Разложение функций Случаи в ряды степенные

Для более сложных случаев краевых условий возможны решения путем разложения в ряды по степеням малого параметра [114] и разложения по фундаментальным балочным функциям с применением вариационных методов [68]. [c.268]

Из сказанного следует, что анализ критического состояния, основывающийся на представлении термодинамических функций в окрестностях критической точки в виде рядов, является в некоторой степени спорным его применение может быть оправдано только совпадением теоретических выводов с данными опыта. Это совпадение, наблюдающееся в ряде случаев, и надежда на то, что и некоторые другие выводы будут подтверждены опытом, собственно, и являются основанием для использования метода разложения термодинамических функций в окрестностях критической точки в ряд. [c.243]

Подставив ряды (6.156) в уравнения (6.153) и сократив тригонометрические функции, приведем задачу к трем однородным алгебраическим уравнениям с тремя неизвестными для каждого члена разложения. Приравняв нулю детерминант этой системы, найдем определяющее уравнение для частоты собственных колебаний Для более сложных случаев краевых условий возможны решения путем разложения в ряды по степеням малого параметра [74] и разложения по фундаментальным балочным функциям с применением вариационных методов [14]. [c.189]

Вместо е мы берем здесь разложение этой функции в ряд Мак-лорена, ограничиваясь первыми тремя членами, так как четвертый и следующие члены имеют степени X выше второй и потому отбрасываются.) В таком случае получим [c.64]

Тождественность этих рещений может быть доказана несколькими путями 1) использованием свойств тэта-функций [30, 31] 2) с помощью преобразования Лапласа в этом случае решения типа (10.3) получаются в результате применения теоремы обращения, а решения типа (10.2) — в результате разложения изображения в ряд по отрицательным степеням показательных функ- [c.268]

Этот результат весьма полезен с математической точки зрения, так как ясно показывает причину непригодности как Я-разложения, так и вириального разложения. Действительно, поскольку Ид из этого результата следует, что главная поправка к свободной энергии имеет порядок Наличие полуцелых степеней указывает на то, что свободная энергия плазмы не является аналитической функцией Я, или п. Начало отсчета в обоих случаях (Я = О или га = 0) является точкой ветвления функции Ос (Я, га). Следовательно, эту функцию нельзя разложить в ряд Тейлора вблизи начала отсчета именно такой результат мы и получили. [c.251]

Для исследования менее тривиальных случаев рассмотрим решения с разделенными переменными, которые обсуждались в разд. 8 гл. IV. Если такое решение записано в форме (IV. 8.1), то ясно, что ряд Чепмена — Энскога будет сходиться или нет в зависимости от того, сходится или нет разложение со = со (к) (о)(0)= 0) в ряд по степеням к . Согласно результатам разд. 8 гл. IV, можно утверждать, что сходимость имеет место для твердых сфер, если к достаточно мал, и предполагать, что сходимость отсутствует для потенциалов с обрезанием по углу. Можно также предполагать, что для твердых сфер радиус сходимости по к не бесконечен. Сходимость для к < во, очевидно, означает сходимость разложения Чепмена — Энскога для очень ограниченного типа зависимости от координат все производные от параметров течения должны быть равномерно ограничены по порядку величины, а это значит, что они являются не только аналитическими, но также и целыми функциями. [c.279]

В общем случае задания и (х), как некоторой произвольной функции, уравнения в частных производных (89) не могут быть сведены к обыкновенному. Существующие методы интегрирования уравнений (89), основанные на разложении и х) в степенной ряд и разыскании неизвестных функций и и V также в виде степенных рядов, сложны с вычислительной стороны и мало точны. В последнее время широкое практическое применение получили приближенные методы, сводящие решение общей задачи к вычислению простых квадратур. Изложению этих методов и посвящен настоящий параграф. [c.549]

Разлагая решения уравнений движения в ряды по степеням малого параметра г/, можно убедиться в том, что коэффициент при г/ в разложении функции J не равен тождественно нулю. Стало быть, в общем случае J 0, и, следовательно, множество D (конгруэнтное с D ) является двумерной областью. [c.217]

Остановимся ещё на частном случае малого угла раствора диффузора. В этом случае результат значительно упростится, если функции, входящие в формулу (17.32), разложить в ряды по возрастающим степеням 6 и а и ограничиться главными членами полученных разложений [c.470]

