Главные деформации 181, — напряжения 180, 353,659, — удлинения

В теоретических работах, не связанных с решением краевых задач, потенциал обычно рассматривают как функцию главных деформаций или удлинений, Ф = Ф(Л1,Л2,Лз). Напряжения при этом есть [c.278]

По аналогии с теорией напряженного состояния можно показать, что в каждой точке существуют три взаимно перпендикулярных направления, по которым тело испытывает только деформации удлинения или укорочения, а деформации сдвига равны нулю. Эти осевые деформации называются главными деформациями е , Ё2, з и находятся из кубического уравнения [c.22]

Выражения (6.51) справедливы не только для главных деформаций, но и для относительных деформаций по любым трем взаимно перпендикулярным направлениям, поскольку при малых деформациях влияние сдвига на линейную деформацию представляет собой величину второго порядка малости. Так, относительные удлинения в направлении действия напряжений и ар (рис. 171, б) [c.195]

Напряженное состояние в каждой точке характеризуется тремя инвариантами тензора напряжений или тремя главными нормальными напряжениями, а деформированное состояние соответственно характеризуется гремя инвариантами тензора деформации или тремя главными удлинениями. [c.161]

Если оси х, у, Z являются главными осями напряженного состояния, то tyj=Tjj.=T3i.y=0. При этом угловые деформации Уу , у у в нуль не обращаются. Следовательно, в анизотропной среде главные оси напряженного и деформированного состояний, вообще говоря, не совпадают. Это иллюстрируется простым примером, показанным на рис. 307. Деревянный образец вырезан под углом к направлению волокон. При растяжении вдоль оси х образец получит не только удлинение, но и перекос. В данном случае касательные напряжения т у равны нулю и, следовательно, оси л и у — главные оси напряженного состояния. Деформация же Уху в нуль не обращается. Следовательно, для деформированного состояния оси л и у — не главные. Если бы образец был вырезан вдоль волокон, то при его растя- [c.286]

Деформации от напряжений в роторах и корпусах могут быть значительными, их следует иметь в виду, но главная часть относительных удлинений происходит от тепловых расширений, причем величина последних зависит от конструкции турбины [13]. Все эти положительные и отрицательные относительные удлинения необходимо достаточно точно рассчитывать при проектировании и указывать осевые и радиальные зазоры в холодном состоянии, учитывая их изменения при стационарных режимах и во время переходных процессов. [c.52]

Тот факт, что в анизотропном материале растягивающие напряжения, действующие не по оси симметрии, могут вызывать не только линейные, но и угловые деформации (рис. 2.3, а), приводит к отклонению направления наибольших удлинений от направления растяжения образца. Направление главных (наибольших) деформаций не совпадает в этом случае с направлением главных (наибольших) напряжений. Положим, что растяжение ортотропного материала происходит в направлении х, [c.38]

В каждом теле, в каждой точке существуют три взаимно перпендикулярных направления i, j, к, которые остаются взаимно перпендикулярными и после деформации. Они называются главными осями деформации. Так как прямые углы между ними не изменяются, то в направлении этих осей сдвига не. происходит, и деформация состоит из удлинения или укорочения в направлении главных осей (или нормально к плоскостям, содержащим оси). Следовательно, эти удлинения или укорочения являются нормальными деформациями ( ) ), их называют главными деформациями и обозначают Di, Dj, В изотропном теле эти деформации связаны с нормальными напряжениями (а ), называемыми главными напряжениями, которые и обозначаются через Oi, Oj, он. [c.77]

Уже говорилось, что изменение объема не влияет на реологические свойства материалов. Следовательно, если рассматривать деформацию, отличную от ламинарного сдвига, при которой будет изменяться объем, то для того, чтобы выразить реологические уравнения в более общем виде, нужно уменьшить напряжения на величину всестороннего равномерного напряжения, а деформации — на объемное расширение. Таким образом, получаем компоненты, относящиеся к формоизменению будем отмечать их индексом (о). Это не окажет влияния на касательные напряжения т, а также на деформации сдвига dt или на градиенты сдвигов потому что, как только что было сказано, в случае ламинарных деформаций объем не изменяется. Иное дело с напряжениями Oj, которые действуют по нормали п к поверхности элемента. Они связаны с линейными или продольными деформациями или удлинениями, которые в связи с этим называются нормальными деформациями и обозначаются через dn. Если принять в качестве системы координат три главные оси i, j, к, тогда [c.126]

