Гармонический осциллятор функций

Как и во всех задачах, связанных с гармоническим движением, в нашем случае легко произвести квантово-механическое обобщение. В классической механике для одномерного гармонического осциллятора функция Гамильтона имеет вид [c.150]

Рис. 4.5. Функция Вигнера фоковского состояния т = 4) и соответствующие распределения по координатам и импульсам. Так как состояния с данным числом заполнения являются собственными состояниями гармонического осциллятора, функция Вигнера, как и распределения по координатам и импульсам, стационарны. Эти распределения получаются путём интегрирования функции Вигнера вдоль осей импульсов и координат, соответственно. Из-за осцилляций функции Вигнера вторичные распределения также осциллируют

Из уравнения движения (3.12) мы знаем, что в случае гармонического осциллятора функция Вигнера эволюционирует в соответствии с классическим уравнением Лиувилля. Поэтому временная эволюция функции Вигнера в квадратичном потенциале может быть записана как [c.144]

Система с одной степенью свободы — гармонический осциллятор. Функция Гамильтона имеет вид [c.349]

Переход к каноническим переменным действие—угол в большинстве случаев связан с вычислением интегралов, которые не выражаются через элементарные функции, и требуется привлечение специальных функций. Рассмотрим простой, но важный с точки зрения практики случай, когда процедура перехода к переменным действие—угол возможна в рамках элементарных функций. Речь пойдет о гармоническом осцилляторе, функция Гамильтона которого имеет вид [c.187]

Зависимость от времени координаты х гармонического осциллятора часто бывает удобно представить в виде действительной (вещественной) части комплексной функции [c.214]

Дифференциальные уравнения для функций yi представляют собой неоднородные уравнения гармонического осциллятора. Для каждого из этих уравнений могут возникать явления частотного резонанса при некоторых сочетаниях частоты ш с частотами правой части. При переходе частот через резонансные соотношения возможны существенные изменения закона движения. О [c.251]

При изменении t внутри пределов постоянства функции /(<) будет справедливо уравнение колебаний математического маятника, которое для малых амплитуд можно приближенно представить в виде уравнения гармонического осциллятора [c.251]

Пример 8.12.1. Функция Лагранжа гармонического осциллятора выражается формулой [c.613]

Пример 9.4.2. Кинетическая энергия и силовая функция гармонического осциллятора имеют вид [c.646]

Пример 9.5.1. Рассмотрим гармонический осциллятор с функцией Гамильтона [c.661]

Пример 9.7.4. Рассмотрим движение гармонического осциллятора с единичной массой. Его функция Гамильтона имеет вид [c.689]

Таким образом, переменная т] имеет смысл аргумента тригонометрической функции в законе движения гармонического осциллятора [c.690]

Составить функцию действия по Гамильтону для гармонического осциллятора. [c.701]

Так, при расчете совокупности гармонических осцилляторов, подчиняющихся классическим законам, Планк нашел для функции Кирхгофа выражение [c.699]

Фотонные состояния (состояния с определенным числом фотонов). До сих пор мы рассматривали только такие состояния квантованного поля, которые характеризуются определенным числом фотонов. Напомним, что к этим состояниям мы приходим, производя разложение поля на квантово-механические линейные гармонические осцилляторы. Указанные состояния м описывали в 0.3 волновыми функциями ф(Л/ а). В настоящем параграфе целесо- [c.299]

Газ идеальный 28, 79, 226—243 Гамильтона уравнения 184 — функция 184, 199, 210 Г-пространство 185 Гармонический осциллятор 243—246 [c.308]

У гармонического осциллятора волновые функции Ч (х) (27.16) являются четными при четном п и нечетными при нечетном п. [c.170]

I. Движением первого типа является такое, при котором q t) и p t) суть две периодические функции времени с одинаковым периодом. Такое движение характерно для колебательных систем, например для линейного гармонического осциллятора с одной степенью свободы. Для этих движений часто применяют [c.316]

Мы рассмотрели весьма частные случаи, когда специальная структура функции Гамильтона позволяет дать общий конструктивный способ построения общего интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Следует, однако, отметить, что указанные способы разделения переменных применимы к таким важным задачам механики, как задача о гармоническом осцилляторе, задача о движении физического маятника, задача двух тел, задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае Лагранжа и др. [c.365]

Пример 2 (Гармонический осциллятор частоты w). Функцию Га-Мильтона возьмем в виде [c.374]

Функция Гамильтона (32) отвечает механической системе, образованной п не связанными один с другим гармоническими осцилляторами их частоты рав- [c.396]

Движение линеаризованной системы представляет собой суперпозицию колебаний п гармонических осцилляторов с частотами бт/г , (/с = 1, 2,..., п). Если в разложении (44) формы при m 3 не равны тождественно нулю, то уравнения движения нелинейны. Чтобы исследовать движение в этом случае, упростим функцию Гамильтона (44) при помощи канонической замены переменных, носящей название преобразования Биркгофа. [c.399]

Периодические траектории. Составим функцию S для замкнутой периодической траектории. Для гармонического осциллятора 5 = 0, что и следовало ожидать, так как здесь мы имеем исключительный случай, когда величина а постоянна, имеет одно и то же значение для всех периодических траекторий. [c.282]

