Главные значения тензора деформаций

Как и всякий симметричный тензор, можно привести тензор в каждой данной точке к главным осям. Это значит, что в каждой данной точке можно выбрать такую систему координат — главные оси тензора, — в которой из всех компонент иц отличны от нуля только диагональные компоненты ц, Щ2, зз- Эти компоненты — главные значения тензора деформации — обозначим посредством ы( >, ы< >, Надо, конечно, помнить, что если тензор Uih приведен к главным осям в некоторой точке тела, то он, вообще говоря, недиагонален во всех других точках. [c.10]

Главные значения тензора деформаций, которые называются главными относительными удлинениями, являются корнями кубического уравнения (3.37). Направления, соответствующие главным удлинениям 1, Е2, ез, взаимно перпендикулярны. Когда имеет место случай двух равных корней, тогда направления, соответствующие этим корням, лежат в плоскости, перпендикулярной направлению, соответствующему простому корню в этом случае любые взаимно ортогональные направления, лежащие в этой плоскости, могут быть приняты за главные. Если все три корня равны, то любые Перпендикулярные направления можно принять за главные. [c.55]

Главные значения тензора деформации ij), как симметричного тензора второго ранга, равны корням ч-кубического уравнения [см. (1 .50)] [c.18]

Главные значения тензора деформации, которые называются также главными деформациями, обозначим через ег. [c.18]

Гамма-функция 51, 512 Главные значения тензора деформаций 28 ---напряжений 25 [c.565]

Главные оси и главные значения тензора деформаций 34 [c.3]

Условия разрешимости этих уравнений приводят к характеристическому уравнению для главных значений тензора деформаций [c.35]

Каждый симметричный тензор может быть приведен в каждой точке тела к главным осям. В каждой точке тела можно выбрать такие оси, в которых отличными от нуля останутся только диагональные компоненты тензора ejk. Обозначая через е у главные значения тензора деформаций, получим из формулы [c.24]

Обозначим через в2, три корня уравнения (8) и упорядочим их таким способом, чтобы > 2 > е . В тензорной алгебре доказывается, что для симметричного тензора второго ранга корни векового уравнения (Ю) являются действительными. Эти корни не зависят от изменения системы координат Хг. Коэффициенты являются инвариантами, поскольку они как коэффициенты уравнения (Ю) являются элементарными симметрическими функциями корней е, (главных значений тензора деформаций) и однозначно выражаются через эти корни [c.25]

В 1.6 были указаны главные значения тензора деформаций и инварианты деформированного состояния. Во всех встречав-шихся там уравнениях в случае малых деформаций следует заменить eij на eij. [c.30]

Главные значения тензора деформаций 25 [c.860]

Вопросу о выборе оптимальной системы инвариантов, вычислению механического смысла инвариантов и связи между ними уделялось большое внимание (К. 3. Галимов, 1946—1955 И. И. Гольденблат, 1950, 1955 В. В. Новожилов, 1948, 1958). Так, было отмечено (В. В. Новожилов, 1952), что с точностью до постоянного множителя интенсивность касательных напряжений совпадает со средним значением касательного напряжения в рассматриваемой точке тела. Далее, было использовано тригонометрическое представление главных значений тензоров деформации и напряжений (В. В. Новожилов, 1951). Основными инвариантами при этом являются линейный инвариант, интенсивность девиатора и угол вида тензора (девиатора). Связь между тензорами деформации и напряжения характеризуют обобщенный модуль объемного расширения, обобщенный модуль сдвига и фаза подобия девиаторов (равная разности углов вида рассматриваемых тензоров). Из требования существования потенциалов напряжений и деформаций устанавливаются дифференциальные связи между введенными обобщенными модулями. [c.73]

Критерий максимального удлинения наибольшее из главных значений тензора деформации = е. Это приемлемо и при сжатии с е, > 0. [c.281]

Поэтому можно говорить о симметричности термодинамического (изобарного) потенциала твердого кристаллического тела в том смысле, что локальное значение химического потенциала в точке определяется абсолютной величиной гидростатической части тензора напряжений независимо от направления механической силы— растягивающей или сжимающей твердое тело (относительно равновесного положения с нулевыми силами). Подобный анализ можно провести для любого главного значения тензора напряжений (рассматривая изменения соответствующих компонент тензора деформаций), чтобы сделать заключение о симметрии термодинамического потенциала Гиббса по знаку компонент тензора напряжений (относительно недеформированного состояния). [c.18]

Некоторые авторы вводят в рассмотрение тензор, главные значения которого, значит и главные инварианты, равны главным значениям тензора напряжения Т, но главные оси совмещены с главными осями меры деформации Заметив, что тензор Г соосен не с <3 , а с тензором g , и сославшись на [c.638]

Главные напряжения. Следствием закона состояния Фингера (2.4.1) является соосность тензора напряжения Т с тензором меры деформации М (или g ). Вспомнив, что главные значения этой меры равны главным значениям тензора G , и называя ts главные напряжения, имеем [c.640]

Подставляя данные выражения (в (6.65), приходим к следующим значениям для главных инвариантов тензора деформации Коши [c.228]

