Сравнительные интегралы

Вблизи каустик или фокуса методы ВКБ, СФ и НС приводят к сингулярным полям. Средством устранения этих сингулярностей являются сравнительные интегралы, из которых наиболее известны функции Эйри, они же — интегралы радуги, получившие свое название при объяснении Эйри образования радуги. Умножая эти интегралы сравнения на асимптотический ряд, можно получить полное представление поля, которое справедливо как вблизи, так и вдали от критических участков. Такой подход, имеющий много общего с методом Лангера (разд. 3.3), называют теорией однородного асимптотического пред-ставления [2—6]. [c.342]

ВЫВОД АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЯДОВ ИЗ СРАВНИТЕЛЬНЫХ ИНТЕГРАЛОВ [c.384]

Интегралы в (5.33) сравнительно легко вычисляются, когда степень полинома — два (т. е. когда поверхность штампа — параболоид). В выражении для 1 (х, у) полагаем, что линейные члены отсутствуют, а учет их производится автоматически с помощью коэффициентов а, р, у. [c.605]

В определении (6.2.2) моментов входных и выходных функций не был указан промежуток интегрирования Т. Выбор этого промежутка во многом произволен. Наиболее естественным является выбор бесконечного интервала Г = [О, оо), поскольку при бесконечном интервале интегрирования можно сравнительно легко получить функциональные зависимости моментов от коэффициентов математических моделей, используя равенство (6.2.6). Однако при интегрировании по бесконечному интервалу необходимо каждый раз проверять сходимость интегралов. Например, отклик v (t) на ступенчатое возмущение при t- сх имеет некоторый предел и оо)ФО, и, следовательно, все интегралы [c.274]

Мы познакомились с методом Мора на примерах определения прогибов прямой балки постоянного сечения, а также балки кругового очертания. Как видим, вычисления в этих случаях сравнительно несложны. Подынтегральные функции простые, а вычислять интегралы Мора гораздо проще, чем писать уравнения упругой линии. [c.98]

В 4 предыдущей лекции мы вычислили потенциал скоростей для случая, когда в жидкости двигаются за данным образом два шара, радиусы которых бесконечно малы сравнительно с их расстоянием. Поэтому теперь мы можем составить дифференциальные уравнения движения этих шаров, если на них действуют данные силы. Для этого необходимо вычислить живую силу жидкости. Если положим плотность жидкости равной единице, то живая сила равна интегралу [c.209]

Хорошо известно, что в статических задачах линейной механики разрушения при нагружении по типу I можно использовать так называемый /-интеграл для осуществления эффективных и простых вычислений параметров разрушения. Объясняется это тем, что при соответствующих допущениях, касающихся однородности материала и т. д., интенсивность полей у вершины трещины (например, Ki) определяется интегралом, который рассчитывается по контуру, расположенному вдали от вершины трещины. Поскольку расчетные значения напряжений и перемещений в области, существенно удаленной от вершины трещины, как правило, обладают сравнительно небольшой чувствительностью к особенностям моделирования зоны у вершины, этот интеграл по дальнему контуру можно рассчитать с достаточной точностью, пользуясь сравнительно грубой конечно-элементной моделью конструкции. [c.290]

Для кристалла с большим количеством дефектов все моды сильно рассеиваются вследствие резистивных процессов тогда для всех мод тм тк и, следовательно, Тс тк. В таком случае Х2 С щ (качественно это можно понять, предположив, что все времена релаксации не зависят от частоты, поэтому при сравнении XI и Х2 интегралы сокращаются и мы имеем х2/х1 = = Тк/тм С 1). Так как Тс Тр, то Х1 как раз определяется выражением (4.96) или (4.11а), как если бы К -процессы отсутствовали. Позднее будет видно, что это сравнительно простое выражение пригодно для анализа экспериментальных данных по теплопроводности не слишком идеальных кристаллов. [c.60]

Интегралы (5.16) взять сравнительно легко. Некоторые их значения приведены в [33]. [c.396]

Для максвелловских молекул, как показано в 3.3, интегралы / могут быть сравнительно просто выражены через моменты. Заменяя /л-1 через моменты с помощью аппроксимирующей функции (14.4) и применяя некоторую подходящую квадратурную формулу, мы в конечном счете находим зависимость моментов на п-м шаге в точке х от моментов на (я—1)-м шаге в той же точке и некотором множестве соседних точек. [c.223]

