Навье — Стокса уравнения упрощения

Чтобы построить обозримые математические модели затрагиваемых течений, необходимо прибегнуть к ряду упрощений. Помимо пренебрежения инерционными членами в уравнениях Навье — Стокса, другие упрощения включают предположение о том, что все частицы сферические и имеют одинаковые размеры, [c.413]

Закончив на этом описание основных физических явлений, возникающих при течениях с очень малой вязкостью, и изложив тем самым в самых кратких чертах теорию пограничного слоя, мы перейдем в следующих главах к построению рациональной теории этих явлений на основе уравнений движения вязкой жидкости. В настоящей части книги (в главе III) мы составим общие уравнения движения Навье — Стокса, а во второй части сначала выведем из уравнений Навье — Стокса путем упрощений, вытекающих из предположения о малой величине вязкости, уравнения Прандтля для пограничного слоя, а затем перейдем к интегрированию этих уравнений для ламинарного пограничного слоя. Далее, в третьей части книги, мы рассмотрим проблему возникновения турбулентности (переход от ламинарного течения к турбулентному) с точки зрений теории устойчивости ламинарного течения. Наконец, в четвертой части книги мы изложим теорию пограничного слоя для вполне развившегося турбулентного течения. Теорию ламинарного пограничного слоя можно построить чисто дедуктивным путем, исходя из дифференциальных уравнений Навье — Стокса для движения вязкой жидкости. Для теории турбулентного пограничного слоя такое дедуктивное построение до сегодняшнего дня невозможно, так как механизм турбулентного течения вследствие его большой сложности недоступен чисто теоретическому исследованию. В связи с этим при изучении турбулентных течений приходится в широкой мере опираться на экспериментальные результаты, и поэтому теория турбулентного пограничного слоя является, вообще говоря, полуэмпирической. [c.53]

Упрощение системы уравнений Навье - Стокса. Точность упрощения уравнений Навье - Стокса во многом зависит от выбора системы координат. Если для описания внутренних течений используются декартовы (или цилиндрические) координаты, то это накладывает сильное ограничение на применимость упрощенных моделей. В частности, модель узкого канала, выведенная в декартовой системе координат, оказывается применимой для углов наклона стенок канала к оси, не превышающих 10°. [c.62]

Идеальная или невязкая жидкость является упрощенной моделью реальной (вязкой) жидкости. По предположению, идеальная жидкость имеет все свойства реальной, кроме вязкости, поэтому для получения уравнения ее движения можно применить уравнения Навье — Стокса, положив л = О . Тогда уравнения движения вязкого газа (5.8) и движения вязкой несжимаемой жидкости (5.9) упрощаются и принимают вид [c.99]

Главная трудность возникает при решении уравнений Навье— Стокса (2.29), (2.30), (2.31), которые представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. Кроме того, три уравнения содержат четыре неизвестных Wy, и р. Только при больших упрощениях эти уравнения удалось решить. Известны, например, решения [83] для плоскопараллельного и осесимметричного течения вблизи критической точки, возникшего при натекании жидкости из бесконечности на бесконечную стенку, поставленную поперек течения, и еще для нескольких простых случаев. [c.102]

Метод упрощения дифференциальных уравнений Навье —Стокса для второго предельного случая был разработан Прандтлем. В 1904 г. он представил доклад на эту тему Международному конгрессу математиков, собравшемуся в Гейдельберге. [c.103]

Для динамического пограничного слоя, который представляет собой весьма малую по размерам пространственную область, удается значительно упростить уравнения Навье —Стокса (см. гл. 2). Полученные после упрощения уравнения называют уравнениями динамического пограничного слоя. [c.104]

Сущность теории пограничного слоя состоит в упрощении уравнений, описывающих процесс теплообмена между твердым телом и омывающей его жидкостью (Навье —Стокса, сплошности и энергии), на основании применения их к малой пространственной области — пограничному слою и отыскании. методов решения, полученных после упрощения уравнений. [c.105]

Произведем упрощение уравнений Навье —Стокса (2.29, 2.30), имея в виду получить уравнения для исследования пограничного слоя. Сделаем это для простого случая плоского течения жидкости вдоль поверхности малой кривизны. Пусть контур тела совпадает с осью X, тогда система уравнений, описывающая движение жидкости, имеет вид [c.105]

В результате упрощений уравнений Навье —Стокса (7.4), (7.5) п неразрывности (7.6) получены уравнения, которые в размерных величинах имеют вид [c.108]