Из представлений (1.2.8) и (1.2.10) видно, что главные значения тензоров меры деформации Коши и меры деформации Фингера равны, главные направления тензоров мер деформации Альманзи и Фингера в декартовой системе координат совпадают. [c.16]

Главные значения и главные оси тензора деформаций. [c.222]

В п. 2 соотношения ассоциированного закона пластического течения приведены для случая, когда в качестве обобщенных переменных приняты величины главных значений тензоров напряжений и скоростей деформаций, а также направляющие косинусы, определяющие ориентацию главных направлений в декартовой системе координат. [c.38]

При заданной ориентации главных направлений тензора деформаций значения 6,51,52,53 могут рассматриваться как обобщенные координаты, определяющие деформацию бесконечно малого элемента тела. Пусть Si, S2, S3 — обобщенные силы, соответствующие этим координатам. Тогда должно иметь место равенство [c.68]

Дано стационарное поле скорости и, = 2х , 1 = 2х , Vз = 0. Найти главные направления и главные значения тензора скоростей деформации. [c.173]

Поскольку все рассматриваемые здесь тензоры деформации симметричны, то удобно для них ввести главные оси и определять изменение объема при деформации через главные значения тензоров. [c.75]

Подставим сюда вместо главных значений тензора напряжений и тензора деформаций их выражения согласно формулам I (8.8) и И (8.8). Тогда получим [c.147]

Отметим также, что главные значения тензора, обозначаемого жирным шрифтом, например С, всегда обозначаются , и т.д. Так, для тензоров напряжений и деформаций Е их главные значения, называемые обычно главными напряжениями и главными деформациями, б дом обозначать 6 , . [c.28]

Если координатные оси направить по главным осям тензора то его диагональные компоненты, т. е. линейные деформации будут совпадать с главными значениями тензора Вг, 83 [см. (Р.З), с. 4001. а угловые деформации yij = 2ejj будут равны нулю. [c.18]

Главные деформации. Инварианты тензора деформацви. В каждой точю тела в общем случае имеются три взаимно перпендикулярных направления, по которым относительные удлинения, а следовательно, и линейные деформации имеют экстремальные значения. Указанные направления называют главными направлениями тензора деформации (главные оси), а линейные деформации вдоль главных направлений - главными деформациями. [c.22]

Применение логарифмической меры в задаче о плоской деформации. В плоском поле перемещений (6.2.1) гл. II главные значения тензоров или О равны 1-Ь б = е " (а = 1, 2), бз = 0, < 1 (см. п. 3.5 гл. VIII). Через % обозначается угол [c.765]

При выполнении условий малости деформаций (1-52) для TL-подхода оптимален выбор тензора а для UL- и эйлерова подходов — тензора так как все правые тензоры деформаций семейства Хилла приблизительно равны тензору а левые — тензору В этом случае условие несжимаемости приобретает вид (1.54), т. е. имеет простой вид при использовании тензоров Е( ) и Однако для того, чтобы установить, выполнены ли условия малости деформаций (1.52), надо во всех материальных точках тела сделать ряд дополнительных операций (определить главные значения тензора U или V и сравнить их с единицей). Поэтому лучше использовать эти условия в случае, когда они заведомо выполняются, например при деформировании тонкостенных конструкций (стержни, пластины, оболочки), подвергающихся преимущественному изгибу. [c.41]

Поле скоростей, соответствующее этому члену, в каждой точке ортогонально поверхности эллипсоида D= onst, проходящей через эту точку. В этом поле скоростей есть три взаимно перпендикулярных направления — главные оси деформации, не участвующие в мгновенном вращательном движении (соответствующем этому полю скоростей). Главные значения тензора D равны скоростям относительного удлинения жидких элементов в этих направлениях. [c.31]

Используя полярное разложение градиента деформации F при деформации сдвига — Xi, х = Х + АХ , х = Х + + АХ , определить правый тензор коэффициентов длины S и тензор поворота R. Показать, что главные значения тензора S являются коэффициентами длины диагоналей ОС vtDB задачи 3.22. [c.143]

Для стационарного поля скоростей Uj = Х Х2 + 2 = = —— XiX2, Vg = О найти главные значения тензора скоростей деформации D в произвольной точке Р х,, Х2, Хд). [c.177]

Отсюда следует, что для собственных значений тензора деформаций,. всегда выпо.лнено неравенство 6 >- . Главные, напрашения тен- [c.67]

Далее, для любого симметричного тензора Sij выражение SijJiirij имеет стационарное значение, если вектор п направлен вдоль одной из главных осей тензора. Поэтому из выражений (1.74) и (1.75) следует, что больше всего растянутыми или сжатыми оказываются те элементарные нити (по сравнению с элементарными нитями, находящимися в той же точке, по иначе ориентированными), которые вначале были ориентированы вдоль главных осей тензора деформации в материальном онисании (тензоров -,j или т] ), а В конце оказались ориентированными вдоль главных осей тензора деформации и пространственном описании (тензоров ij и Eij). Такие элементы называются главными элементарными нитями, а их растяжение — главным растяжением. [c.38]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...