Главные оси и главные деформации

Главные оси и главные деформации. [c.36]

Если координатные оси совместить в главными осями тензора деформации, то при этом Vi2 = 2з= Yai = О- Тогда на основании уравнений (3.47) = СТаз = = О, а это означает, что площадки, проходящие через рассматриваемую точку тела и перпендикулярные принятым координатным осям, являются главными площадками, т. е. координатные оси оказались совмещенными и о главными осями тензора напряжений. Отсюда следует, что в каждой точке изотропного тела главные оси тензора деформации совпадают с главными осями тензора напряжений. [c.61]

Заметим, что при выводе этих формул предполагалась изотропность материала, т. е. равенство модулей упругости и коэффициентов поперечной деформации по каждой из осей х, у и 2. Изотропность предопределяет и совпадение направлений главных напряжений и главных деформаций. [c.108]

Главные оси и главные компоненты тензоров деформаций. Тензор деформаций Т , является симметричным тензором второго ранга. Поэтому при в точке М. всегда можно выбрать в качестве [c.70]

Что такое главные оси и главные компоненты тензора скоростей деформаций и каков их кинематический смысл [c.104]

Линейные деформации по главным осям называются главными деформациями и нормируются в порядке Si > 82 > бз с учетом их знака, причем знак плюс относится к тем деформациям, которые вызваны в результате растяжения, и наоборот, знак минус относится к деформациям сжатия. [c.194]

Главные оси и главные компоненты малой деформации [c.79]

Главные оси и главные значения тензора деформаций 34 [c.3]

Лагранжев и эйлеров тензоры линейных деформаций являются симметричными декартовыми тензорами второго ранга, и поэтому определение их главных направлений (главных осей) и главных значений (главных деформаций) ведется стандартным методом, изложенном в 1.19. С физической точки зрения главное направ- [c.129]

Величина деформации по трем взаимно-перпендикулярным направлениям. Пластические деформации, возникающие в направлении главных осей, называют главными деформациями. Возьмем какое-либо тело, например прямоугольный параллелепипед с размерами до деформации Н, Вг и 1, и предположим, что в результате пластической де( юрмации параллелепипед получит размеры А, Ла и [c.60]

При нагружении ортотропных материалов направления действия главных напряжений и главных деформаций совпадают только в случае, когда направление действия главных напряжений совпадает с одной из главных осей упругой симметрии материала. Следовательно, при нагружении под углом 0° < 0 <90° к направлению укладки арматуры направления действия главных напряжений и главных деформаций всегда различны. Теоретические и экспериментальные исследования [147 ] показывают, что эта разность может достигать нескольких десятков градусов в зависимости от угла 0, напряженного состояния (одно- или двухосное нагружение) и степени анизотропии материала. Поэтому для определения направления главных деформаций использование одного или двух тензодатчиков, наклеенных под углом 0° и 90° к оси образца, недостаточно и следует применять розетку тензодатчиков. Это явление имеет место и при испытаниях на растяжение—сжатие трубчатых образцов, у которых угол намотки 0° <а <90°. В этом случае возможны большие погрешности, если осредняются показания тензодатчиков, наклеенных на наружной и внутренней поверхностях образца с различной укладкой арматуры. [c.79]

Лагранжев и эйлеров тензоры деформаций являются симметричными декартовыми тензорами второго ранга и поэтому для них можно в каждой точке тела найти три главных направления (главные оси) и три главных значения. С физической точки зрения материальная частица, у которой направления ребер (мы условились, что материальная частица имеет форму параллелепипеда) совпадают с главными направлениями деформации, не меняет своей ориентации. Так как направляющие косинусы осей х,- и X,- удовлетворяют условиям [c.67]

В некоторой точке тела известны компоненты тензора деформаций е,, = 0,002 822=—0,0004 взз=0,002 812=0,004 813=832=0. Найти относительное изменение объема, главные удлинения, интенсивность деформации и положение главных осей и установить, в каком состоянии находится частица, если [c.77]