Расчетные формулы, полученные аналитически для ламинарного пограничного слоя при свободной конвекции, не всегда точно совпадают с экспериментальными данными. Например, при малых значениях чисел Грасгофа (Gr < 10 ) результаты, полученные по формулам, не совпадают с экспериментальными данными, так как в этом случае толщина пограничного слоя слишком велика по отношению к размерам тела, и уравнения пограничного слоя оказываются непригодными для описания реальной физической обстановки. В этом случае необходимо решать полную систему дифференциальных уравнений Навье—Стокса, неразрывности и энергии без каких-либо упрощений. Эта задача весьма трудоемка. [c.180]

Интегрирование упрощенных уравнений Навье — Стокса для ламинарного пограничного слоя около плоской пластинки, обтекаемой плоскопараллельным потоком вязкой жидкости, позволяет определить силу сопротивления пластинки [c.144]

Эти прикидочные оценки и послужили основой для упрощения уравнений Навье — Стокса в пограничном слое. После сохранения в (22.2) только конечных членов получаются следующие уравнения пограничного слоя [c.256]

Для выявления природы сил смачивания исследуют кинетику растекания жидкости по поверхности твердых тел. Обычно при этом изучают зависимость радиуса растекающейся капли от времени [1]. Трудности математического характера не позволяют найти точного решения задачи о кинетике растекания жидкости (краевая задача для уравнений Навье — Стокса), поэтому обычно рассматривают какую-либо упрощенную модель течения жидкости, для которой возможно получить зависимость г = / (т). Подобное упрощение [c.62]

Анализ проводится для описанного выше одномерного движения двухфазного потока кольцевого типа в плоском канале (рис. 1). Для упрощения анализа движение фаз предполагается ламинарным. Уравнения Навье—Стокса для течения жидкости в пленке и пара (газа) в центре канала в проекциях на оси прямоугольных координат X я у имеют вид [c.165]

В теории нестационарных течений есть еще много невыясненных вопросов. В виду пока непреодолимой сложности решения полной системы нестационарных уравнений Навье-Стокса нет законченной теории колеблющихся течений. Поэтому теория таких процессов, как правило, базируется на упрощенных моделях, достоверность которых проверяется экспериментально. [c.4]

Применяя обычные упрощения теории пограничного слоя и= - 0( 8), из уравнений Навье — Стокса получаем [c.27]

Рассмотрим упрощение уравнений Навье—Стокса и некоторые оценки, относящиеся к пограничному слою . [c.148]

При этих условиях уравнения Навье—Стокса упрощаются и переходят в уравнение ламинарного пограничного слоя (6.27). Точно такие же упрощения справедливы для уравнений Рейнольдса (7.14). В правой части первого уравнения можно ввиду малости отбросить производные скоростей по л , и тогда получим [c.165]

Второй путь упрощения относится к течениям при больших числах Рейнольдса. В этом случае можно воспользоваться методом сравнительных оценок членов, входящих в уравнения Навье — Стокса, и на их основе попытаться упростить исходную систему, опустив члены, которые имеют относительно малый порядок. Подобное упрощение было предложено Прандтлем в 1904 г. для области течения, расположенной непосредственно вблизи обтекаемой поверх- [c.151]

Упрощения уравнений Навье — Стокса, в частности для медленного течения [c.56]

Одним из общих путей упрощения уравнений Навье — Стокса при больших числах Рейнольдса является полное или частичное пренебрежение вязкими членами jiV v по сравнению с инерционными pv-Vv. Если полностью пренебречь вязкими членами и считать движение безвихревым, то получим уравнения потенциального течения, являющиеся основой классической гидродинамической теории [39]. Эта теория, к сожалению, не дает никакой информации о сопротивлении, испытываемом телами, помещенными [c.57]

Короче говоря, теория пограничного слоя включает в себя упрощенные уравнения Навье — Стокса, основанные на малости некоторых членов вблизи твердой поверхности, и надлежащего сращивания течения вблизи поверхности с внешним потоком. Эта теория применялась к задачам как турбулентного, так и ламинарного течения, и получено большое разнообразие решений 145, 38]. К сожалению, поток за обтекаемыми телами после точки отрыва не может рассматриваться в рамках теории пограничного слоя. Таким образом, не существует теоретической оценки сопротивления для обтекаемых тел при числах Рейнольдса, при которых оказывается возможным отрыв потока. [c.58]