В качестве начального приближения корня ро при расчете термодинамических свойств воздуха и компонентов на докритических изотермах принималась плотность кипящей жидкости, а для сверхкритических температур — минимальное значение плотности, до которого справедливо уравнение состояния. Затем корень уточняли по методу Ньютона [79], основанному на разложении функции f (р) Р Т, р) — р = О при заданных Г и р в ряд Тейлора в окрестностях точки Рт по степеням поправки к. В нашем случае достаточно было ограничиться тремя членами ряда и определить по формуле [c.32]

Когда динамическая система является аналитической, так что функции Р х, у) и Q х, у) разлагаются в ряды по степеням хну, можно выделить случаи, в которых исследование характера состояния равповесия удается провести полностью. При этом мы получаем критерий того, что состояние равновесия является фокусом. В этом исследовании фигурируют члены разложения правых частей степени выше первой ). [c.182]

Однако если г а, то степени отношения а/л весьма быстро убывают при возрастании показателя п, а поэтому практически можно добиться, чтобы разложения (14.117) и (14.119) совпадали с достаточной степенью точности. Вследствие этого для приближенного изучения движения точки Р в гравитационном поле тела с силовой функцией (14.117) можно в ряде случаев пользоваться формулами, получаемыми при решении задачи двух неподвижных центров. [c.789]

Вычисление ц/ 1. Найдем теперь разложение возмущающей функции В случае преобразования 30 эта функция зависит только от координат х. Эти координаты в силу 69 разлагаются в ряды по степеням и т]. Будет ли разложение функции ц/ иметь тот же вид [c.93]

Преимущества метода. Изложим теперь метод Лагранжа составления уравнений движения. Этот метод имеет ряд преимуществ. Он приводит к уравнениям движения, не содержащим реакций, н поэтому особенно удобен для исследования движений нескольких тел, соединенных между собой. Он также дает нам большой выбор величин, которые можно принять в качестве координат. Кроме того, как только составлена функция Лагранжа, из этой одной функции можно вывести все уравнения движения вместо того, чтобы выводить каждое из них из отдельных общих теорем механики. С другой стороны, эта функция при исследовании малых колебаний должна быть вычислена с точностью до квадратов малых величин, ибо в этом случае в уравнениях движения удерживаются только первые степени малых величин. Поэтому, когда число уравнений движения невелико, часто более удобно получать их в результате разложения сил и вычисления моментов. [c.397]

Когда источником возмущения является колебание твердого тела параллельно его оси вращения, то различные сферические функции сводятся к простым кратным зональной функции Р ([а), которую можно определить как коэффициент при е в разложении (1—по восходящим степеням е. (Вид этих функций приведен в 334.) Когда же твердое тело симметрично не только относительно оси, но также симметрично и относительно экваториальной плоскости (пересечение которой с осью принято за начало координат), то разложение получающегося возмущения по сферическим функциям будет содержать только члены нечетного порядка. Так, например, если колеблющимся телом является круглый диск, совершающий колебания перпендикулярно к его плоскости, то разложение будет содержать члены, пропорциональные ([х), Р-з(Н ), и т. д. В случае сферы, как мы видели, ряд сводится полностью к первому члену, и этот член вообще будет преобладающим, [c.241]

В этом случае в функции Q можно ограничиться первым членом разложения, равным Ql = (р) 0 (р), так как ряд, представляющий ( , расположен по степеням малого параметра к (уточнение условий, при которых можно ограничиваться первым членом в Q, будет проведено ниже). Произведем вычисления для корреляционной функции 5, (р) = где а = <81> и a" — [c.480]

В случае малых значений разности (v — ) функцию распределения п можно разложить в ряд по степеням этой разности. Нулевой член разложения обращает интеграл правой части в нуль. Первый член разложения дает [c.18]

В предыдущем параграфе мы нашли, что координаты в эллиптическом движении являются голоморфными функциями эксцентрической аномалии, и что эксцентрическая аномалия зависит от двух величин, а именно, от эксцентриситета орбиты С и средней аномалии планеты I. Во многих случаях, в частности, при определении элементов орбит планет из наблюдений, делаются попытки использовать разложения координат в ряды по степеням средней аномалии, и, следовательно, определение радиуса сходимости этих разложений имеет большое практическое значение. Так как [c.477]

