Главные оси конечной деформации

Главные оси конечной деформации [c.85]

Кроме того, поскольку главные оси напряжения для чистого сдвига совпадают с главными осями конечной деформации для простого сдвига, то две неизвестные компоненты напряжения ст и удовлетворяют двум условиям, а. именно условию [c.89]

Чтобы не смешивать угол а для главных осей напряжения с аналогичным углом для главных осей конечной деформации, обозначим последний в деформированном состоянии тела [c.129]

Воспользуемся некоторыми формулами из 1, полагая в них = О и снабжая верхним значком о любую из входящих в них величин, вычисленную при = 0. Так, вектор конечного поворота главных осей тензора деформации (1.28) при = О обозначим через f2° в отличие от По, фигурирующего в приведенных выше формулах, г °, г = 1,2,3,— векторы (1.23) при = О и т.д. [c.321]

В литературе [11] сформулированы два характерных условия однозначности, монотонности протекания деформации материальной частицы физического вещества условие совпадения главных осей скорости деформации с одними и теми же материальными волокнами частицы и условие неизменности за весь процесс вида малой деформации, происходящей при переходе в текущую стадию из предшествующей, весьма близкой. При этом процесс конечной деформации рассматривается как совокупность последовательных малых деформаций, фиксируемых в данные рассматриваемые отрезки времени как его промежуточные текущие стадии. [c.13]

Как и всякий симметричный тензор, можно привести тензор в каждой данной точке к главным осям. Это значит, что в каждой данной точке можно выбрать такую систему координат — главные оси тензора, — в которой из всех компонент иц отличны от нуля только диагональные компоненты ц, Щ2, зз- Эти компоненты — главные значения тензора деформации — обозначим посредством ы( >, ы< >, Надо, конечно, помнить, что если тензор Uih приведен к главным осям в некоторой точке тела, то он, вообще говоря, недиагонален во всех других точках. [c.10]

Метод сопротивления металлов пластическим деформациям и метод работ меньше распространены в практике расчетов, и область их рационального использования пока не установлена. Основным положением первого метода является то, что для процессов, протекающих монотонно или приближенно монотонно, принимается совпадение главных осей деформаций и напряжений это дает возможность использовать для конечных деформаций уравнения связи, установленные для малых деформаций в методе работ используется принцип равенства работы внешних сил на заданном перемещении и работы внутренних сил. [c.204]

Поверхность во втором состоянии поэтому описывается уравнением второй степени и, вероятнее всего, окажется эллипсоидом, а не гиперболоидом либо параболоидом, в силу требования непрерывности деформации и сплошности материала. Материальные прямые, направленные вдоль основных осей эллипсоида, фактически совпадут с главными осями деформации в согласии со сформулированной выше теоремой (2.38). Они, естественно, будут ортогональными не только в начальном, но и в конечном состоянии. Доказательство их ортогональности в начальном состоянии мы оставляем читателю в качестве упражнения (см. упражнения к главе 2, задача № 2.) Решение, довольно пространное и весьма важное, помещено в главе 11. [c.49]

При геометрическом изображении однородной деформации сфера единичного радиуса превращается в трехосный эллипсоид, так называемый эллипсоид деформации. Известно, что деформацию можно разложить на две части чистую деформацию и чистое вращение. При чистой деформации три взаимно перпендикулярные линии (главные оси) не поворачиваются, но изменяют свою длину в д,1, (Х2 и [Д.З раз удлинения [Xj — 1 называют главными деформациями. Сфера единичного радиуса превращается при этом в эллипсоид (фиг. 19), называемый здесь первым эллипсоидом. При чистом вращении первый эллипсоид поворачивается как целое в свое конечное положение. Другой полезной фигурой является эллипсоид обратных деформаций, который, по определению, представляет собой фигуру, при деформации превращающуюся в сферу единичного радиуса. Направление его осей совпа- [c.314]

Конечно, определение каждого из изгибающих моментов как произведения силы на соответствующую координату полюса допустимо лишь при условии достаточно большой жесткости бруса, позволяющей пренебрегать изменениями расстояний от силы до главных осей какого-либо сечения, вызванными деформацией бруса. [c.352]

X, V — скорости относительных изменений линейных размеров материальных частиц в направлении координатных осей 8 — интенсивность деформации или (в случае конечной деформации) интенсивность главных логарифмических деформаций [c.4]

