Отнесем контур Lo (обход против часовой стрелки) к декартовой системе координат хОу в которой форма эллипса определяется уравнением л = а os О, у = й sin 0, О 0 < 2я. Центр трещины находится на оси Ох в точке (d, 0). Разрез имеет длину 21 и образует угол а с осью Ох (см. схему на рис. 64). Берега трещины и край отверстия свободны от нагрузки, а на бесконечности тело сдвигается усилиями т так, что напряженное состояние в сплошном теле определяется функцией Fq (z) (VI.46). Комплексный потенциал F (z), согласна [c.213]

Пространственные контактные задачи для слоя с учетом сил трения в области контакта. Задачи L, L2. Пусть жесткий штамп в форме эллиптического параболоида, лежащий на поверхности Z = h слоя О Z h с модулем сдвига 0 и коэффициентом Пуассона и, находится под действием нормальной силы Р и тангенциальной силы Т, направленной вдоль оси Ох. Здесь (ж, у, z) — прямоугольная система координат, начало которой находится на нижней поверхности. Предполагается, что силы трения под штампом параллельны силе Т и штамп находится в условиях предельного равновесия и не поворачивается, а поверхность слоя z = 0 жестко соединена с упругим полупространством с другими упругими постоянными G2 и U2 (задача Li) или взаимодействует с ним без трения при условии равенства нормальных напряжений и перемещений (задача L2). Схема взаимодействия штампа со слоем, лежащим на полупространстве, изображена на рис. 7.1 на стр. 246. [c.27]

Экер ставит ряд условий для выбора криволинейной системы координат, позволяющей более правильно описать изменение температуры и напряженности поля вдоль оси ствола дуги в области сужения. Так, примененные координатные линии должны в начале области сужения идти параллельно оси, так как область сужения должна здесь переходить в ствол дуги. Сужение вначале должно идти сравнительно медленно, а вблизи катода — быстро. Далее, выдвигается требование, чтобы координатные линии сходились в одной точке (за поверхностью катода и вблизи от нее), так как степень сужения у катода нежелательно ограничивать. Этим условиям хорошо удовлетворяет система ортогональных гиперболических и эллиптических поверхностей вращения около оси дуги. [c.78]

По-видимому, эту систему надо отнести к новым системам дифференциальных уравнений смешанно-составного типа. Так, в локальной системе координат, связанной с главными напряжениями, изменение перемещений (скоростей перемещений) определяется дифференциальным оператором эллиптического типа вдоль второго главного направления, содержащим вторые частные производные от перемещений по координатам. А в поверхностях, ортогональных второму главному направлению, происходит привычное для плоской деформации описание перемещений (скоростей перемещений) с помощью дифференциальных операторов гиперболического типа две поверхности разрыва — линии скольжения (вещественные характеристики). По-видимому, эти особенности отражают физическую гипотезу Т. Кармана о сохранении упругой (квазиупругой) связи по второму главному направлению. [c.43]

Стационарное поле линий скольжения в пластической области при скольжении эллиптического цилиндра с границей контакта О А показано на рис. 1. Вследствие несжимаемости пластического материала точки О и В жесткопластической границы находятся на границе полупространства. На границе контакта принимаем напряжение контактного трения fi, которое представляет сопротивление сдвигу пограничного слоя, не превышающее напряжения текучести при сдвиге материала пластической области. При этом из третьего соотношения (4) для ортогональных координат, направленных по касательной и нормали к границе контакта, находим угол наклона 7 линии скольжения г] к границе контакта [c.584]

После решения уравнения (22) находим распределение нормального давления па границе контакта — <т из второго соотношения (4) в координатах, направленных по касательной и нормали к границе контакта. Затем интегрированием распределения нормальных и касательных напряжений находим вертикальную силу ТУ, горизонтальную силу Г и момент М относительно центра эллипса, которые действуют на эллиптический цилиндр со стороны пластической области [c.587]

Из рассмотрения формул (10.116) мы видим, что в случае эллиптического поперечного сечения, если сечение симметрично относительно оси, параллельно которой направлена изгибаю-ш,ая сила, появляющиеся при изгибе касательные напряжения, параллельные оси симметрии, распределены относительно этой оси симметрично и сводятся к одной равнодействующей, направленной по оси симметрии. Появляющиеся при изгибе касательные напряжения, перпендикулярные к оси симметрии, взаимно уравновешиваются. Поэтому момент обеих систем касательных напряжений относительно центра тяжести сечения, который лежит на оси симметрии и в котором взято начало координат, равен нулю [c.295]