С физической точки зрения это разложение весьма удобно в случае локализованных волновых функций. Такими функциями описываются валентные электроны молекул жидкостей и газов, групп молекул в твердых телах и локализованных парамагнитных ионов. Матрицу плотности можно разложить в комбинированный ряд по степеням Е, Н и УЕ. Средние значения электрического дипольного момента, магнитного дипольного момента и электрического квадрупольного момента можно представить в виде суммы фурье-компонент, каждой из которых соответствует комбинированный ряд по степеням амплитуд электрического и магнитного поля и их градиентов. Эта процедура не представляет принципиальных трудностей, но довольно громоздка. Члены, связанные с магнитным дипольным и электрическим квадрупольным моментами, описывают генерацию второй гармоники в кристаллах с центром инверсии экспериментально этот эффект наблюдался в кальците. Полный перечень всех квадратичных членов для электрического диполя, магнитного диполя и электрического квадруполя недавно был дан Адлером [13]. [c.79]

В дополнение к членам, входящим в С, которые получаются из разложения в ряды вторых членов левых частей уравнений (109), необходимо разложить частные производные возмущающей функции в ряды Тэйлора по степеням значения Ло этой возмущающей функции, которое получается в том случае, когда для координат обеих планет подставлены невозмущенные эллиптические значения. Поэтому, если мы ограничиваемся величинами второго порядка относительно возмущающих сил, то [c.346]

Асимптотические разложения специального вида, позволяющие построить собственные функции и вычислить собственные значения в задаче устойчивости пограничного слоя при больших числах Рейнольдса, дают возможность в качестве следствия не только определить поведение нейтральных кривых, но и уточнить характер изменения инкремента нарастания возмущений в наиболее интересных областях, заключенных между упомянутыми кривыми. Более того, применением асимптотических подходов, где малыми параметрами служат отрицательные степени числа Рейнольдса, удается найти аналитическое выражение для дисперсионного соотношения, полезное для качественного, а в ряде случаев и количественного (как показывает сравнение с экспериментом) анализа линейных возмущений в пограничном слое. [c.112]

Начнем с метода, аналогичного разложению неизвестной функции в ряд по степеням независимых переменных. При этом мы ограничимся рассмотрением лишь пространственного характеристического функционала поля скорости Ф [0 (х, i)] (или его спектральной формы [г(й), i]). В таком случае аналогом разложения в ряд по степеням независимых переменных будет представление искомого функционала Ф в виде функционального степенного ряда [c.641]

В гл. 1 показано, что при решении обратной задачи теории сопла в случае изоэнтропического пространственного течения нереагирующего газа нужно задавать на начальной поверхности 113=11)0 функции г=Го (5, 0) и = Мо (5, 0), а на начальной плоскости 5 = = 5о — функции йУ = йУо (0, г] ) и ф = ф (0, г) ). Решение соответствующей задачи Коши можно получить в виде рядов. Способы представления решения в виде рядов могут быть различными разложения в ряд по степеням декартовых координат, по отрицательным степеням радиуса кривизны минимального сечения, по степеням функции тока. Отличительной особенностью является то, что разложение в ряд производится только в трансзвуковой области. В работе [27] решение отыскивается в виде ряда по степеням функции тока в окрестности начальной поверхности для до-, транс- и сверхзвуковой области течения. [c.70]

Если в этих вторых членах напишем вместо у, у, у", р, , г их значения в функциях времени и если, рассматривая 1 в окрестности и, разложим их в ряды по степеням — ( , то непосредственно видим, что члены с отрицательным показателем могут войти в это разложение только в двух следующих случаях- [c.44]

Ряд Тейлора представляет собой частный случай ряда Ли — Гребнера, когда D = a/dz. В этом частном случае формула (6) дает разложение функции / (2 + /) в ряд Тейлора по степеням [c.199]

Выражения (5.89) совпадают с аналогичными выражениями, полученными в работах [4, 12, 98] методом разложения в ряд по малому параметру решения исходного уравнения и преобразованием Лапласа. Преимуществом изложенной методики является то обстоятельство, что она без принципиальных трудностей переносится на системы со многими степенями свободы, нелинейные системы и позволяет определить требуемые вероятностные характеристики обобщенных координат. При этом охватывается случай исследования устойчивости динамических систем, содержащих перекрестные нелинейные связи. Отметим, что при Sj ( 2) = onst результаты совпадают с данными работы [108]. Исследование частных случаев (5.73) в детерминированной постановке задачи для комбинационного резонанса описано во многих работах [10, 19, 95 и др. ]. Приведенные выше результаты показывают, что, как и в детерминированном случае, спектр частот, при которых возникают параметрические колебания, состоит из ряда малых интервалов. Длины этих интервалов зависят от амплитуды возмущений и стягиваются к нулю, когда амплитуда стремится к нулю. При этом возрастание амплитуды колебаний системы происходит по показательному закону. Выражение (5.89) в этом случае определяет степень опасности комбинационного резонанса, когда спектральные плотности параметрических возмущений соответствуют, например, сейсмическим воздействиям в виде многоэкстремальных функций несущих частот, что особенно часто встречается на практике. [c.219]

