Деформация главная сдвига удлинения

Выражения (6.51) справедливы не только для главных деформаций, но и для относительных деформаций по любым трем взаимно перпендикулярным направлениям, поскольку при малых деформациях влияние сдвига на линейную деформацию представляет собой величину второго порядка малости. Так, относительные удлинения в направлении действия напряжений и ар (рис. 171, б) [c.195]

В любой точке тела заданной де< ормации всегда соответствуют три взаимно перпендикулярных направления, называемых главными направлениями (осями) деформаций, углы между которыми остаются прямыми и после деформации Деформации удлинений в этих направлениях е , и 83 называют главными деформациями. Прямоугольный параллелепипед гранями, параллельными главным плоскостям, не испытывает деформаций сдвига и остается прямоугольным после деформации. Любая деформация в точке может быть представлена как результат трех главных деформаций. Главные деформации в рассматриваемой точке являются корнями уравнения [c.37]

Мы видим, что если деформация —>/1 есть чистый сдвиг, то необратимая деформация /о 2 будет однородной деформацией общего типа с теми же самыми главными осями и с неравными единице главными степенями удлинения (рис. 4.1). В частности, главная степень удлинения в направлении главной оси, вдоль которой отсутствовало удлинение при деформации оказывается большей единицы. [c.124]

В каждом теле, в каждой точке существуют три взаимно перпендикулярных направления i, j, к, которые остаются взаимно перпендикулярными и после деформации. Они называются главными осями деформации. Так как прямые углы между ними не изменяются, то в направлении этих осей сдвига не. происходит, и деформация состоит из удлинения или укорочения в направлении главных осей (или нормально к плоскостям, содержащим оси). Следовательно, эти удлинения или укорочения являются нормальными деформациями ( ) ), их называют главными деформациями и обозначают Di, Dj, В изотропном теле эти деформации связаны с нормальными напряжениями (а ), называемыми главными напряжениями, которые и обозначаются через Oi, Oj, он. [c.77]

Величины Ч зч называются главными скоростями сдвига. Следовательно, главные скорости деформации сдвига равны полусуммам главных скоростей удлинений соответственных отрезков. Так как среди значений е , и имеется как минимальная скорость удлинения, так и максимальная, то разность именно этих главных скоростей удлинений будет давать максимальное значение скорости деформации сдвига. [c.47]

Заменяя главные касательные напряжения через главные нормальные напряжения по формулам (10.21) и главные скорости деформации сдвига через главные скорости удлинений по формулам (7.8), получим [c.60]

Таким образом, относительное удлинение по любому направлению и относительный сдвиг для любых взаимно перпендикулярных направлений в плоскости xOz выражается через относительные удлинения бх, бг и относительный сдвиг yzx- Взаимно перпендикулярные направления, для которых относительный, сдвиг равен нулю, называются главными осями деформаций а относительные удлинения по этим направлениям — главными. [c.85]

В теории пластической деформации иногда подсчитывают удлинения в направлениях, перпендикулярных к октаэдрическим площадкам, и сдвиги в плоскости октаэдрических площадок, равнонаклоненных к трем осям главных удлинений октаэдрическое удлинение [c.47]

Для заданного нагружения при конечных деформациях поворот направлений главных удлинений может быть совершенно отличен от поворота направлений главных сдвигов. На рис. 3.39 приведено несколько примеров конечной деформации. [c.161]

Проведенный выше анализ напряжений в точке тела, не зависящих от систем координат, тождественно переносится на теорию деформаций и частично уже был сделан в 5. Например, главные сдвиги через главные удлинения выражаются формулами [c.106]

Для деформаций так же, как и для напряжений, всегда можно найти г л а в ны е оси деформ а ций, в направлении которых возникают главные линейные деформации (главные удлинения) 61, 62 и ез, а сдвиги отсутствуют. Вообще все необходимые формулы теории деформаций можно записать по аналогии с соответствующими формулами теории напряжений [3]. [c.111]

Характерной особенностью деформации простого сдвига является ее немонотонность. Деформация считается монотонной только тогда [84], когда материальные точки, расположенные на главных осях деформации в начальной стадии формоизменения, остаются на этих главных осях и на всех последующих стадиях деформации. Так как при простом сдвиге положение главных осей напряжений сохраняется постоянным, то указанное условие не выполняется. Из рис. 50 видно, что в процессе деформирования все новые материальные волокна тела пересекают направления главных осей, получая на каждой стадии деформации максимальное удлинение и укорочение. Отсюда следует, что деформации волокон, получивших наибольшее результирующее удлинение и укорочение, не могут рассматриваться как главные, так как положения этих волокон не совпадают с положением главных осей напряжений. [c.88]

