Тэта-функции

Дальше определяются неизвестные функции <р (Ро) я Ро) из граничных условий (6-4-38) — (6-4-41). Дифференцируя (6-4-43) по X и заменяя вторую производную по X от тэта-функции вз ее производной по Ро, получим [c.256]

Ряд (3.6) можно также выразить через тэта-функции [3]. [c.101]

Тождественность этих рещений может быть доказана несколькими путями 1) использованием свойств тэта-функций [30, 31] 2) с помощью преобразования Лапласа в этом случае решения типа (10.3) получаются в результате применения теоремы обращения, а решения типа (10.2) — в результате разложения изображения в ряд по отрицательным степеням показательных функ- [c.268]

Здесь 0 8( , у) —тэта-функция, [c.276]

Используя свойства тэта-функций, нетрудно показать, что [c.115]

Используя фурье-представление тэта-функции [c.415]

Нетрудно убедиться, что решения одномерных задач теплопроводности с пространственной координатой, изменяющейся в конечном интервале, с граничными условиями первого и второго родов на концах этого интервала могут быть выражены в виде линейных комбинаций интегралов и производных от следующих рядов, играющих важную роль в теории теплопроводности и других разделах анализа и имеющих специальное название тэта-функции [c.570]

Прежде чем применить формулу Пуассона для преобразования тэта-функций, запишем ее в несколько иной форме, вводя функцию g n) согласно соотношению [c.572]

Аналогичные соотношения могут быть получены и для остальных тэта-функций [c.573]

Комментарии. 1. Как правило, но отнюдь не всегда, для разделяющих переменных уравнения движения могут быть представлены в форме Абеля -Якоби (7.11). Известно, что любое решение для таких уравнений может быть представлено в тэта-функциях (более формально — линеаризировано при помощи преобразования Абеля на якобиане гиперэллиптической кривой). Со всеми подробностями такую линеаризацию впервые выполнила С. В. Ковалевская для открытого ею случая. Она воспользовалась при этом только что разработанной [c.81]

Особыми аналитическими приемами, позволившими найти разделение переменных для ряда задач динамики твердого тела, включая неголономные системы, в совершенстве владел С. А. Чаплыгин. Известные работы С. В. Ковалевской [86, 87] также до сих пор остаются образцом непревзойденного аналитического мастерства. В двадцатом столетии техника точного интегрирования нахождения разделяющих преобразований была частично утеряна, а ее место заняла общая процедура интегрирования с помощью методов обратной задачи рассеяния и нахождений представлений Лакса. В этом подходе считается, что задача является решенной, если предъявлено коммутационное представление Лакса (см. [31]) со спектральным параметром, позволяющим в принципе получить общее решение в тэта-функциях. С точки зрения алгебраической геометрии здесь идет речь о возможной линеаризации потока на многообразиях Прима (Якоби) и, исходя из анализа полюсных разложений дивизоров), делается вывод о возможности представления решения в функциях Римана, Бейкера - Ахиезера и пр. [c.83]

Отметим только, что решение в эллиптических функциях для системы (2.9) получается только при линейной и квадратичной зависимости потенциала (или обобщенного потенциала) от компонент 7 (соответственно, М, 7). В остальных случаях гироскопическая функция представляет собой полином степени выше четвертой и решение на комплексной плоскости времени уже является ветвящимся. Между тем методы качественного анализа, изложенные в гл. 2, способны описать движение с достаточной полнотой. Это еще раз подчеркивает бесперспективность явного интегрирования таких систем в тэта-функциях (включая и классический волчок Лагранжа), не способного ничего дать для исследования действительных движений. [c.235]

В работе [48] получены также явные формулы для точек ударов в тэта-функциях. [c.295]

Для четырехмерного волчка соответствующее семейство первых интегралов можно явно выписать, пользуясь результатами 2 гл. 3. В работе [53] обсуждаются также вопросы получения общего решения в тэта-функциях. [c.295]

В этом параграфе собраны основные приемы явного решения интегрируемых случаев динамики твердого тела. При этом мы ограничиваемся указанием разделяющих преобразований (которые, вообще говоря, связаны не только с конфигурационным, но и со всем фазовым пространством), а не приводим всю процедуру интегрирования, связанную в динамике твердого тела с обращениями абелевых интегралов и манипуляциями с тэта-функциями различных видов. [c.304]

Тэта-функции определяются соотношениями [c.365]

Связь между тэта-функциями и эллиптическими функциями Якоби дается равенствами [c.366]

Представление функций Якоби через тэта-функции является одним из наиболее эффективных способов вычисления их значений, поскольку разложения тэта-функций обладают очень быстрой сходимостью (п-й член имеет порядок [c.366]

Тэта-функции 365 Тяга импульсная 717 [c.860]