Если в качестве основного уравнения динамики точки принять уравнение Мещерского, то сравнительно просто можно получить аналоги уравнений Лагранжа и Гамильтона для тел переменной массы. Важной задачей современной аналитической механики тел переменной массы является развитие и обобщение теории первых интегралов на те случаи, когда кинетический потенциал и функция Гамильтона явно зависят от времени. [c.30]

В изотермической плазме с равными температурами электронов и ионов могут распространяться лишь электронные ленгмюров-ские колебания. Фазовая скорость т/А таких волн велика по сравнению с тепловой скоростью электронов. Это означает, что оказывается относительно весьма малым число частиц, для которых выполнено условие эффекта Черенкова т = кь и которые, как это следует иа формулы (55.13), лишь и могут взаимодействовать с плазменными колебаниями. Поэтому в случае изотермической плазмы вклад взаимодействия с волнами, описываемый интегралом столкновений (55.13), оказывается сравнительно очень малым [7, 8] (см. также [38]). [c.240]

Цель работы состоит в изучении основных явлений, демонстрирующих общие законы динамики системы точек и физический смысл интегралов движения. В общем случае задача нелинейна, и получить ее аналитическое решение не удается. В то же время проведение серии машинных экспериментов позволяет составить достаточно полное и наглядное представление об особенностях движения изучаемой механической системы. Специфика постановки машинного эксперимента проявляется, во-пер-вых, в необходимости предварительной оценки характерного времени протекания процессов для правильной организации вывода результатов решения задачи. Эта оценка определяется заданием конкретных значений параметров системы и начальных условий и проводится студентом предварительно перед каждым вводом исходных данных. Во-вторых, некорректное задание параметров или начальных условий может приводить к аварийным прерываниям решения, не связанным с существом задачи и определяемым ее конкретной реализацией на машине. Студенты убеждаются также, что точность решения зависит как от выбора алгоритма, так и от исходных данных. Нетрудно проследить, например, как изменяют свое численное значение интегралы движения, если выбран сравнительно крупный шаг интегрирования дифференциальных уравнений. [c.52]

В главе рассматривается метод идентификации вращательного движения тела и его параметров по результатам измерений. Метод основан на использовании в критерии оптимальности оценивания первых интегралов движения или медленно меняющихся функций, зависящих от компонентов вектора измерений. На внеатмосферном участке траектории спуска измеряемыми параметрами являются компоненты вектора угловой скорости, а на атмосферном участке — компоненты вектора угловой скорости и компоненты вектора перегрузки. На внеатмосферном участке предлагается восстанавливать компоненты тензора инерции, а на атмосферном — аэродинамические характеристики тела. Предлагаемый интегральный метод оценивания инвариантен к величине шага и требует малого объёма вычислений за счёт использования интегралов движения или усреднённых уравнений. Приводятся результаты сравнительного численного анализа интегрального метода и метода наименьших квадратов (МНК). [c.144]

Вначале задача интегрирования трактовалась лишь аналитически найти явные формулы для интегралов и решений уравнений движения. Однако после работ Пуанкаре стало ясно, что свойство интегрируемости тесно связано с особенностями поведения траекторий в целом. При глобальном изучении динамических систем существенную роль играют топологические рассмотрения. Сравнительно недавно обнаружено, что сложная топология кон- [c.6]

Анализ причин неинтегрируемости гамильтоновых систем начнем с обсуждения обнаруженных сравнительно недавно грубых препятствий топологического характера. В работе [81] доказано, что замкнутая аналитическая поверхность рода х, х 2 не может быть конфигурационным пространством аналитической интегрируемой системы причиной является наличие большого числа неустойчивых периодических траекторий, на которых первые интегралы зависимы. Этот результат (не замеченный классиками из-за пристрастия к локальному рассмотрению динамических систем) обобщен в различных направлениях. Доказательство неинтегрируемости использует вариационные методы и тонкие факты из т ории особенностей аналитических отображений. [c.133]

Длина периода малых фазовых колебаний составляет = = 2nv/Qi. Общее число фазовых колебаний частицы вследствие уменьшения их частоты (8.12) на протяжении ускорителя сравнительно невелико. В нерелятивистском приближении и при малых токах (S = 0) оно выражается интегралом [c.167]