Проведенный выше анализ напряжений в точке тела, ие зависящих от систем координат, тождественно переносится на теорию деформаций и частично уже был сделан в 7. Например, главные сдвиги через главные удлинения выражаются формулами (8.45), если заменить буквы а на s и т на у/2. [c.105]

По аналогии с теорией напряженного состояния можно показать, что в каждой точке существуют три взаимно перпендикулярных направления, по которым тело испытывает только деформации удлинения или укорочения, а деформации сдвига равны нулю. Эти осевые деформации называются главными деформациями е , Ё2, з и находятся из кубического уравнения [c.22]

Решение. Так как прямой угол между направлениями / и 2 не изменился (угол сдвига Vi,2 = 0), относительные удлинения в этих направлениях являются главными деформациями [c.58]

Удлинение и угол сдвига связаны с главными деформациями формулами [c.59]

Последние выражения в отдельных случаях могут быть представлены в более простом виде. Это возможно тогда, когда оси координат (т. е. оси I—1 и 2—2) совпадают с так называемыми главными осями деформации, т. е. с такими направлениями, вдоль которых напряжения растяжения или сжатия не вызывают деформации сдвига, и наоборот, когда система касательных напряжений по граням элементарного объема не вызывает деформаций удлинения или укорочения его граней (т. е. обычное явление в случае изотропного тела). [c.48]

Будем называть главными осями тензора деформаций те оси, в которых реализуется главный вид квадратичной формы (2.13). Естественно, что тогда деформация сдвига обращается в нуль. Удлинение вдоль главных осей будем называть главным удлинением, а так как поверхность деформаций есть поверхность второго порядка, то главные удлинения являются экстремальными. [c.210]

А. При исследовании сложного напряженного состояния ( 33) было обнаружено, что, как и при простом растяжении или сжатии ( 27) по площадкам, наклоненным к направлению главных напряжений, возникают как нормальные напряжения, связанные с удлинением (или укорочением), так и касательные, соответствующие деформации сдвига. [c.122]

Деформация элементарного параллелепипеда в окрестности некоторой точки деформируемой среды в принятой произвольно декартовой системе координат х, у, z состоит в изменении первоначальных длин ребер и скашивании углов между ними. Существуют такие три взаимно перпендикулярных оси в каждой точке среды, что в направлениях этих осей деформация сдвига элементарного параллелепипеда отсутствует и имеется только деформация удлинения вдоль соответствующих осей. Эти направления (оси) обычно называют главными направлениями или главными осями тензора деформаций. [c.7]

Главные деформации сдвига расположены на плоскостях, проходящих через одну из главных осей и делящих угол между двумя другими главными осями пополам. Они выражаются через главные-удлинения следующим образом [c.19]

Поскольку 81 — наибольшее главное удлинение, а 83 — наименьшее, величина 731 является наибольшей деформацией сдвига. На площадках, где деформации сдвига определяются уравнениями (1.61),. нормальные удлинения принимают значения [c.19]

Уже говорилось, что изменение объема не влияет на реологические свойства материалов. Следовательно, если рассматривать деформацию, отличную от ламинарного сдвига, при которой будет изменяться объем, то для того, чтобы выразить реологические уравнения в более общем виде, нужно уменьшить напряжения на величину всестороннего равномерного напряжения, а деформации — на объемное расширение. Таким образом, получаем компоненты, относящиеся к формоизменению будем отмечать их индексом (о). Это не окажет влияния на касательные напряжения т, а также на деформации сдвига dt или на градиенты сдвигов потому что, как только что было сказано, в случае ламинарных деформаций объем не изменяется. Иное дело с напряжениями Oj, которые действуют по нормали п к поверхности элемента. Они связаны с линейными или продольными деформациями или удлинениями, которые в связи с этим называются нормальными деформациями и обозначаются через dn. Если принять в качестве системы координат три главные оси i, j, к, тогда [c.126]

Можно показать, что для определения угла поворота любого волокна или изменения угла между любыми двумя волокнами достаточно знать шесть компонент деформации (1.24) (или, что то же, главных удлинений и ориентации главных осей деформации). Ограничимся для этого двумя взаимно перпендикулярными волокнами, лежащими в одной из главных плоскостей. Это позволит попутно выяснить направления максимальных сдвигов. [c.46]