Замечание 2. Уравнение (10.5) для практических вычислений удобнее представить в вещественной форме, не переходя к тэта-функциям [150] [c.165]

В (15.1.6) функции 8п, СП, с1п выражены через тэта-функции Я, Яр 0, 0р Из (7.8.5) и (7.8.3) тогда следует [c.107]

Тэта-функции являются целыми (т.е. всюду аналитическими), поэтому [c.107]

Подстановка (10.4.22) в (10.4.21), при которой тэта-функции в знаменателях сокращается, дает [c.216]

Как следует из выражений (15.2.3а) и (15.2.4), тэта-функции 0(w) и Щи) удовлетворяют соотношениям [c.223]

Из выражений (15.2.36) и (15.2.4) следует, что тэта-функции Щи) и 0(w) удовлетворяют соотношениям [c.224]

Отсюда следует, что — 1 и бесконечные произведения, входящие в определения тэта-функций (15.1.5), становятся слабо сходящимися. Этого можно избежать, подставляя (15.7.2) в (10.4.24), чтобы выразить веса а, [c.252]

Приведенные бесконечные произведения того же типа, что и произведения, которые появляются в эллиптических тэта-функциях (15.1.5). При больших г я вычислил функции г, л", / с точностью до девятого порядка в их разложениях по X. Даже этого оказалось достаточно для подтверждения того, что данные функции можно записать с помощью бесконечных произведений того же вида [c.407]

По существу, это просто другой способ записи эллиптической тэта-функции. Функция /(н, д) обладает следующим свойством симметрии [c.417]

Заметим, что знаменатель этого выражения можно записать в виде бесконечного произведения того же типа, что и в разложениях тэта-функций [c.432]

Данные выражения похожи на (14.5.9) наиболее очевидное различие состоит в том, что два первых выражения содержат сумму двух разложений тэта-функций вместо одного. [c.435]

Решение этой вопомогателвной задачи находится посредством использования интегральных преобразований Фурье и Лапласа. В результате решения мы получим выражения (6-4-15) —(6-4-17) или, вводя тэта-функцию, (6-4-15), (6-4-18 ), и (6-4-18). [c.252]

При выводе последнего выражения мы учитьшали, что, после превращения с помощью формул типа (17.12) произведения трех парных средних в произведение трех функций Грина, сумма, членами которой являются произведения трех гриновских функций, образует вьфажение, симметричное относительно любой перестановки трех времен. Следовательно такую сумму можно вьшести перед тэта-функциями. Оставшаяся сумма шести произведений троек тэта-функций тождественно равняется единице. Это же правило работает и в тп-ом члене дт- В нем окажется (тп - 1) различньгс типов спариваний. Учитывая, что после симметричного интегрирования по всем временам все эти члены дадут одинаковый результат, приходим к следующему выражению для тп-го члена [c.245]

Розенхайном и Кенигсбергером теорией тэта-функций двух переменных. Следствием такой линеаризации является замечательный факт, что общее решение системы продолжается до однозначных голоморфных функций в комплексную область времени, т. е. в качестве особенностей решение имеет только полюса. [c.82]

Выражение общего решения для большинства интегрируемых задач динамики твердого тела в однозначных эллиптических (в комплексном смысле) функциях времени обусловлено тем, что общий уровень первых интегралов, представляющий пересечение достаточно простых алгебраических поверхностей, типа квадрик, допускает продолжение в комплексную область до абелевых многообразий (абелевых торов), допускающих параметризацию с помощью тэта-функций. Она изучается в проективной и алгебраической геометрии, а сами системы называются алгебраически интегрируемыми. При этом общее решение может получиться однозначным не на комплексной плоскости времени, а на ее конечнолистном накрытии (см. случай Горячева - Чаплыгина, 5 гл. 2). [c.82]

После создания теории абелевых функций и интегрирования случая Эйлера, Якоби попытался получить аналогичные квадратуры для волчка Лагранжа. Однако, его работа осталась незавершенной. Различные формы общего решения (то есть выражения для угловых скоростей и всех направляющих косинусов или углов Эйлера) в тэта-функциях содержатся в книгах Ш. Клейна и А. Зоммерфельда [238], Э. Уиттекера [167], А. С. Домогарова [73], В. Д. МакМиллана [120]. Видимо, общее решение одним из первых получил А. Гринхилл [c.108]

Кроме дополнительного интеграла С. В. Ковалевская нашла замечательные переменные, преобразующие уравнения движения (1.1) к форме Абеля -Якоби (см. 7, гл. 1). При наличие такой формы дальнейшее интегрирование в тэта-функциях (двух переменных) может быть выполнено по некоторой общей схеме (см. [86]). Здесь мы приведем только соответствующую замену. Переменные Ковалевской в1, в2 определяются по формулам [c.112]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...