Во время испытания стального листа на простое растяжение при напряжении 1500 кг/см на длине 250 мм было измерено удлинение, равное 0,2 мм. Чему будут равны главные деформации, [c.61]

В этих опытах к тонкостенной трубке прикладываются растягивающая сила Р и крутящий момент Ж (давление р — 0) и потому оси Ох, Оу не являются главными осями напряжений и главные оси не остаются неизменными при сложном нагружении. Р—Ж-опыты производятся на специальных машинах (см. главу VII), причем задаваемыми по назначению экспериментатора являются относительное удлинение трубки Д/ и угол закручивания ср на расчетном участке /, а сила Р и момент Ж, возникающие в образце, измеряются динамометрами. Преимущество Р—Ж-опытов с задаваемыми деформациями состоит в том, что деформации Д/ и ср можно независимо изменять в очень широких пределах. Этой возможности нет в Р — / -опытах и не будет в Р—Ж-опытах, если нагружение ведется по силам, особенно если материал трубки обладает слабым упрочнением. Действительно, из условия пластичности и малости упрочнения следует, что модуль вектора S лишь немного может превышать постоянное значение у 5 [c.160]

Главные деформации 181, — напряжения 180, 353, 659, — удлинения 385, 659 Главные оси инерции 211, 215 [c.665]

Заменяя главные касательные напряжения через главные нормальные напряжения по формулам (10.21) и главные скорости деформации сдвига через главные скорости удлинений по формулам (7.8), получим [c.60]

Таким образом, главные нормальные напряжения составляются из давления, из напряжения, пропорционального соответственной, главной скорости удлинения, и напряжения, пропорционального скорости объёмной деформации. [c.61]

Соотношения (11.4) могут быть получены и иным путём, а именно вначале принимаем, что главные оси напряжений совпадают с осями главных скоростей деформаций. Затем полагаем, что алгебраические разности между главными нормальными напряжениями и давлением будут линейными функциями главных скоростей удлинений, т. е. [c.61]

Согласно первому условию монотонности процесса материальное волокно, претерпевающее в любой рассматриваемой стадии пластической деформации частицы, например, наиболее быстрое удлинение, должно было наиболее быстро удлиниться (а следовательно, наиболее удлиниться) за весь предшествующий процесс деформации. Следовательно, при монотонном процессе направление наиболее быстрого удлинения материального волокна (первая главная ось скорости деформации) всегда совпадает с направлением его наибольшего результативного (суммарного за весь предшествующий процесс) удлинения (т. е. с первой главной осью результативной деформации), а следовательно, и с первой главной осью напряженного состояния. Аналогично, третья главная ось скорости деформации совпадает как с третьей главной осью результативной деформации, так и с третьей главной осью напряжений и т. д. [c.13]

На трёх площадках, на которых действуют главные касательные напряжения Tj, Xg, Xg, существуют три главные деформации сдвига Yi, Y21 Тз, связанные с главными удлинениями соотношениями [c.84]

Происходящим одновременно незначительным изменением среднего нормального напряжения (а + < 2 + з)/3 оказывалось возможным пренебречь, так как его влияние в случае пластических металлов незначительно. Для одного и того же образца был снят ряд диаграмм напряжений —деформаций. При их построении по оси деформаций откладывалось одно из трех главных удлинений (например, относительное осевое удлинение образца), а по оси напряжений откладывалась разность между наибольшим и наименьшим главными нормальными напряжениями. Построенные таким образом кривые показаны на фиг. 188 искажающее влияние постепенного упрочнения металла, производимого прогрессирующей пластической деформацией (наклеп), оказалось при этом исключенным. Результаты различных испытаний показаны на фиг. 188, 189 и 190. На фиг. 189 и 190 абсцисса j. обозначает величину, характеризующую, согласно формуле (16.3), влияние среднего [c.274]