Пусть s , Sy, Sj являются удлинениями в направлении каких-либо осей координат. Если направляющие косинусы главных осей деформации будут (/j, т , п ), (4, Шд, Wg), (/д. Л ,, Ид), то направляющие косинусы осей лг, г, по отношению к главным осям деформации будут (/,, 1 , /3), т , т ), (п,, п , п. следовательно, применяя формулу (2.024) для вычисления удлинения в любом направлении в функции главных удлинений и помня, что сдвиги, отнесенные к главным осям, равны нулю, получаем [c.90]

Из этого уравнения мы получим три значения г е,, е.2 и Эти скорости деформаций относительных удлинений отрезков, направленных в точке О по главным осям деформации, называются главными скоростями удлинений в точке О. Главные оси деформаций ортогональны между собой. Та.к как в результате деформации частицы точки на главных осях смещаются только вдоль самих осей, то скорости деформаций сдвига по отнощению к этим осям будут обращаться в нуль, т. е. взаимно ортогональные направления главных осей деформации не будут испытывать скошений прямого угла между ними. [c.44]

Тензор деформации, как И всякий симметричный тензор, Имее главные оси, удлинения в направлении которых вх, и Вд, а сдвиги равны нулю. Разности [c.12]

Заметим, что в случае чистого сдвига наибольший из трех главных эллипсов удлинений должен перейти в круг, еслп воспользоваться графическим изображением состояния конечных деформаций, данным в и. 2 гл. XII. Далее, рассматривая значения полуосей главных эллипсов удлинений, приведенные в табл. 1 гл. XII, мы видим, что для чистого сдвига два меньшпх эллипса подобны п [c.155]

Условия интегрируемости (4.3.6) не выполняются, квазилинейный закон (1) непригоден для описания поведения гиперупругого тела. Однако, как показал Сетх, он позволяет учесть некоторые особенности нелинейной теории, например, конечность силы, создающей разрыв образца (бесконечное возрастание одного из главных удлинений), необходимость приложения нормальных усилий для осуществления деформации простого сдвига. При малых градиентах вектора перемещения количественные результаты не могут значительно отличаться от предсказаний линейной теории, но квазилинейный закон не налагает ограничений на перемещения и повороты, поэтому допускает рассмотрение недоступных линейной теории явлений. [c.151]

Если мы предположим, что оси лс, У лежат в плоскости х, у что оси х, у, г параллельны главным осям деформации, то должно исчезать, т.е. в направлении, перпендикулярном к двум нацравлениям, связанным со сдвигом, удлинения не будет. В этом случае мы имеем квадратичную форму з х Зквишшентную форме [c.56]

Плоская деформация. Более общий тип деформации, заключающий простое удлинение и сдвиг как частные случаи, мы получим, предполагая, что одно яз главных относительных удлинений равно нулю. Если направление соответствующей главной оси принять за ось г, то поверхность деформации представляет собай цилиндр, опирающийся на кривую второю порядка, лежащую в плоскости ДГд, эта кривая может быть названа кривой деформации ее уравнение имteт вид [c.57]

Как выше отмечалось, на направлениях главных осей деформация сдвига обращается в нуль. Можно показать (так же, как и для тензора напряжений), что экстремальные деформации сдвига действуют на площадках, проходящих через одну главную ось и делящих угол между оставщимися осями пополам. При этом их величины равны разности между соответствующими главными деформациями. Отметим, что вдоль направления нормалей к этим площадкам относительное удлинение равно полусумме главных деформаций. [c.212]

По формуле (15.8.9) tga = l. Это значит, что характеристики ортогональны и пересекают траектории главных напряжений под углом п/4. Но на площадках, равнонаклонных к главным осям, достигают максимального значения касательные напряжения. Следовательно, характеристики — это траектории главных касательных напряжений. Вследствие (15.8.14) вдоль характеристик удлинения равны нулю, поэтому вся деформация представляет собою чистый сдвиг в осях I, т]. Конечно, последнее замечание относится к бесконечно малой деформации, связанной с мгновенным распределением скоростей деформации. [c.506]

После этих предварительных замечаний можно установить связь между относительными удлинениями fj, е , по главным направлениям и удлинением и сдвигом по произвольному направлению. Тем самым будут найдены компоненты тензора десрормации. Опять для наглядности ограничимся рассмотрением плоской деформации, при которой упругие смещения всех точек тела происходят в параллельных плоскостях. [c.153]