Однако для случая тонких оболочек можно ограничиться приближениями порядка = О и Л/" = 1, Поэтому остановимся на них более детально. При этом для пластинки и сферической оболочки постоянной толщины полученные выше системы уравнений можно проинтегрировать в явной форме. Приближения порядка N = О соответствуют тому случаю, когда картины напряженного и деформированного состояния вовсе не зависят от координаты а , т, е, одинаковы вдоль поверхностей, параллельных срединной поверхности. Этот случай напряженного равновесия оболочки, по существу, является безмоментным. Но в приближении порядка Л = О, в отличие от классической безмоментной теории, мы получаем корректную систему дифференциальных уравнений, которая совместима со всеми (в данном случае с тремя) физическими краевыми условиями. Следует подчеркнуть, что здесь имеем эллиптическую систему уравнений, которая равносильна одному эллиптическому уравнению шестого порядка, а в классической безмоментной теории задача сводится к эллиптическому уравнению второго порядка. [c.276]

Растяжение линейно-армированной пластинки с эллиптическим (круговым) отверстием [4]. Линейно-армированная пластинка из стеклопластика на основе эпоксидно-малеинового связующего имеет эллиптическое (круговое) отверстие и растягивается напряжениями (Оа)- Система декартовых координат (х , х ) расположена в срединной плоскости пластинки, начало координат — в центре отверстия, волокна ориентированы по оси Ох, а — угол наклона направления напряжений ( а) к оси Ох . [c.349]

В Бышеуяомяяутой статье К. Иигяиса рассмотрело несколько другик частных случаев. В этой же статье даны также общие выражения для составляющих напряжения в эллиптических координатах. [c.201]

ОНО имеет в точках, определяемых координатами T = th = Когда эллипс очень узок, эти значения весьма велики и точки, в которых они действуют, близки к концам большой оси. Имеются решения для эллиптического отверстия в пластинке, находящейся под действием чистого изгиба в своей плоскостии параболического распределения касательных усилий, которое возникает в тонкой балке прямоугольного сечения ), для эллиптического отверстия с равными и противоположными по знаку сосредоточенными силами, приложенными по концам малой оси ), а также для жесткого и упругого включений, заполняющих отверстие в растянутой пластинке ). Рассматривались и более общие виды решений в форме рядов для действительной функции напряжений ф в эллиптических координатах ). Эквивалентные им комплексные потенциалы можно построить из функций, использованных или упомянутых здесь вместе с аналогом простых функций, приведенных в задачах на стр. 197, если необходимо учесть влияние дислокаций, а также сосредоточенных сил и моментов. Решение для общего случая нагружения эллиптического отверстия дается позже в 67—72. [c.204]

Методика расчета наибольших напряжений в эллиптических цилиндрах зависит от величины эллипсности. При большой эл-липсности определяющими будут напряжения изгиба, в сравнении с которыми мембранные напряжения пренебрежимо малы. Наибольшего значения напряжения изгиба достигают в точках с координатами ф = 90°. В точках с координатами ф = О и 180° они будут в два раза меньше. С уменьшением эллипсности напряжения изгиба уменьшаются и для цилиндров с сечением, близким к круговой форме, определяющими становятся мембранные напряжения. [c.204]

Эллиптическая трещина с взаимодейств5 щими поверхностями. Рассмотрим деформацию упругого пространства, ослабленного эллиптической в плане трещиной, под действием напряжений, заданных на бесконечности аД-. Уравнение эллиптической трещины в системе координат 1, Х2, Хз (ось Хз нормальна плоскости трещины) имеет вид [c.66]

Если в пределах поперечного сечения (при фиксированном значении а/6) провести линию через точки, координата у у которых составляет одинаковую долю от ширины 6 = 6 (х), то во всех точках этой линии (такие линии на рисунках в табл. 13.6 показаны штрихами) погрешность, даваемая формулой элементарного решения, оказывается одинаковой. Это свидетельствует об аффинной эквивалентности эпюр компонента касательного напряжения на всех линиях, параллельных нейтра.чьно 1. В табл. 13.7 помещены значения 1) — Ра /1у) для точек первого квадранта. Разумеется, приведенные выводы относятся именно к эллиптическому поперечному сечению. Однако некоторые бнаруженные закономерности проявляются и в других поперечных сечениях. [c.354]