Однако в самом общем случае пластического формоизменения, в основном конечного (значительного), и, в частности, при обработке металлов давлением главные оси напряжений могут не совпадать с главными осями деформаций, вид напряженного состояния может не соответствовать виду деформации, а характер нагружения не может быть отнесен к категории простого, так как вследствие значительного формоизменения координаты точек приложения внешних сил изменяются во времени. Поэтому в общем случае пластического формоизменения отсутствует гарантия однозначности протекания процесса деформации или, как это принято называть, монотонность процесса, и непосредственно связь деформаций с напряжениями установить невозможно. В этом случае устанавливается связь напряжений со скоростью деформации. Скоростью деформации или компонентом скорости деформации называется относительная деформация прямолинейного отрезка I в направлении координатных осей, происходящая в течение весьма малого промежутка времени, [c.12]

Интересно отметить, что если мы выделим мысленно внутри некоторой части тела, претерпевшей однородную конечную деформацию, материальную частицу, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными главным осям деформации, то окажется, что такая материальная частица и до деформации должна была иметь форму прямоугольного параллелепипеда. В этом можно убедиться из следующих соображений. Пусть точки А, Б, Б являются точками пересечения главных осей эллипсоида, преобразованного деформацией из сферы радиуса с его поверхностью. На фиг. 24 мы видим сечение этого эллипсоида плоскостью, проходящей через большую и малую его оси. Поэтому направление большой полуоси МА и малой полуоси МВ совпадают с плоскостью чертежа, а средняя полуось МБ перпендикулярна плоскости чертежа. [c.88]

Действительно, при самой общей постановке задачи пластического формоизменения тела, в мысленно выделенной его материальной частице не представляется возможным установить определенной связи между напряжениями и деформациями или между напряжениями и скоростями протекания деформации. Если, как это следует из современного учения о конечной пластической деформации, направления главных осей и вид напряженного состояния выделенной материальной частицы в большинстве реальных случаев деформации совпадают с направлениями главных осей и видом тензора (определенной совокупности векторов) скорости деформации, то интенсивность напряженного состояния частицы зависит не только от интенсивности скорости деформации, но и от интенсивности итоговой (за весь предшествующий процесс) деформации, от степени деформации и от температуры. [c.202]

В литературе приводятся некоторые описания методов экспериментального изучения конечной пластической деформации, относящиеся преимущественно ко второй группе приемов. Эти приемы, как и приемы третьей группы, не дают возможности судить с полной достоверностью о компонентах скорости деформации, а следовательно, и о виде и направлении главных осей напряженного состояния в различных точках деформируемой модели. Однако возможность суждения об интенсивности итоговой деформации оказывается в данном случае значительно более реальной благодаря наличию двух семейств линий сетки. [c.431]

Что касается ориентировки главных осей результирующего тензора деформации относительно главных осей тензора напряжения (пли относительно направлений главных напряжений), то здесь следует различать два важных случая в зависимости от того, совпадают или не совпадают главные направления напряжений с главными осями результирующего тензора деформации, представляющего собой, как уже было упомянуто, сумму тензоров упругой и пластической деформации. В первом случае часто бывает достаточно ввести зависимости между напряжениями и упругой и пластической деформациями в конечной форме, тогда как во втором случае эти зависимости должны относиться к бесконечно малым приращениям деформаций. Важно, однако, добавить, что в некоторых практических приложениях и в тех именно случаях, когда составляющие деформации весьма малы, необходимо исходить из бесконечно малых приращений деформации. К зависимостям между бесконечно малыми приращениями деформации приходится переходить также и в общем случае при наличии больших деформаций. Однако случаи, когда пластические деформации становятся конечными, в этой главе рассматриваться не будут. [c.432]

В полом цилиндре (или трубе), нагруженном симметрично относительно оси и равномерно по длине, главными направлениями напряжений и деформаций являются радиальное, окружное и осевое. Как и при рассмотрении двухмерных задач математической теории упругости, здесь следует различать два случая 1) осесимметричная плоская пластическая деформация в цилиндре, осевая деформация которого постоянна, и 2) плоское пластическое напряженное состояние, при котором в нуль обращаются нормальные напряжения по направлению, параллельному оси цилиндра. Первый случай относится к распределению напряжений и деформаций в длинных цилиндрах, второй—к плоским круговым дискам или кольцам, нагруженным параллельно их срединной плоскости. В каждом из этих случаев для приложений важно рассматривать вопросы, относящиеся как к бесконечно малым, так и к конечным деформациям. Ввиду той значительной роли, которую играют пластичные металлы и их сплавы в качестве технических материалов, нам надлежит рассмотреть пластическое деформирование цилиндра как из идеально пластичного вещества (представляющего случай металла с резко выраженным пределом текучести), так и из металла, который деформируется за пределом упругости прп монотонно возрастающих напряжениях (т. е. из металла, обладающего упрочнением). На практике такие случаи пластической деформации встречаются, например, в цилиндрических резервуарах, находящихся под действием высокого внутреннего или внешнего давления, при прокатке труб или их формовке из мягких металлов путем продавливания через матрицу со слегка суживающимся отверстием. [c.493]