А. Простые случаи конечного однородного деформирования. Сначала мы рассмотрим некоторые случаи конечного однородного деформирования материала, упрочняющегося при деформировании, когда главные направления напряжения и деформации совпадают и не поворачиваются относительно друг друга и по отношению к телу. Предположим, что определены экспериментально или иным путем две монотонно возрастающие функции, описывающие зависимость среднего напряжения а = 7з (01 + 02 + + 0з) от средней деформации удлинения е=7з (61 + 82 + 83) и зависимость октаэдрического касательного напряжения [c.95]

Рассмотрим теперь общий случай последовательности конечных однородных деформаций в несжимаемой среде, сочетающихся с поворотом главных осей напряжения и деформации. Состояние чистой деформации определяется шестью величинами тремя квадратичными удлинениями ) [c.119]

Компоненты направляющего тензора напряжений и направляющего тензора деформаций не имеют размерности и характеризуют направление главных осей напряжений и деформаций. Поэтому уравнение (11-17) является аналитической записью следующего важного положения направления главных удлинений совпадают с направлениями главных напряжений. [c.43]

Приведенные в табл. 26 схемы дают обозначения главных нормальных напряжений о и главных деформаций удлинения е учитывая общепринятые знаки (растяжение, сжатие —). [c.54]

Сразу же, в частности, отметим, что в любой точке тела можно найти три взаимно перпендикулярных направления, сдвиги между которыми равны нулю. На этих направлениях в точке реализуются экстремальные значения относительных удлинений, которые называются главными деформациями и обозначаются через е,, 5, 3. Полная аналогия с ст,, о . Более того, в случае изотропного материала направления главных напряжений и главных деформаций совпадают и их называют главными осями деформации в точке тела, [c.56]

Первые два вида относятся к объемному деформированному состоянию, а третий — к плоскому деформированному состоянию. В. М. Розенберг [84] предложил определять деформированное состояние углом вида напряженно-деформированного состояния. Если вх — главная деформация удлинения в направлении первой главной оси алгебраически наибольшая, — главная деформация укорочения в направлении второй главной оси алгебраически наименьшая и вд — главная деформация в направлении третьей главной оси алгебраически средняя, то параметр, характеризующий вид деформированного состояния, связан с углом % зависимостью [c.86]

Характерной особенностью деформации простого сдвига является ее немонотонность. Деформация считается монотонной только тогда [84], когда материальные точки, расположенные на главных осях деформации в начальной стадии формоизменения, остаются на этих главных осях и на всех последующих стадиях деформации. Так как при простом сдвиге положение главных осей напряжений сохраняется постоянным, то указанное условие не выполняется. Из рис. 50 видно, что в процессе деформирования все новые материальные волокна тела пересекают направления главных осей, получая на каждой стадии деформации максимальное удлинение и укорочение. Отсюда следует, что деформации волокон, получивших наибольшее результирующее удлинение и укорочение, не могут рассматриваться как главные, так как положения этих волокон не совпадают с положением главных осей напряжений. [c.88]

Пластические деформации металла и деформационное старение относятся к наиболее сильным отрицательным факторам, вызывающим хрупкость при понижении температуры в случае, если они происходят в неблагоприятно ориентированных концентраторах напряжений, расположенных в зоне нагрева от сварки. К неблагоприятно ориентированным относятся концентраторы, плоскость которых расположена перпендикулярно направлению главной деформации удлинения. Это, например, непровары в перпендикулярно пересекающихся стыковых швах, непровары в корне многослойных швов, где концентрируются пластические деформации по мере укладки слоев, это стыки двух не сваренных между собой элементов, пересекаемые перпендикулярными швами, концы фланговых швов в зоне перехода стержневого элемента к косынке, места остановки процесса сварки, в которых возник непровар, плоскость которого перпендикулярна оси шва, места пересечения соединений с неполностью проваренными швами. К неблагоприятно ориентированным концентраторам относятся также линии перехода от шва к основному металлу и непровары в тех случаях, когда на некотором небольшом расстоянии от них параллельно укладываются короткие швы, поперечная местная усадка которых вызывает концентрацию пластических деформаций. [c.167]