Частная производная (др1дТ) в общем случае есть функция объема и температуры. Разложим ее в околокри-тической области в ряд по степеням v — v) и — Т). Ограничиваясь членами разложения порядка не выше второго, будем иметь [c.22]

В этом случае компоненты интенсивности пульсаций, отнесенные к осреднеи-ной продольной скорости V2, пришмают на оси экстремальные значения [86]. Опираясь на уравнения для Ц V, введем скалярный потенциал = (х,> ,г), см. п. 1.2.1. Полагаем, что функции /7, V, IVq, И , р, t], А, С, ии, Ti" и т. д., характеризующие осредненное течение, в новых переменных явно от времени не зависят д<р Iд = Q), и аргументами для них являются х, . Уравнения пульсационного движения определяют м, и, и о, w,, р, зависящие от аргументов X, t. Решение построено в виде разложений искомых функций в ряды по степеням < О < < , < 1 с, —> О, > -со, О2 - 0,р р . Уравнения д.чя коэффициентов этих рядов решены методом дифференциальных операторов все подробности аналитического алгоритма даны в [24, 25]. В результате пол> чепо локальное решение, характеризующее квазистационарное турбулентное течение вдоль оси симметрии канала. Обсудим свойства этого решения. [c.38]

Заметим, что для максвелловского распределения он тон Дествен-но обращается в нуль. В связи с этим в интересующем нас случае неоднородного распределения плазмы в направлении поперек магнитного поля можно искать решение уравнения (38.1) в виде ряда по обратным степеням магнитного поля. Тогда для определения членов разложения функции распределения [c.139]

Как отмечалось выше, проведенное доказательство содержит логическую брешь . Действительно, мы не доказали, что выражение (5.14) применимо для молекул, начинающих взаимодействовать. Было сказано лишь, что оно имеет смысл , ибо две сталкивающиеся молекулы являются как раз двумя случайно-выбранными молекулами из бесконечного (при N- 00) множества. Как это ни странно, упЪмянутая брешь не следует иа неполноты наших представлений, а обусловлена скорее сущностью-явления. В самом деле, насколько нам известно, никто не-предложил удовлетворительного доказательства гипотезы хаоса (было разработано много формальных доказательств, базирующихся на разложении 7 -частжчной функции распределения в степенной ряд по времени столкновения, однако они едва ли могут рассматриваться как удовлетворительные). И все же мы верим, что удовлетворительное доказательство можно построить на основе двух предположений — об очень большом числе молекул (М -> оо) и о пренебрежимо малом радиусе взаимодействия (а ->-0),— если их последовательно применять с самого начала, как было сделано в случае теплового равновесия. Заметим, что> стремления к пределам N- 00 и а 0) не независимы, так как N0 должно оставаться конечным (ТУ а — порядок величины правой части уравнения (6.11)). Чтобы дать представление об осуществимости этого положения, отметим, что при N 10 и (Г - 10 " см будет N(У 10 10" см = 1 м , Т. е. величина порядка площади макроскопической поверхности, в то время как, например, N0 порядка 10 10" см = 10" см = 10" м , т, е. пренебрежимо мало по сравнению с обычными макроскопическими объемами N0 — параметр, который служит мерой порядка величины отброшенных членов они становятся все более и более важными по мере увеличения плотности газа). [c.41]

Таким образом, в расматриваемом случае для всех трех газов поток будет замедленным. При других значениях показателя степени ( —1)/(3—Ък) уравнение (6-149) можно интегрировать разложением в ряд. На рис. 6-13 изображены функции и ) и и1 х) при различных значениях / [величина VI определялась по формуле (6-111) при С=1, величина М1 — по формуле (6-152) при г= 1]. [c.225]

Естественно, что научные вопросы составляют если не наибольшую по объему, то, во всяком случае, наиболее существенную часть переписки. И здесь, прежде всего, необходимо отметить, что, несмотря на достаточное разнообразие затрагиваемой в переписке научной тематики, есть одна доминирующая тема, к которой чаще всего обращается Софья Васильевна — это вопрос об интегрировании уравнений при помощи аналитических функций, главным образом при помощи абелевых функций, и прежде всего вопрос об интегрировании уравнений движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки — это задача, прославившая С. В. Ковалевскую. Школа Вейерштрасса — это, конечно, школа теории функций комплексного переменного здесь разбираются и изучаются общие теоремы и общие методы теории, идет сравнение методов самого Вейерштрасса, алгебраизированных методов, основанных на систематическом применении степенных рядов, и методов, основанных на теоремах Коши это работы Миттаг-Леффлера , юного Рунге, начинающего Гурвица. А кстати изучаются вопросы об области существования аналитических функций, о разложении функций в ряд — это работы Бендиксона, Фрагмена. [c.17]