В примерах 2.3 А и Б не происходит поворота главных направлений напряжения и конечной деформации эти направления совпадают между собой, и связь напряжение — натуральная деформация для них в упругом теле может быть постулирована в виде линейного соотношения, что выглядит как сохранение закона Гука, зато соотношение, связывающее касательное напряжение т с соответствующей условной деформацией сдвига y. отнюдь не является линейным и к тому же зависит от ориентации данного плоского сечения. Рассмотрим теперь состояние конечной деформации, в котором происходит поворот главных осей деформации. [c.82]

Чтобы облегчить рассмотрение, воспользуемся геометрическим представлением для напряженного состояния и состояния конечной деформации в некоторых точках Р ои 02, оз) и Q(ei, 82, 83) с декартовыми координатами ои огг, аз и 81, 82, 83 соответственно, отсчитываемыми в двух прямоугольных системах, оси которых совпадают с соответствующими главными осями (подобно тому, как это было ранее для случаев стесненного течения 1)). Рассматриваемые два типа последовательностей состояний представляются двумя кривыми — одной, описываемой точкой Р в пространстве аь 02, аз, и другой, прочерчиваемой точкой Q в пространстве 81, 82, 83. [c.98]

Предполагая, что главные оси напряжения и конечной деформации совпадают друг с другом и с одними и теми же линиями из материальных точек и что не происходит никакого поворота этих осей, приходим к следующему геометрическому закону, определяющему связь между путями нагружения и де формирования когда точка о-, aQ движется по окружности круга радиуса г = Уъ Xq V I Gq на плоскости напряжений а -f 02 + < 3 = О, точка Q(ei,e2, ез) движется в плоскости деформаций е1 + е2 + ез = 0 таким образом, что, описывая путь деформирования, она всегда перемещается в направлении, параллельном радиусу-вектору ОРо (рис. 2.10). [c.111]

И. Простой сдвиг в пластичной среде. В этом параграфе пока еще не рассматривались конечные пластические деформации с поворотом главных осей напряжения и деформации. Чтобы найти геометрическое представление путей деформирования и для таких пластических состояний деформации, рассмотрим в качестве примера случай последовательности простых сдвигов, когда направления главных напряжений и деформаций поворачиваются относительно материальных элементов пластичной среды и относительно друг друга. Простой сдвиг отвечает случаю плоской деформации с поворотом. В несжимаемом материале это состояние однородной конечной плоской деформации характеризуется двумя равными по величине и противоположными по знаку [c.114]

В 2.5, Б мы убедились, что можно установить взаимно однозначное соответствие между состоянием конечной деформации и положениями точки Q на плоскости деформаций в предположениях, что ориентация главных осей неизменна по отношению [c.118]

Рассмотрим теперь общий случай последовательности конечных однородных деформаций в несжимаемой среде, сочетающихся с поворотом главных осей напряжения и деформации. Состояние чистой деформации определяется шестью величинами тремя квадратичными удлинениями ) [c.119]

Поскольку предыдущая непрерывная последовательность деформирований, проводимых при постоянных 82/81, 83/81 и сочетающихся с бесконечно малыми поворотами, требует той же работы, то принцип минимальной работы справедлив и для нее. Здесь не было дано никакого доказательства существования последовательности деформирований, обладающей тем свойством, что во время ее проведения главные оси напряжения и конечной деформации, поворачиваясь при переходе из начального положения в конечное соответственно, совпадают с тремя взаимно перпендикулярными линиями, образованными одними и теми же материальными точками. Однако в следующем параграфе будет дано доказательство для общего случая плоской конечной деформации. [c.121]

Как показал Л. И. Седов (1959), при произвольных (конечных) деформациях процесс деформации может быть простым лишь для некоторых, исключительных значений а . Это связано с тем, что при конечной однородной деформации углы между материальными ( вмороженными в материал) прямыми, вообще говоря, изменяются (исключение составляет одноосное растяжение и другие случаи, соответствующие sin За., = 0), так что -ориентация относительно этих прямых главных осей симметричного тензора сохраняться не может. [c.93]