На этом закончим рассмотрение контурных интегралов, которые могут быть вычислены в конечном виде, т. е. выражены через элементарные и специальные функции. Однако применение теории вычетов далеко не исчерпывается вычислением таких интегралов, тем более, что их сравнительно немного. В частности, большинство таких вычисляемых в конечном виде контурных интегралов типа (22), обращающих преобразование Лапласа, приведены в таблицах и справочниках [118] по операционному исчислению. [c.548]

Асимптотические выражения, рассмотренные выше, становятся сингулярными, когда Л" (5, ) = О или стационарная точка подходит близко к граничной. Для того чтобы избавиться от этих сингулярностей и получить асимптотически правильное представление дифракционного интеграла, мы можем заменить его сравнительным интегралом, который в асимптотическом представлении, приведенном в предыдущем разделе, имеет те же самые сингулярности. Этот интеграл обычно выбирают из класса известных специальных функций, таких, как комплексный интеграл Френеля функция Эйри Ai(л ) или функция параболического цилиндра В окрестности тех значений параметров, для которых обычное разложение расходится, дифракционный интеграл нужно представить в виде произведения сравнительного интеграла на асимптотический ряд, который принимает конечное значение при выполнении условия сингулярности. В большинстве случаев точное вычисление суммы ряда не требуется, так как сравнительный интеграл с достаточной степенью точности равен искомому полю, что, однако, верно лишь до тех пор, пока мы находимся достаточно далеко от критических областей, так что обычные разложения справедливы. Иными словами, выражение, полученное с помощью сравнительных интегралов, постепенно и непрерывно переходит в ряд Лунеберга — Клейна. Поэтому представление, основанное на сравнительных интегралах, называют однородным, а соответствующий подход — однородной асимптотической теорией, В следующих разделах мы рассмотрим наиболее интересные частные случаи. [c.353]

Спекловая структура 611, 612 Сравнительные интегралы 342 Средняя кривизна 97, 98 Стабилизация частоты внешним сигналом 559 Стационарной фазы метод 340 [c.655]

V и gradit Е зависят от функции (к) интегралы (13.13) и (13.14) изменят(5Я даже, если оставить постоянным, и, во-вторых, изменится время релаксации. Мы не будем касаться первого. эффекта, так как он одинаков для элек-тро- и теплопроводности и равен нулю в соотношениях (15.2)—(15.4), а остановимся лишь на изменении -с. Если время релаксации определяется вертикальным движением (как в случае теплового сопротивления при низких температурах), то i зависит только от локальных свойств поверхности Ферми и сравнительно нечувствительно к ее форме. Если же время релаксации определяется горизонтальной многоступенчатой диффузией (как в случае электрического сопротивления р, при низких температурах), то оно будет сильно зависеть от формы поверхности Ферми. [c.270]

Выражения для усредненных на базе I компонент матрицы податливости двух совместно работающих слоев получаются при подстановке зависимостей (4.9)—(4.11) в выражение (3.10) с учетом их изменений при повороте системы координат. При наличии синусоидальной формы искривления волокон формулы для расчета усредненных компонент матрицы податливости совместно работающих слоев получаются весьма сложными. Вычисление интегралов может быть выполнено лнщь с помощью ЭВМ. Замена синусоидальной формы искривлений волокон ломаной линией, как показывает сравнительный анализ, не вносит большой погрешности в значения упругих постоянных материала, но значительно [c.93]

Метод интегральных соотношений позволяет исходные уравнения записызать в дивергентной форме. Именно в дивергентной форме могут быть представлены дифференциальные уравнения механики и термодинамики, выражающие законы сохранения массы, количества движения, энергии. При этом можно аппроксимировать не сами неизвестные функции, а некоторые комплексы от них, стоящие иод интегралом и обычно имеющие определенный физический смысл, например количества подведенного Q или аккумулированного тепла 2. Широкий выбор интерполяционных выражений и проекционных функций j( ), учитывающих характер решения, позволяет получить достаточно точные результаты уже при сравнительно небольшом числе приближений. [c.96]