Имеется аналогия между преобразованием Лапласа и степенными рядами [29]. Как известно, степенной ряд сходится в некотором круге — круге сходимости. Радиус круга сходимости равен расстоянию от точки, относительно которой идет разложение в ряд, до ближайпхей особой точки разлагаемой функции. Интеграл, представляющий (одностороннее) преобразование Лапласа, вообще говоря, сходится в полуплоскости комплексной плоскости, лежащей справа от некоторой прямой, параллельной мнимой оси. Ясно, что на прямой, являющейся границей сходимости интеграла, обязательно лежит особая точка преобразования как функции комплексного аргумента. Сказанное не означает, что преобразование имеет смысл только там, где сходится интеграл (как и в случае рядов). Часто функцию можно аналитически продолжить, иногда на все точки комплексной плоскости, кроме некоторых, особых. [c.106]

В общем случае, когда а =f=0, кривая (4.12) имеет приф = О единственную особую точку. Характер этой особой точки можно выяснить путем разложения функций хи у в степенной ряд по-ф в окрестности значения -ф = 0. [c.78]

Асимптотические выражения, рассмотренные выше, становятся сингулярными, когда Л" (5, ) = О или стационарная точка подходит близко к граничной. Для того чтобы избавиться от этих сингулярностей и получить асимптотически правильное представление дифракционного интеграла, мы можем заменить его сравнительным интегралом, который в асимптотическом представлении, приведенном в предыдущем разделе, имеет те же самые сингулярности. Этот интеграл обычно выбирают из класса известных специальных функций, таких, как комплексный интеграл Френеля функция Эйри Ai(л ) или функция параболического цилиндра В окрестности тех значений параметров, для которых обычное разложение расходится, дифракционный интеграл нужно представить в виде произведения сравнительного интеграла на асимптотический ряд, который принимает конечное значение при выполнении условия сингулярности. В большинстве случаев точное вычисление суммы ряда не требуется, так как сравнительный интеграл с достаточной степенью точности равен искомому полю, что, однако, верно лишь до тех пор, пока мы находимся достаточно далеко от критических областей, так что обычные разложения справедливы. Иными словами, выражение, полученное с помощью сравнительных интегралов, постепенно и непрерывно переходит в ряд Лунеберга — Клейна. Поэтому представление, основанное на сравнительных интегралах, называют однородным, а соответствующий подход — однородной асимптотической теорией, В следующих разделах мы рассмотрим наиболее интересные частные случаи. [c.353]

Природа фазового перехода в сегнетоэлектриках ). Можно построить последовательную термодинамическую теорию поведения сегиетоэлектрических кристаллов, исходя из разложения энергии как функции поляризации Р в ряд по степеням Предположим, что функция Ландау ) для плотности свободной энергии Р (в одномерном случае) формально представлена степенным рядом вида [c.500]

В более общем случае однородной, но не изотропной - урбулентиости законы сохранения (15.14) и (15.16) переходят в целое семейство подобных законов. В самом деле, предположим, что функции Fij k), Fa,] k) и Fpi k) допускают разложение в ряд Тэйлора и представим в виде степенных рядов все члены тензорного уравнения (14.10) [c.134]

Метод эталонных задач позволяет сделать следующий шаг и получить не только главный член асимптотики, но и все последующие. В главе 10 основное внимание уделяется построению асимптотических разложений для функции Грина в пограничном слое, примыкающем к отражающей поверхности 5. На поверхности 5 может быть поставлено любое из краевых условий (3) —(5), при этом без каких-либо специальных предположений относительно ц М) в случае смешанного краевого условия. Наиболее подробно рассматривается случай условия Дирихле. Построенные в главе 10 разложения представляют собою достаточно простые формальные ряды по дробным степеням волнового числа к. Однако за пределами пограничного слоя эти разложения в исходной форме неприменимы. Для получе- Ния формул, пригодных за пределами пограничного слоя, требуется выполнить переход от координат пограничного слоя к так называемым эвольвентным координатам. На этом пути получены и выписаны асимптотические формулы, справедливые с погрешностью 0(й"2/з) дд любом расстоянии от границы препятствия. [c.17]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...