Линиями постоянных значений а при изменении р от О до 2л являются со-фокусные эллипсы линиями постоянных значений Р — софокусные гиперболы. Эти два семейства кривых ортогональны. Схематично эллиптическая система координат представлена на рис. 8. Ее преимущество заключается в том, что путем соответствующего выбора констант можно придать эллипсу длинную и узкую форму, имитирующую внутреннюю трещину, или видоизменить пару гипербол, чтобы они соответствовали геометрической форме внешнего надреза. Напряжение сгар действует в тангенциальном направлении на элемент поверхности, нормаль которой ортогональна касательной эллипса. [c.21]

Для трехмерных задач необходимо определить три функции напряжений, как, например, в случае круглого отверстия в пластине конечной толщины. Нейбер [2] указал способ определения трех функций напряжений у концентраторов напряжений гиперболической или эллиптической геометрии, и в последнее время была сделана попытка решить задачу трехмерной трещины путем построения поля упругих напряжений вокруг четвертьбесконеч-ной трещины в полупространстве [29]. В данном случае интересно то, что если Oij выражено через сферические координаты г, 9, % уравнением вида [c.90]

Распределение внешней сипы по площадке контакта. Закон распределения давлений на площадке контакта имеет решающее значение для определения напряжений, размеров площадки контакта и сближений (деформаций) контактирующих тел. Для начального точечного касания нормальная сила F распределена по площадке контакта в виде эпюры давлений, представляющей полуэллип-соид (в частном случае - полусферу). Максимальное значение ро давление имеет в центре площадки контакта (см. рис. 2.14, а). Давление р, МПа, в любой точке эллиптической площадки контакта с координатами х, у может быть найдено из уравнения поверхности эллипсоида [c.168]

Остановимся подробнее на получении системы интегро-функциональ-ных уравнений контактной задачи. Использование принципа суперпозиции предполагает возможность получения аналитического решения краевой задачи динамической теории упругости с однородными граничными условиями в напряжениях для составляющих многослойную область с каноническим включением элементов. Таковыми являются однородный упругий слой, однородное упругое полупространство, полость в безграничном пространстве и упругое включение, граница которого тождественна границе полости. Решение задач для однородного слоя (полупространства) строится методом интегральных преобразований с использованием принципа предельного поглощения и может быть получено в виде контурного несобственного интеграла [2,4,14]. В зависимости от постановки задачи (пространственная, плоская, осесимметричная) получаем контурные интегралы типа обращения преобразования Фурье или Ханкеля [16]. Решение задачи для пространства с полостью, описываемой координатной поверхностью в ортогональной криволинейной системе координат, получаем в виде рядов по специальным функциям (сферическим, цилиндрическим (Ханкеля), эллиптическим (Матье)) [17]. При этом важно корректно удовлетворить условиям излучения, для чего можно использовать принцип излучения. Исключение составляет случай горизонтальной цилиндрической полости при исследовании пространственной задачи. Здесь необходимо использовать метод интегральных преобразований Фурье [16] вдоль образующей цилиндра и принцип предельного поглощения [3] для корректного удовлетворения условиям излучения энергии вдоль образующей. [c.312]

Данная геометрическая интерпретация проведена для рассматриваемого случая эллиптической трещины, в которой угол скольжения ф и напряжения не зависят от (xi, х2). Аналогично можно проанализировать и случай, когда имеется зависимость от координаты (Xi,X2) напряжений и угла скольжения, если рассмотрение проводить локально в данной точке (ХиХг)- [c.70]

Об упрощении уравнений Навье-Стокса. При решении стационарных задач эллиптический характер уравнений Навье-Стокса, а также большой объем вычислений, связанный с присутствием в них тензора вязких напряжений (особенно значительный в криволинейной системе координат в пространственном случае), заставляют искать пути использования более простых уравнений, описывающих основные характерные черты течений. Как уже отмечалось, одна из возможностей упрощения состоит в наличии преимущественного направления распространения возмущений. Таким свойством обладает целый ряд течений при достаточно больших числах Рейнольдса например, в ударном слое за отошедшей ударной волной, около удлинетых тел, в каналах и соплах при сверхзвуковых скоростях ядра потока и т.д. [c.174]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...