В квантовой теории поля М.-К. м. интенсивно используют для расчётов в калибровочных теориях на решётке. Наиб, эффективно применение этого метода к тем явлениям в квантовой хромодинамике (КХД), к-рые обусловлены взаимодействием кварков на сравнительно больших расстояниях. Как известно, в КХД с увеличением расстояния растёт и эфф. константа связи, что делает невозможным применение теории возмущений. Одним из осн. средств исследования в т. и. непертурбативной области КХД стал метод численного расчёта на четырёхмерной решётке. В таком подходе используют формулировку КХД с помощью функциональных интегралов, при этом средние по квантовым флуктуациям полей в каждой точке пространства-времени представлены в виде интегралов. Эти интегралы вычисляют с применением М.-К. м. Точность расчётов улучшается с увеличением размера решётки, однако при этом существенно растёт время, затрачиваемое на вычислении. Даже наиб, мощные ЭВМ способны обеспечить проведение расчётов на решётках лишь сравнительно небольшого размера. Качеств, скачок в этом направлении возможен при использовании спец, счётных устройств, включающих большое кол-во автономных микропроцессоров. Наиб, интересные результаты вычисление спектра [c.213]

Жидкости. В отличие от газа, для жидкости связанные с взаимодействием члены в ур-нии состояния не малы. Поэтому свойства жидкости сильно зависят от конкретного характера взаимодействия между её молекулами. В теории жидкости вообще отсутствует малый параметр, к-рый можно было бы использовать для упрощения теории. Невозможно ползгчить к.-л. анали-тич. ф-лы для термодинамич. величин жидкости. Одним из способов преодоления этой трудности является изучение системы, состоящей из сравнительно небольшого числа частиц (—неск. тысяч). В этом случае, используя ЭВМ, можно провести пряное решение ур-ний движения частиц и определить таким способом ср. значения всех характеризующих систему величин без дополнит. предположений (см. Молекулярной динамики метод). Удаётся исследовать и процесс приближения такой системы к состоянию равновесия. Можно также вайти статистич. интеграл для такой системы из небольшого числа частиц, вычисляя на ЭВМ соответствующие интегралы (обычно при этом используют Монте-Карло метод). Полученные этими способами результаты имеют, однако, малую точность в приложении к реальным жидкостям из-за малого числа частиц в системе. [c.670]

Несмотря на несомненную важность этого случая в связи с задачами о распространении тепла от проложенных в земле кабелей и труб, об охлаждении шахт и т. д., области такой формы изучаются сравнительно недавно. Николсон [18] первым предложил решение (5.6), однако его аргументацию нельзя считать безупречной. Титчмарш использовал интеграл Фурье Смит [19] применил метод контурных интегралов, изложенный в книге [20]. Ряд решений, для получения которых использовались операционный метод и метод преобразования Лапласа, можно найти в работах Гольдштейна [1] и Карслоу и Егера [7]. Некоторые численные результаты опубликованы Егером [21, 22]. [c.329]

П. В. Воронец опубликовал новый метод преобразования дифференциальных уравнений динамики, который позволил значительно расширить известные ранее результаты в области задачи п тел. Развивая идею Э- Рауса об игнорировании координат , он показал, что в случае, когда уравнения движения системы допускают линейные относительно скоростей интегралы, из этих уравнений можно исключить циклические координаты и соответствующие им скорости и ускорения. Этот метод дал возможность П. В. Во-110 ронцу сравнительно просто получить известные результаты Ж. Лагранжа, К. Якоби, Э. Бура, А. Бриоши и Р. Радо при произвольном законе притяжения. П. В. Воронец подробно исследовал задачу четырех тел и указал случай интегрируемости в квадратурах для закона притяжения обратно пропорционально кубам расстояний. В случае сил взаимодействия, пропорциональных любой степени расстояний, он установил возможность двух типов движений. Исследуя дифференциальные уравнения задачи трех тел Ув форме Лагранжа, Воронец изучил случай аннулирования кинетического момента, а также случай пространственного движения, при котором образуемый телами треугольник остается равнобедренным и массы точек, расположенных в его основании, равны. [c.110]

С целью записи полученного принципа Гамильтона в традиционном виде в 6.2 вводится вариационный интеграл. Этот класс интегралов оказывается настолько эффективным, что позволяет проводить разного рода преобразования, где встречается операция варьирования функционалов (сложных функций). С помощью вариационного интеграла удается сравнительно просто получить запись принципа Гамильтона и уравнений Лагранжа для гипердвижения в стандартном виде. [c.174]