Условие метрической неразложимости существенно для постоянства функции ф (Р) в области Q. Простым примером, в котором это условие заведомо не выполняется, может служить гармонический осциллятор, рассмотренный в 22.10. Возьмем какую-либо концентрическую окружность радиуса Ri, О < i i < -Я, тогда область Q г R) разделится на две инвариантные области Qi (О С г < Ri) и Q2 ( i < -Я), каждая ненулевой меры. Как уже указывалось, в этом примере функция ф (Р) постоянна вдоль характеристик, но не постоянна во всей области Q. [c.450]

Если e = + 1, решение аналогичным образом выражается через гиперболические функции. В этом случае орбита — центральная гипербола. В специальных случаях (при обращении в нуль момента импульса) орбитой является прямая линия, проведенная через начало координат. Тогда в случае е = — 1 мы имеем простой гармонический осциллятор. [c.107]

Частица в потенциальном поле. Гармонический осциллятор. Пусть V xi, Х2, Х3) — потенциальная функция, и пусть [c.413]

Здесь s — номер фононной моды, — свободная энергия. Вычисляя матричные элементы на функциях гармонического осциллятора, а также суммы по Па, приходим К следующему выражению для скоростной константы [c.75]

Идеально-газовые функции рассчитаны в приближении жесткий ротатор — гармонический осциллятор [2.31, 0.42, 0.43, 0.45, [c.101]

Нетрудно видеть, что изменение электрического поля в поперечном направлении вдоль координаты х (или у) имеет вид ЯД )exp(- V2), где = Их/и. Эта функция хорошо изучена, поскольку она отвечает также квантовомеханической волновой функции и, ) гармонического осциллятора [4]. На рис. 2.4 графически представлены некоторые такие функции низшего порядка, нормированные на полную энергию пучка. [c.47]

ЗЛО) при подстановке в него вместо Ws величин Wi и W2. Функции, которые входят в формулу (ЗЛО), вводятся при решении задачи о квантовомеханическом гармоническом осцилляторе, и поэтому их называют функциями такого осциллятора [9]. Картина интенсивности света, соответствующая распределению поля (ЗЛО), определяется квадратом электрического поля. [c.38]

В гл. V при рассмотрении временных корреляционных функций и их спектральных представлений (для брауновского движения и, в частности, на примере гармонического осциллятора) мы уже вводили функции Грина (запаздывающие) и их спектральные (частотные) представления (Фурье). Там же были получены для этого случая дисперсионные соотношения (Крамерса—Кронига), соотношения Грина—Кубо и флуктуационно-диссипационная теорема Кэллена—Вельтона. [c.164]

Пример 27.1. Найти волновые функции стационарных состояний и уровни энергии гармонического осциллятора, находящегося в однородном электрическом поле напряжен-Н0С1И i. [c.173]

И является периодической функцией t, однако период его 1/vi несоизмерим с периодами других аналогичных множителей. Поэтому в целом эта функция не является периодической. В таких случаях говорят, что рассматриваемая функция является многопериодической или почти-периодической. (Такого рода функция уже встречалась нам при рассмотрении гармонического осциллятора с несколькими степенями свободы.) Рассмотрим, например, колебания точки, находящейся под действием восстанавливающих сил, направленных вдоль осей х и у. Эти координаты являются разделяющимися переменными, изменяющимися по гармоническому закону с частотами v и Vy. Повернем теперь систему координат на 45° вокруг оси z. Тогда мы получим новые координаты х, у, изменяющиеся по закону [c.324]

Этот результат верен при условии, что п — t ) не кратно л. Как мы знаем ( 15.6,-п. 2), в этом исключительном случае функции S не существует, если только не выполняется дополнительное условие xi = (—1) Хд (в противном случае S — О, ибо, согласно известной теореме, для любого целого числа иолупериодов гармонического осциллятора f = 1>). [c.281]

Если адиабатический гамильтониан описьтается выражением (6.8), то собственными функциями и собственными значениями (6.10) будут функции и энергии гармонического осциллятора. [c.71]

На рис. 2.4 представлен двухъямный адиабатический потенциал, рассчитанный по формуле (6.11), и найденные с его использованием энергетические уровни Ei и соответствующие им волновые функции ipi q). Энергетические интервалы между уровнями изображены в соответствие с расчетом. Волновые функции двух нижних уровней в каждой из ям напоминают функции гармонического осциллятора. [c.71]

Собственными функциями п) тамилътоняаяа. поперечного электромагнитного поля Hj служат функции гармонического осциллятора. [c.257]

Теплоемкость газообразного фреона-10 была измерена в 40-х годах (см. табл. 6), но в узком интервале температур. В некоторых случаях измерения оказались неточными (рис. 3). Поэтому при расчетах термодинамических свойств ССЦ предпочтение следует отдать калорическим данным, полученньш на основании обработки спектроскопических измерений. Термодинамические функции фреона-10 в идеально-газовом состоянии табулировали в нескольких работах [0.28 0.29 0.42 0.45 0.50 1 88 2.43]. В большинстве их расчет выполнен в приближении к модели жесткий ротатор — гармонический осциллятор, при- [c.28]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...