Однако, удобнее иметь дело не с самим главным вектором и главным моментом внутренних сил, а с их составляющими по осям системы координат, начало которой помещено в центре тяжести сечения. Оси х и у проведем в плоскости сечения, а г направим по внешней нормали к сечению (рис. 2.8,г). Это тем более удобно, что с каждой из составляющих главного вектора и главного момента внутренних сил связан вполне определенный вид деформации тела. [c.182]

Перейдем к определению направлений главных осей и, как следствие, к определению главных деформаций. Введем в рассмотрение множитель Лагранжа и найдем экстремум квадратичной формы [c.210]

С деформацией сдвига мы встречаемся, когда из шести компонентов главного вектора и главного момента внутренних сил отличны от нуля только поперечные силы Qy или Q . С достаточной степенью приближения деформация сдвига или среза практически может быть получена в случае, когда на рассматриваемый брус с противоположных сторон на весьма близком расстоянии друг от друга действуют две равные силы, перпендикулярные к оси бруса и направленные в противоположные стороны. Примером такого действия сил на брус может быть разрезание ножницами прутьев, полосы и т. п. (рис. 185). Вообще же на практике сдвиг в чистом виде получить трудно, так как обычно деформация сдвига сопровождается другими видами деформаций и чаще всего изгибом. [c.214]

Второй закон—закон изменения формы. При активных упруго-пластических деформациях, возникающих при простом нагружении, главные оси напряжений и деформаций совпадают и отношения главных касательных напряжений к соответствующим главным сдвигам для данного элемента тела постоянны [c.266]

Если оси х, у, Z являются главными осями напряженного состояния, то tyj=Tjj.=T3i.y=0. При этом угловые деформации Уу , у у в нуль не обращаются. Следовательно, в анизотропной среде главные оси напряженного и деформированного состояний, вообще говоря, не совпадают. Это иллюстрируется простым примером, показанным на рис. 307. Деревянный образец вырезан под углом к направлению волокон. При растяжении вдоль оси х образец получит не только удлинение, но и перекос. В данном случае касательные напряжения т у равны нулю и, следовательно, оси л и у — главные оси напряженного состояния. Деформация же Уху в нуль не обращается. Следовательно, для деформированного состояния оси л и у — не главные. Если бы образец был вырезан вдоль волокон, то при его растя- [c.286]

Деформации любого слоя в главных осях композита с известными упругими константами слоя 11, 22, V12, G12 и действующими на композит силами N и моментами М определяются из уравнений (4.4), (4.15) — (4.17). Эти деформации преобразуются к деформациям в главных осях слоя при помощи (4.13), а напряжения в слое определяются затем из (4.3). Рассчитав историю напряжений и деформаций в любом слое, можно при помощи любого критерия, основанного на напряжениях, деформациях или энергии деформирования, оценить, насколько состояние слоя близко к предельному. В предыдущих рассуждениях считалось, что слой и композит в целом обладают упругими свойствами, неизменными в процессе нагружения однако вместо упругих констант можно использовать соответствующие тангенциальные модули, или углы наклона кусочно линейных зависимостей, аппроксимирующих кривые а(е). [c.147]

В разд. 1.7 отмечалось, что существует прямая связь между разностью показателей преломления и разностью главных напряжений или главных деформаций. Делая еще один шаг дальше, укажем, что главные оптические оси в прозрачном двояко-преломляющем материале совпадают с главными осями напряжений и деформаций (см. гл. 3). Это совпадение позволяет пользоваться поляризационно-оптическим методом не только для определения наибольших касательных напряжений, но также ж для определения направлений главных напряжений. [c.39]

Векторное уравнение для момента. Рассмотрим деформации элемента стержня в связанной системе координат (рис. 3.6). В плоскостях, проходящих через главные оси сечения, проекция осевой линии имеет кривизны и Из, которые являются проекциями кривизны пространственной осевой линии. Так как вектор х в естественных осях имеет только две проекции vX ) ихР =- (рис. 3.7), то в главных осях е получаем [c.72]