Следовательно, напряжение общего вида можно представить как результат наложения (суперпозиции) всестороннего расширения и трех напряжений сдвига по направлениям, образующим с соответствующими главными направлениями углы в 45 . Под действием всех этих составляющих напряжения произойдет деформация, которая будет состоять из объемного расширения (сжатия) и трех сдвигов. Пренебрегая малыми второго порядка, найдем, что относительное изменение элементарного объема, или относительная объемная деформация, раша 6 = = 3е, где е — относительное удлинение при всестороннем расширении. Заменяя в (6.15) Ох, и Оз на (ох + Оа + Оз)/3 и полагая бх = Вз = ед = е, найдем [c.156]

Недостаток данной схемы состоит в том, что деформация удлинения по направлению среднего главного напряжения при сдвиге по плоскостям Tnjin всегда равна нулю, и при любых величина Не по формуле (2.21) обращается в нуль, что значительно расходится с опытом. Равенство гораздо ближе к опыту, хотя упомянутые небольшие отклонения и идут в сторону условия [c.52]

Обратимся к рассмотрению деформаций при чистом сдвиге. На рис. 5.4в изображен начальный контур элемента материала в виде квадрата AB D и конечный контур A B D, . У начального и конечного контура совпадают направления диагоналей — главные направления / и < . Вычислим относительное удлинение Е (вдоль первого главного направления) двумя способами. В первом из них используем первую формулу (5.4) [c.113]

При выпучивании оболочек с образованием длинных волн в направлении образующих (случай, возможный для длинных круговых цилиндрических оболочек) в уравнениях устойчивости следует учитывать некоторые слагаемые, содержащие в качестве множителей деформации срединной поверхности. При этом главными из них являются слагаемые, содержащие множителями деформации удлинений. Учет при составлении уравнений сдвига координатных линий приводит к появлению слагаемого jjYg во втором уравнении (2.30), причем это слагаемое имеет одинаковый порядок с главными при условии (2.29). [c.63]

В случае криволинейного сдвигового течения. Величину s можно определить как главное значение компонент деформации Y - ( o) — Y (0 (см. главу 12). Возникновение неравных нормальных компонент напряжения при конечном сдвиге в упругом теле впервые установил Пойн-тинг который обнаружил и измерил удлинение [c.283]

Три компоненты — e , е , е — тензора деформаций, стоящие по главной диагонали, называются деформациями сжатия (растяжения) или удлинениями. Три оставшиеся компоненты — "ifiy, "f i> lfm — тензора деформаций Je называются деформациями сдвига. [c.10]

Корни уравнения (1.49) называются главными удлинениями, поскольку главные оси тензора деформаций обладают тем свойством, что вдоль них происходит только изменение длины при отсутствии J eфopмaций сдвига. Обьгано главные удлинения нумеруют в порядке их убывания е1>82>Ез. Три направляющих косинуса — н, Пу, Пг — ДЛЯ каждого Е( находятся из любых двух уравнений (1.48) и уравнения (1.17). Величины Т ) называются инвариантами тензора деформаций. Запишем (1.49) в виде [c.18]

Соотношения (5.3) можно рассматривать как аналитическое обоснование утверждения В. В. Новожилова, что при малых деформациях повороты могут ymie TBeHHO-превосходить относительные удлинения и сдвиги, главным образом, в гибких телах [46]. С помощью (5.3) с точностью до величин порядка имеем [c.314]

Гест предполагал, что для геометрического представления диаграммы ее следует мысленно согнуть вокруг оси Ох так, чтобы между плоскостями хОу и хОг образовался прямой угол. Тогда на рис. 4.37 точки, соответствующие максимальному напряжению, расположатся на линии ВН. Для теории максимального удлинения получаются линии GAH, KAL или MAN в зависимости от значения коэффициента Пуассона. Для гипотезы максимального касательного напряжения, обследованной экспериментально на основании измерений Геста, получилась диаграмма EFABD. Отклонение Гестом гипотез максимального главного напряжения и максимальной главной деформации вместе с международным инженерным конфликтом мнений было фактически преамбулой к новому конфликту, который возник между гипотезой Геста, или условием Треска для поверхности текучести, с одной стороны, и критерием энергии формоизменения Максвелла — фон Мизеса — с другой. Хотя 75 лет последующего экспериментирования оказались предоставляющими аргументы в пользу критерия, впервые предложенного Максвеллом, но описанного только фон Мизесом, так как статья Максвелла долго оставалась неопубликованной, пионерное историческое значение имеет экспериментальное исследование Геста. Гест отмечает, что явно выраженное начало пластичности в медных и латунных трубках, несмотря на трудность определения его местоположения при сравнении, производимом в терминах сходного поведения зависимости напряжение — деформация, согласовалось с его гипотезой максимального сдвига. [c.85]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...