Общее решение уравнений Навье — Стокса, которые являются нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка в частных производных, до сих пор еще не найдено. Однако можно получить много частных решений, вводя различные упрощения. Одна из основных целей первоначального курса механики жидкости — развить чутье к выбору надлежащего приближения для решения той или иной инженерной задачи. [c.123]

Понятия ползущего движения и течения в пограничном слое, данные выше, позволяют преобразовать уравнения движения таким образом, чтобы, приняв во внимание физические особенности этих видов течения, приближенно описать каждый из них. Такие упрощения облегчают получение аналитических решений важных задач в обоих случаях. Ограничиваясь рассмотрением изотермических движений несжимаемой жидкости, мы будем исходить из уравнений Навье — Стокса (6-28) и введем в них упрощения, -которые будут описаны ниже. [c.177]

В результате такого предельного перехода уравнения Навье — Стокса, составленные для всех подобластей, упрощаются, принимая тот или другой, зависящий от специфических особенностей движения в данной подобласти вид (уравнения Эйлера, уравнения Прандтля, уравнения медленного вязкого движения). Решения таких упрощенных уравнений, найденные для каждых двух смежных областей, сшиваются друг с другом. Наглядным примером может служить классическая теория пограничного слоя Прандтля. Предельный переход Ре —оо, что соответствует исчезновению вязкости (V 0), превращает уравнения Навье — Стокса в уравнения Эйлера. Но уравнения Эйлера не допускают интегрирования при граничных условиях, соответствующих прилипанию среды к поверхности твердого тела (нулевая относительная скорость на твердой поверхности). [c.701]

Некоторое практическое приложение уравнения Навье — Стокса получили в XIX в. лишь в гидродинамической теории смазки, развитой в самом конце века. Первые работы в этой области принадлежат Н. П. Петрову и О. Рейнольдсу Упрощения в систему уравнений Навье — Стокса вно- [c.71]

Главная трудность возникает при решении уравнений Навье— Стокса, которые представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. Только при очень больших упрощениях эти уравнения удалось решить. Известны, например, решения [88] для установившегося плоскопараллельного течения в канале, ограниченном двумя параллельными плоскими стенками, для установившегося течения в прямолинейной трубе с круглым поперечным сечением, для разгонного течения вблизи плоской стенки, ранее находившейся в состоянии покоя и внезапно начавшей двигаться в своей собственной плоскости с постоянной скоростью для разгонного течения в бесконечно длинной круглой трубе, которое образовалось под действием возникшего перепада давлений, для плоскопараллельного й осесимметричного течения вблизи критической точки, возникшего при натекании жидкости из бесконечности на бесконечную стенку, поставленную поперек течения, и еще для нескольких простых случаев. [c.117]

Метод упрощения дифференциальных уравнений Навье—Стокса для второго предельного случая был разработан Прандтлем. В 1904 г. [c.118]

Хотя приемлемость этих допущений может рассматриваться с точки зрения физики потока у стенки, как это сделано в п. 80, или проверяться экспериментальными измерениями, однако главным доказательством их обоснованности является совпадение эксперимента и теоретических расчетов. Значение допущений 3 , 4 и 5 становится понятным при получении с их помощью упрощенных форм уравнений Навье—Стокса. [c.286]

Примирение теории непрерывных переходов с теорией, в которой получаются и изучаются разрывные решения, обосновывается допущением о возможности получения разрывных решений в рамках данной простой модели как предела непре-рьшных решений той же задачи для последовательности усложненных моделей при непрерывном переходе коэффициентов в уравнениях движения усложненной модели к коэффициентам уравнений упрощенной модели. Например, при устремлении коэффициентов вязкости к нулю уравнения Навье — Стокса для вязкого газа переходят в уравнения Эйлера для идеального газа. [c.354]

Течение в пограничном слое может быть как ламинарным, так и турбулентным. В этой глазе расс.мотрим только ламинарный пограничный слой, теория которого основана на упрощенных уравнениях Навье—Стокса. Чтобы подойти к обоснованию предпосылок, позволяющих произвести эти упрощения, рассмотрим основные черты типичных случаев образования пограничного слоя. [c.357]