Если принять, что ось Oz является главной осью деформированного (а, следовательно, и напряженного) состояния, то наряду с равенством 8 = 0 в плоскостях, проходящих через эту ось, должны отсутствовать деформации сдвига и (а в плоскостях, нормальных к этой оси, равны нулю и касательные напряжения и При этом, как видно из (5.25), будет выполняться равенство 1 = 0. [c.103]

После образования трещин выражения для Лц- Лзз можно получить на основании зависимостей, изложенных в работе [33]. Однако, используя свойство инвариантности потенциальной энергии к направлению осей, эти коэффициенты можно также получить, записав выражение потенциальной энергии КЭ в тех осях, относительно которых можно сформировать физические соотношения рассматриваемого материала [17, 18]. Так, например, предполагая, что направление главных напряжений и относительных деформаций совпадают и коэффициент Пуассона после [c.89]

Из теории пластичности следует, что при определенных условиях в соответствии со схемами главных напряжений возникнут и главные деформации — деформации в направлении главных осей. Всего схем главных деформаций может быть три. Схема с одной положительной (растяжение) и двумя отрицательными (сжатие) деформациями (рис. 15.6, а) соответствует процессу волочения схема с двумя положительными деформациями и одной отрицательной (рис. 15.6, б) — свободной осадки. Обе эти схемы объемные. Существует плоская схема главных деформаций (рис. 15.6, в), когда одна деформация равна нулю, а остальные равны по абсолютной величине, но противоположны по — прокатка широких листов. [c.288]

Теперь мы все это можем повторить и для деформированного состояния, заменив Оу, на Ву, е , а гж. на yJ2, Угх/2, 7j y/2. И мы приходим к выводу, что и для деформированного состояния существуют главные оси и главные площадки, где углы сдвига Уу , равны нулю, а линейные деформации являются главными и в порядке убывания могут быть, как и главные напряжения, обозначены через е,, е,, е . [c.38]

Во-первых, при осевой деформации призматического, в частности круглого цилиндрического, образца не происходит изменения первоначально прямых углов между линейными элементами, из которых один совпадает по направлению с осью призмы, а второй лежит в поперечном сечении, т. е. в процессе осевой деформации образец, изготовленный из изотропного материала, не перекашивается (такой перекос в случае материала, обладающего, например, общим случаем анизотропии, имеет место). По сути дела, этот факт показывает в данном случае коаксиальность тензоров напряжений и деформаций в изотропном материале, т. е. совпадение в изотропном материале направлений главных напряжений и главных деформаций. [c.496]

Т. е. инвариантна по отношению к системе координатных осей. Напомним, что формулы (7.8) и вытекающие из них (7.12) были выведены в предположении, что для того, чтобы охарактеризовать осевую деформацию образца, изготовленного из изотропного материала, достаточно использовать два наблюдаемых в опыте факта — совпадение направлений главных напряжений и главных деформаций и наличие эффекта поперечных деформаций (одинаковых, разумеется, в силу изотропности материала в любом поперечном направлении). Инвариантность матрицы (7.13) по отношению к системе координатных осей подтверждает эту достаточность. Из (7.12) лггко усмотреть что в изотропном теле касательные напряжения не влияют на относительные линейные деформации. [c.499]

Найти главные оси и главные компоненты тензора скоростей деформаций, скорость относительного удлинения произвольного волокна, вектор вихря и -вкорость чистой деформации на рис. 28. [c.109]