Рассмотрим деформацию элемента, имеющего размеры ребер а X Ь X с, по граням которого действуют главные напряжения О , а.д И Оз (рис. 101, а). Для простоты полагаем, что 01 > О, Од > О и Од > 0. В результате деформации длина ребер элемента изменится и станет равной а + Ла Ь + АЬ с + Ас (рис. 101, б). Относительные удлинения в главных направлениях (т. е. в направлении действия главных напряжений) называют главными удлинениями и соответственно [c.150]

Вычислим теперь удельную потенциальную энергию в общем случае объемного напряженного состояния. Для этого вырежем элемент в виде кубика с длинами ребер, равными единице (рис, 170), грани которого являются главными площадками, На этих площадках действуют главные напряжения Oj, Oj и Og, Поскольку площади граней равны единице, то действующие в них усилия численно равны Oj, и Од, Они производят работу на тех перемещениях, которые получают грани вследствие деформации рассматриваемого элемента. Перемещения в данном случае численно равны главным удлинениям 6i, S2, вз, так как ребра имеют единичную длину. [c.180]

При исследовании напряженного состояния в элементах сложной конструкции часто возникает необходимость определить не только величину, но и направление главных напряжений. В таком случае практикуется установка в исследуемой области сразу трех датчиков в направлениях, составляющих углы в 45° (рис. 575), так называемой розетки датчиков. По трем замеренным удлинениям могут быть без труда определены главные удлинения и угол, определяющий положение главных осей. Делается это следующим образом положим, заданы деформации по главным осям хну (рис. 576). Так как проекция ломаной АА В В на ось / раина отрезку АВ, нетрудно установить, что разность отрезков А В и АВ, т. е. абсолютное приращение длины АВ равно [c.513]

Кубическое уравнение для определения главных удлинений аналогично уравнению (1.4.5) с заменой компонентов тензора напряжений на компоненты тензора деформации, т. е. на и т. д. В результате получим уравнение [c.19]

Последние выражения в отдельных случаях могут быть представлены в более простом виде. Это возможно тогда, когда оси координат (т. е. оси I—1 и 2—2) совпадают с так называемыми главными осями деформации, т. е. с такими направлениями, вдоль которых напряжения растяжения или сжатия не вызывают деформации сдвига, и наоборот, когда система касательных напряжений по граням элементарного объема не вызывает деформаций удлинения или укорочения его граней (т. е. обычное явление в случае изотропного тела). [c.48]

Главные линейные деформации sj, 2, S3 (относительные удлинения, происходящие в направлениях действия главных напряжений) имеют значения [c.44]

Все виды слозкного сопротивления разделяются на три типа 1) сложение нормальных напряжений, 2) сложение касательных напряжений, 3) сложение нормальных и касательных напряжений. В случаях первого типа сложение напряжений алгебраическое, в случаях второго типа—геометрическое. В случаях третьего типа из условий равновесия бесконечно малого параллелепипеда, вырезанного около известной точки напряженного тела, определяют главные силыупругост и—наибольшее нормальное напряжение и наибольшее касательное напряжение или главные деформации — наибольшее удлинение и наибольший угол сдвига. Расчет в случаях третьего типа производится по различным основаниям в зависимости от того, что принимают за причину разрушения конструкции. Обычно приписывают разрушение второй [c.207]

Как выше отмечалось, на направлениях главных осей деформация сдвига обращается в нуль. Можно показать (так же, как и для тензора напряжений), что экстремальные деформации сдвига действуют на площадках, проходящих через одну главную ось и делящих угол между оставщимися осями пополам. При этом их величины равны разности между соответствующими главными деформациями. Отметим, что вдоль направления нормалей к этим площадкам относительное удлинение равно полусумме главных деформаций. [c.212]