Интегрирование основной системы уравнений аэротермохимии (см. гл. 5) даже с помощью современных ЭВМ представляет собой весьма сложную задачу, связанную с большими затратами машинного времени. Поэтому представля ет интерес разумное упрощение этой системы, которое аналогично известному упрощению системы уравнений Навье— Стокса для вязкой несжимаемой нереагирующей жидкости сделанному впервые Л. Прандтлем (1904). [c.371]

Более ста последуюш их лет развитие науки о равновесии и движении жидкости происходило по двум различным направлениям. Одно направление развивалось по линии строгих математических решений, используя уравнения Эйлера и принимая при этом ряд допущений (Лагранж, Лэмб, Навье, Стокс, И. С. Громека и др.). Однако наличие ряда существенных упрощений не позволило использовать полученные этим методом результаты для решения конкретных практических задач. Это заставило ученых и инженеров прибегать к экспериментированию и на основании опытных данных создавать расчетные формулы для решения разнообразных гидравлических задач, выдвигавшихся бурно развивавшейся техникой (Шези, Буссинек, Дарси, Базен, Вейсбах, Дюпюи и др.). Таким образом, независимо от аэрогидромеханики практическая гидравлика продолжала свое развитие как опытная наука, опережая первую в целом ряде областей. Однако без наличия серьезного математического аппарата она, естественно, не в состоянии была обобщить данные сложного эксперимента. [c.7]

Даже в упрощенном виде теоретическая задача устойчивости установившегося обтекания тел конечных размеров не решена. Но представляется несомненным, что установившееся течение устойчиво при достаточно малых числах Рейнольдса. Экспериментальные данные указывают на то, что ламинарное течение устойчиво при достаточно малых числах Рейнольдса. Экспериментальные данные также свидетельствуют о том, что ламинарное течение всегда устойчиво в каналах с круговым поперечным сече нием вплоть до TVr = dUgl i = 2100, где d — диаметр трубы и С/ — средняя скорость. Однако когда приняты специальные меры по уменьшению возмущений на входе, ламинарные течения могут существовать при значительно более высоких числах Рей-нольдса. В случае обтекания потоком тел, помещенных в жидкость, критическое число Рейнольдса намного меньше, особенно для плохо обтекаемых тел, обтекание которых происходит с отрывом потока. При этом критические значения имеют порядок от 10 до 100 так, например [351, при поперечном обтекании цилиндра потоком жидкости незатухающее неустановившееся течение наблюдается при = d /p/ji =34, где d диаметр цилиндра. Критическое число Рейнольдса TVr = 17, при котором начинается отрыв потока при обтекании сферы, было найдено Дженсоном [291 его анализ основан на решении полных уравнений Навье — Стокса релаксационными методами. [c.57]

Таким образом, для сферического источника имеет место замораживание продольной температуры. Для цилиндрического источника такого замораживания не получается в отличие от более раннего весьма упрощенного анализа Брука и Омана [172]. Обнаруженное явление замораживания для сферического случая нельзя точно предсказать при помощи уравнений Навье — Стокса в гиперзвуковом приближении, так как решение, начинаясь по изэнтроне иа малых расстояниях от источника, в дальнейшем нарушает условие гиперзвукового течечшя, а котором оно основано. [c.425]

Произведем упрощение уравнений Навье—Стокса (П-29, П-30 и П-31), имея в виду получить уравнения для исследования пограничного слоя. Сделаем это для простого случая двумерного плоскопараллельного потока, обтекающего пластину. Расположим оси координат на передней кромке пластины, тогда уравнения неразрывности (II-7) и Навье—Стокса (И-29 и П-30) для двумерного потока несжимаемой р = onst жидкости имеют вид [c.120]

Природа течения вдоль твердой границы. В начале настоящего столетия предполагали, что между наблюдаемым движением жидкости и движением, предсказываемым теорией потенциального невязкого потока, мало общего. Несмотря на казалось бы приемлемость допущения, заключающегося в пренебрежении малой вязкостью обыкновенных жидкостей, воздуха и воды, теория не могла объяснить лобового сопротивления тел и таких часто наблюдаемых явлений, как формирование волн и отрыв потока. В 1904 г. в Германии была опубликована замечательная статья Людвига Прандтля, отца современной механики жидйости, не только указавшая истинную роль уравнений невязкого и вязкого потока в соответствии с характеристикой течения вдоль границ, но также показавшая, что упрощение равенств Навье—Стокса в соответствии с его допущениями значительно увеличивает число проблем вязкого потока, которые могут быть рассмотрены аналитически. [c.283]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...