При измерении теплот, сопровождающих превращения II рода, точность измерения бывает значительно ниже. В этом случае теплоты превращения часто бывают малы, а аномальная область весьма размыта, что требует определения теплоемкости на значительном температурном интервале. Папример, при определении, теплоты превращения в никеле аномалия теплоемкости, связанная с превращением II рода, наблюдается в температурном интервале, составляющем около 200°, а для нахождения вероятного хода 7еплоемкости на этом участке в отсутствие превращения требуется привлечь опытные данные по теплоемкости в еще более широкой области (см. рис. 94). При этом количество теплоты, затрачиваемое на нагревание вещества в области перехода (т. е. величины интегралов Срс1Т), велико, оно уже не является поправочной величиной, а значительно превосходит измеряемую теплоту превращения. Так как для вычисления этих интегралов необходимо к тому же экстраполировать опытные данные на значительном участке, погрешность в их величинах довольно велика. Эта погрешность в конце концов падает на сравнительно небольшую теплоту превращения. В случае, приведенном на рис. 94, тепловой эффект превращения составлял всего 140 кал1г-атом и был определен с точностью 20 кал г-атом. Тем не менее этот результат нельзя считать плохим, учитывая очень неблагоприятные условия измерений. [c.359]

Формула получается из (11.156), если граничное условие на поверхности и 5 = 0 О — функццд Грина свободного пространства диР/дМ—нормальная производная падающего поля, взятая на освещенной поверхности тела в отсутствие тела источников в окрестности тела нет (/ 0). Произведенная в (22.1) замена под интегралом истинного тока на поверхности током, полученным в приближении геометрической оптики, называется приближением Кирхгофа. Под интегралом — сравнительно грубое приближение, однако интегралы типа (22.1) дают хорошую точность для полей как в геометрооптической области, где лучевые поля могут быть выделены, если вычислить интеграл с помощью метода стационарной фазы, так и в переходных [c.240]

Рассчитанные двумерные ([1] и Гл. 7.4) и пространственные течения свидетельствуют об эффективности развитого в работе метода для численного решения широкого класса задач сверхзвуковой газовой динамики. Метод сравнительно прост и в то же время при использованном числе расчетных ячеек обеспечивает вычисление параметров потока с погрешностью, не превышающей нескольких процентов. Размазывание скачков уплотнения при этом оказывается незначительным. Относительные погрешности выполнения интегральных законов сохранения массы и импульса (использованные уравнения не являются полностью дивергентными ) не превышали 1-2%. По интегралу изэнтроничности в случаях, когда отсутствуют ударные волны, ошибка была меньше 3%. [c.168]

Выходом из положения является приём разбиения рядов на совокупность рядов, медленно сходящихся, и на сравнительно хорошо сходящийся остаток. Дело заключается в том, что эти медленно сходящиеся ряды можно выделить так, чтобы они допускали представление в замкнутом виде. В общем случае это будет представление в форме определённого интеграла, аналогичного интегралу Пуассона, с помощью которого строится решение задачи Дирихле для сферы. Для некоторых же частных загружений суммирование этой медленно сходящейся части оказывается возможным в конечном виде. [c.352]

Трудности получения приемлемых интегралов уравнений Кёттера (15.67) и (15.68) возникают из-за наличия в правой части двух членов, выражающих влияние компонент массовой силы тяжести. В некоторых приложениях теории грунтового давления представляет интерес влияние сравнительно высоких нагрузок или давлений, действующих на поверхности грунта, или исследование равновесия на больших глубинах, где местные массовые силы дают лишь небольшую добавку к основным напряжениям. Это побудило Рейсснера и Гартмана ) положить у=0 в уравнениях Кёттера для ограниченных глубоко залегающих зон грунта, т. е. рассматривать только однородные уравнения (15.67) и (15.68), [c.563]

Из формул (XIV.56) и (XIV.57) видно, что функция Я(х) может быть сравнительно легко вычислена к без помощи таблиц. Кроме того, если сравнить между собой интегралы (XIV.21) и (XIV.55), то видно, что для вычисления функции Я(х) можно пользоваться данными таблицы приложения 9, составленного для вычисления интеграла (XIV.2I), при х 2. Все это свидетельствует о том, что способ Н. Н. Павловского имеет некоторые преимущества перед способом Б. А. Бахметева. [c.296]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...