По формуле (15.8.9) tga = l. Это значит, что характеристики ортогональны и пересекают траектории главных напряжений под углом п/4. Но на площадках, равнонаклонных к главным осям, достигают максимального значения касательные напряжения. Следовательно, характеристики — это траектории главных касательных напряжений. Вследствие (15.8.14) вдоль характеристик удлинения равны нулю, поэтому вся деформация представляет собою чистый сдвиг в осях I, т]. Конечно, последнее замечание относится к бесконечно малой деформации, связанной с мгновенным распределением скоростей деформации. [c.506]

Если оси X, у, Z являются главными осями напряженного состояния, то Туг = Tzx = = Тху = 0. При этом угловые деформации 7у,, 7 , 7ij, в нуль не обращаются. Следовательно, в анизотропной среде главные оси напряженного и деформированного состояний, вообще говоря, не совпадают. Это иллюстрирует простой пример, показанный на рис. 7.32. Деревянный образец вырезан под углом к направлению волокон. При растяжении вдоль оси X образец получит не только удлинение, но и перекос. В дан-Pjjj, 32 ном случае касательные напряже- [c.338]

Эти три соотношения и представляют собой закон Гука. Они устанавливают связь нормальных деформаций или удлинений с действующими нормальными напряжениями при помощи двух постоянных и V. Непосредственно из (5.32) можно получить, что главные деформации и бз выражаются через главные напря- [c.113]

Гест предполагал, что для геометрического представления диаграммы ее следует мысленно согнуть вокруг оси Ох так, чтобы между плоскостями хОу и хОг образовался прямой угол. Тогда на рис. 4.37 точки, соответствующие максимальному напряжению, расположатся на линии ВН. Для теории максимального удлинения получаются линии GAH, KAL или MAN в зависимости от значения коэффициента Пуассона. Для гипотезы максимального касательного напряжения, обследованной экспериментально на основании измерений Геста, получилась диаграмма EFABD. Отклонение Гестом гипотез максимального главного напряжения и максимальной главной деформации вместе с международным инженерным конфликтом мнений было фактически преамбулой к новому конфликту, который возник между гипотезой Геста, или условием Треска для поверхности текучести, с одной стороны, и критерием энергии формоизменения Максвелла — фон Мизеса — с другой. Хотя 75 лет последующего экспериментирования оказались предоставляющими аргументы в пользу критерия, впервые предложенного Максвеллом, но описанного только фон Мизесом, так как статья Максвелла долго оставалась неопубликованной, пионерное историческое значение имеет экспериментальное исследование Геста. Гест отмечает, что явно выраженное начало пластичности в медных и латунных трубках, несмотря на трудность определения его местоположения при сравнении, производимом в терминах сходного поведения зависимости напряжение — деформация, согласовалось с его гипотезой максимального сдвига. [c.85]

В случае изотропного материала мы сразу же можем показать, что только две независимые постоянные входят в обобщенный закон Гука. Для этого мы должны использовать результаты предыдущих глав. Так, в теории напряжений (гл. VIII, 276) мы доказали, что в любой точке тела имеется элементарный параллелепипед, грани которого подвержены чисто нормальным напряжениям. Кроме того, в теории деформаций (гл. IX, 302) мы доказали, что в каждой точке тела можно найти параллелепипед, грани которого остаются также прямоугольными и после деформации. В первом случае напряжения на таких гранях назывались главными напряжениями . Удлинения ребер параллелепипеда во втором случае назывались главными удлинениями . Очевидно, что в материале, свойства которого не связаны с направлением, направления главных напряжений и главных деформаций должны совпадать. На самом деле ведь нет никаких причин для того, чтобы симметричная система чисто нормальных напряжений вызывала несимметричную деформацию, а деформация была бы несимметричной, если параллелепипед не оставался бы прямоугольным Следовательно, наиболее общая форма [c.399]