Для вычисления удельной потенциальной энергии деформации исходят из выражения (2.2). Рассматривают произвольный элемент объема упругого тела, напряженно-деформированное состояние которого задано величинами ст,/ и е,/. Вводят местную систему главных осей для напряжений и деформаций и дают главным напряжениям приращения, одинаковые по отношению к их конечным значениям (так называемое пропорциональное нагружение), тогда совершенная работа, отнесенная к единице объема, равна [c.56]

Итак, доказано то, что выражаемая уравнением (2.214) механическая работа 03 принимает аналитический экстремум, когда деформирование тела из начального недеформированного состояния Я,х=1, Ys = 0 в некоторое заданное деформированное состояние Язсь Ysi происходит таким образом, что в процессе плоской деформации главные оси напряжения все время совпадают с главными осями конечной деформации. То, что экстремум работы [выражаемой уравнением (2.210)] представляет именно минимум, показано не было, но этот факт достаточно очевиден из отмеченного ранее, и его можно легко проверить на примерах ). [c.137]

Однако в случае значительной деформации нет основания утверждать, что этот параллелепипед и в промежуточных стадиях процесса формоизменения рассматриваемого тела должен был оставаться прямоугольным. Наоборот, экспериментальные исследования процессов конечной деформации показывают, что Л1ате-риальная частица, имеющая в данной стадии процесса деформации (например, в конечной стадии) форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными главным осям итоговой деформации, т. е. с главными осями эллипсоида, преобразованного из начальной сферы, хотя и должна была иметь форму прямоугольного параллелепипеда до деформации, в промежуточных стадиях процесса формоизменения могла представлять собой параллелепипед косоугольный [c.89]

ВОДЫ, среди различных путей плоских деформирований Г Кх,у8)=0 есть один и только один, соединяющий точку Ро Кх=и Уз = 0) (рис. 2.21), представляющую начальное недеформированное состояние тела, с точкой 1( x1, УзО, отвечающей заданному конечному состоянию деформации, вдоль которого одновременно удовлетворяются уравнения (2.200) и (2.201). Для этого выделенного пути деформирования в каждой его точке главные оси конечной плоскости деформации совпадают с главными осями прира-и ения тензора деформаций и, следовательно, также с мгновенными осями главных напряжений. Для этого пути углы р и а равны друг Другу, = при условии, что величины Ях и Уз удовлетворяют определенному дифференциальному уравнениьо, которое получается приравниванием правых частей tg2a = [c.131]

По формуле (15.8.9) tga = l. Это значит, что характеристики ортогональны и пересекают траектории главных напряжений под углом п/4. Но на площадках, равнонаклонных к главным осям, достигают максимального значения касательные напряжения. Следовательно, характеристики — это траектории главных касательных напряжений. Вследствие (15.8.14) вдоль характеристик удлинения равны нулю, поэтому вся деформация представляет собою чистый сдвиг в осях I, т]. Конечно, последнее замечание относится к бесконечно малой деформации, связанной с мгновенным распределением скоростей деформации. [c.506]

Главные деформации, главные оси деформации. Конечно, на тензоры и S", как на симметричные тензоры второго ранга, распространяется все сказанное в пп. 2.1 и 2.2 гл. I. Главные деформации, обозначаемые Е, определяеются из характеристического уравнения тензора [c.77]

И тем не менее, именно к третьей группе приемов экспериментального исследования процессов конечной пластической деформации интерес исследователей за последнее время начал заметно падать. Причины этого заключаются, во-первых, в том, что по результатам экспериментальных работ третьей группы нет никакой возможности судить с практически приемлемой достоверностью ни о направлении главных осей, ни о виде напряженного состояния дефор-мируе] юн модели. Линии раздела слоев фиксируются при исследованиях третьего типа в одной какой-то стадии деформации (например, конечной), и при значительной деформации это не дает воздюжности иметь сколь-либо четкое представление о компонентах скорости деформации. Даже суждение об интенсивности итоговой деформации оказывается возможным только в том случае, когда физический рез деформированного тела во всех своих точках совпадает с главной плоскостью напряженного состояния. При этом определение интенсивности итоговой 428 [c.428]