Характеристики ортотропного материала обычно задают техническими постоянными в системе координат, оси которой совпадают с главными осями упругой симметрии. К таким характеристикам относятся модули упругости Ей Е2у Еъ, соответствующие направлениям ол ,. ох , 0x3 (рис. 2.П) модули Сдвига Qi2> Огз> Ost в плоскостях Х1ОХ2 , Х2 ох , х ох и коэффициенты поперечных деформаций v,2, V23, V3, (первый индекс указывает направление действующего напря кения, а второй — направление возникающей при этом поперечной деформации, причем 2V,2=f,V2i (1. 2, 3). Через технические постоянные связь деформаций с напряжениями записывается в следующем виде [c.88]

Три главные оси поверхности деформации называются главными осями деформации в точке Р. Три соответствующих удлинения называются тремя главными удлинениями. Исключительные случаи имеют место, когда поверхность деформации является 1) поверхностью вращения в этом случае каждая ось в экваториаль- ной плоскости является главной осью деформации, и деформация в этой плоскости сводится к однородному всестороннему удлинению 2) шаром в этом случае всякая ось, проходящая через Р, является главной осью деформации, и вся деформация заключается в однородном расширении или сжатии. Фиг. 2.04. [c.89]

Главные оси и главные Как для всякого симметричного тен-коыпоненты тензора ско- з рд второго ранга, для тензора скоро-ростеи деформации деформаций можно ввести главные [c.103]

Возьмем параллелепипед со сторонами с1х, йу, йг, выбранными в координатной системе, соответствующей главным осям. В ходе деформации стороны параллелепипеда увеличатся на величины E dx, Ечд.у, Езйг. Таким образом, сам объем V изменится на величину [(1 + еО (1 + ег) (1 + ез)— dxdydz и, пренебрегая малыми высшего порядка, получаем равенство [c.211]

Как выше отмечалось, на направлениях главных осей деформация сдвига обращается в нуль. Можно показать (так же, как и для тензора напряжений), что экстремальные деформации сдвига действуют на площадках, проходящих через одну главную ось и делящих угол между оставщимися осями пополам. При этом их величины равны разности между соответствующими главными деформациями. Отметим, что вдоль направления нормалей к этим площадкам относительное удлинение равно полусумме главных деформаций. [c.212]

Плоскости координат, в которых отсутствуют касательные напряжения, и плоскости координат, в которых нет смещения осей, должны совпадать, поэтому в системе главных осей координат скорости деформации частицы и возникающие нормальные составляющие напряжений совпадают по направлению. Постулируем, что связь между напряжениями Стоь сто2, Ооз и частными производными Сь в2, вз — линейная. Частные производные одного направления с напряжением влияют на его значение пропорционально X, а две другие производные одинаково влияют на то же напряжение пропорционально 9. Принимая, что ньютоновские жидкости обладают указанными физическими свойствами, получим [c.96]

Такой эллипс напряжений показан на рис. 1-10, а. Взаимно ортогональные оси 1 — 1 и 11—11 эллипса будем называть главными осями деформаций элементарного объема 5F/ Известно, что касательные напряжения т для площадок действия , ортогональных к главным осям I — I и 11—11 равны нулю Xi i = Тц-п = 0 нормальные напряжения для этих площадок называются главными напряжениями и обозначаются через Oi (большее напряжение) и через 02 (меньшее напряжение). [c.24]

Матрица упругости (упругой податливости), преобразующая компоненты напряжения в компоненты деформации, сохраняет свой вид в любой системе осей. Действительно, и в уравнениях (7.8), записанных для главных осей, и в уравнениях (7.12), справедливых для произвольных орто1 ональных осей, матрица упругой податливости одна и та же [c.498]

При ЭТОМ в силу соотношений Si + S2 + S3 = О и + бз = О векторы Rj и Re не могут занимать в пространствах главных составляющих девиа-торов любые положения, а каждый из этих векторов должен находиться в плоскости, проходящей через начало координат и рав-нонаклоненной к координатным осям. Такую плоскость называют девиатор-ной [76, 991. Поскольку при пропорциональном нагружении и деформировании положения главных осей напряжений и деформаций остаются неизменными, то каждый из девиа- [c.50]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...