В статье, опубликованной в 1843 г., Сен-Венан ссылается на цитированные выше работы Навье, Пуассона и Коши и показывает возможность вывода уравнений движения вязкой жидкости с помощью видоизменения положений теории упругости о пропорциональности касательных напряжений деформациям сдвига без применения гипотез о притяжении и отталкивании отдельных частиц. Он вводит в рассмотрение направления главных скоростей скошения и главных тангенциальных напряжений, принимает гипотезу о совпадении этих направлений при движении жидкости и в конце концов получает два вида соотношений 1) соотношения пропорциональности разностей нормальных напряжений разностям соответственных скоростей удлинений и про-цррциональности касательных напряжений соответственным скоростям сдвига с общим коэффициентом пропорциональности, представляющим собой коэффициент вязкости жидкости, и 2) соотношение, связывающее линейной неоднородной зависимостью среднее арифметическое от нормальных напряжений со скоростью объёмного расширения. Из этих соотношений Сен-Венан получает соотношения Пуассона и Коши для отдельных компонент напряжения. В другой статье, в том же томе Докладов Парижской Академии наук (стр. 1108—1115) Сен-Венан применяет уравнения движения вязкой жидкости к случаю течения [c.19]

Как показывает опыт, при значительном пластическом формоизмейении, когда вполне приемлем принцип несжимаемости (относительное изменение объема пластически деформируемой частицы пренебрежимо мало по сравнению с относительными изменениями ее линейных размеров), главные оси напряженного состояния частицы совпадают с главными осями скорости деформации. При этом предполагается, что направление действия наибольшего главного напряжения всегда совпадает с направлением наиболее быстрого удлинения материального волокна, а направление алгебраически наименьшего главного напряжения — с направлением наиболее быстрого укорочения. [c.12]

Часть материалов настоящего тома была впервые опубликована в монографии, изданной на немецком языке в 1927 г., на английском—в 1931 г. и в русском переводе американского издания— в 1936 г., а ее сжатое изложение в 1928 г. было помещено в одном из разделов шестого тома Handbu h der Physik. Цель настоящей книги—дать современное изложение механики пластических деформаций твердых тел. Несколько новых глав вводят в теорию простых и обобщенных типов вещества, представление о которых основано на типах деформаций—упругой, пластической и их сочетании, а также на типах принятых законов деформирования. Целиком пересмотрены главы, относящиеся к исследованию напряженных состояний в пластически деформированных цилиндрах и дисках и к математической теории неоднородного состояния плоской пластической деформации и поверхностей скольжения. В гл. XII и XIII добавлены анализ конечных однородных деформаций, основанный на введении квадратичного удлинения X, и теория конечной плоской деформации, где использованы зависимости, выраженные через составляющие натуральных деформаций. Синтез малых упругих и пластических деформаций обобщен в теории стесненной пластической деформации, с которой приходится иметь дело в случаях, когда главные оси напряжений меняют свое направление в материале. [c.5]

Как следует из (3.1.9), при упругом потенциале, записанном в виде (3.1.4), вытекающем из рассмотрения гауссовых сеток, разность между главными нормальными напряжениями p должна быть пропорциональна разности квадратов соответствующих степеней удлинения а независимо от вида деформации. На рис. 3.1.2, а представлены экспериментальные данные [125], показывающие отклонения от теории, различные для разных видов деформации. Более близкую к экспериментальной теоретическую зависимость предсказывает теория Муни — Ривлина, по которой из (3.1.9) с учетом (3.1.5) получается С = д01д1[, = 0/5/a и деформационные кривые ti — /2) — (А.1 — Я2) неодинаковы при простом и двумерном растяжении и при сдвиге (рис. 3.1.2, б). [c.110]

Теория П. в применении и расчетной практике. При всей принципиальной желательности расчет сооружений, машин и их деталей основывать на наиболее совершенных теориях П., например на учете энергии деформации, фактически в практике расчета применение этих теорий встречается только в качестве исключения, притом скорее исследовательского характера. Объясняется это, с одной стороны, трудностями математич. порядка, связанными с применением этих теорий, а с другой,—недостатком необходимых экспериментальных данных в отношении различных материалов и различных случаев напряженного состояния. В связи с этим в практике расчета в отношении тел, обладающих одинаковыми механич. свойствами при растяжении и при сжатии, применяются только три теории П., именно теория П., основанная на учете главных нормальных напряжений (т.н. первая теори я), теория, основанная на рассмотрении макси-матхьных удлинений (т. н. вторая теори я) и наконец теория, исходящая из величины главных тангенциальных напр жений (т. н. третья теория П.). [c.192]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...