Для вычисления удельной потенциальной энергии деформации исходим из выражения (2.2). Рассмотрим произвольный элемент объема упругого тела, напряженно-деформированное состояние которого задано величинами aij и eij. Введем местную систему главных осей для напряжепий и деформаций и дадим главным напряжениям ириращепия, одинаковые по отиогцепию к их конечным значениям (так называемое пропорциональное нагружение). Тогда совершаемая работа, отнесенная к единице объема, [c.47]

Часть материалов настоящего тома была впервые опубликована в монографии, изданной на немецком языке в 1927 г., на английском—в 1931 г. и в русском переводе американского издания— в 1936 г., а ее сжатое изложение в 1928 г. было помещено в одном из разделов шестого тома Handbu h der Physik. Цель настоящей книги—дать современное изложение механики пластических деформаций твердых тел. Несколько новых глав вводят в теорию простых и обобщенных типов вещества, представление о которых основано на типах деформаций—упругой, пластической и их сочетании, а также на типах принятых законов деформирования. Целиком пересмотрены главы, относящиеся к исследованию напряженных состояний в пластически деформированных цилиндрах и дисках и к математической теории неоднородного состояния плоской пластической деформации и поверхностей скольжения. В гл. XII и XIII добавлены анализ конечных однородных деформаций, основанный на введении квадратичного удлинения X, и теория конечной плоской деформации, где использованы зависимости, выраженные через составляющие натуральных деформаций. Синтез малых упругих и пластических деформаций обобщен в теории стесненной пластической деформации, с которой приходится иметь дело в случаях, когда главные оси напряжений меняют свое направление в материале. [c.5]

Конечное вращение главных осей деформации при больших деформациях сдвига (см. п. 4 гл. XIII) может вызвать одновременное вращение главных осей напряжений, так как установлено, что для пластической деформации элемента круглого стержня потребуется затратить меньше механической работы, если, кроме ранее рассмотренной системы касательных напряжений, будут существовать нормальные напряжения а в осевом направлении, которые уменьшат касательные напряжения (производящие основную часть работы), тогда как октаэдрические напряжения сдвига у предела текучести останутся неизменными. [c.400]

В ранее разобранных случаях пластического деформирования мы имели право постулировать существование выраженных в конечной форме зависимостей между составляющими тензоров напряжения и деформацпи или скоростей деформации, так как при этом всегда предполагалось, что с возрастанием деформации главные осп напряжений сохраняют постоянные углы относительно элементов материала. Теперь мы обратимся к интегрированию бесконечно малых приращений упругой и пластической деформации для случая, когда тензор напряжения, хотя и сохраняет свое постоянное значение на пределе текучести, но направления главных осей в элементах материала изменяются. Это имеет место, когда на тело, подвергающееся под действием нагрузки пластической деформации, налагаются некоторые кинематические условия, которые определяются жесткими связями с другими телами, не позволяющими данному телу деформироваться так, как это происходило пы при той же системе напряжений, если бы его границы могли свободно перемещаться. С подобным случаем мы встречаемся, например, тогда, когда результирующие деформации по границе тела заданы, иными словами, когда они ограничены в своем развитии заданными граничными условиями. [c.483]

В. Механическая работа при деформировании идеально пластичной среды. Рассмотрим механическую работу о>, затрачиваемую на деформирование идеально пластичной среды по различным путям от недеформированного до некоторого конечного состояния деформации, для которого заданы конечные значения натуральных деформаций еь ег, ез=—81 = —ег, предположив, что при любом из путей не происходит никакого поворота главных осей напряжения и деформации и что обе группы соответствующих главных направлений все время совпадают друг с другом. Предположим, что материал испытывает некоторый общий вид деформирования, задаваемый кривой, вдоль которой движется точка (еь ег, ез), описывая в плоскости деформаций е1 + е2 + + 83 = 0 путь деформирования, начинающийся в точке О, е1 = е2 = = ез = 0, и оканчивающийся в некоторой заданной точке Q. Плоскость деформаций представлена на рис. 2.12. Для среды, в которой то = соп51, механическая работа со, произведенная напряжениями, согласно соотнощению (2.108), равна [c.103]

Этот частный вид, так же как и общий вид плоской деформации [уравнения (2.173)] несжимаемого материала, является по существу конечным чистым сдвигом, сочетающимся с некоторым поворотом главных осей деформаций [их угол поворота был фактически уменьшен на угол входивший в случае общего деформированного состояния в уравнения (2.173)]. Рассматриваемый вид деформирования искажает единичный квадрат ORoSoQo, превращая его в четырехугольник ORSQ единичной площади, как [c.126]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...