Тензор второго ранга симметричный

Нетрудно видеть, что любая степень симметричного тензора второго ранга — симметричный тензор. [c.320]

Весьма часто тензоры второго ранга симметричны [c.43]

Кроме перечисленных выше алгебраических операций в тензорном исчислении играет важную роль операция перестановки индексов. С ее помощью можно выделить из числа тензоров второго ранга симметричные тензоры, обладающие свойством [c.165]

Тензору инерции или симметричному тензору второго ранга соответствует геометрический образ в виде эллипсоида, центр которого находится в точке О. Для доказательства этого рассмотрим момент инерции относительно оси А, проходящей через О и направленной под углами а, р, у к осям координат. [c.173]

Для симметричного тензора второго ранга ац — ац и вектор диадика Dv = 0. Тензор второго ранга может быть представлен в виде суммы двух тензоров [c.13]

Таким образом, симметричный тензор второго ранга можно определить не только шестью его компонентами ац в произвольных ортогональных координатах но и тройкой главных направлений и тремя независимыми инвариантами. В качестве последних можно выбрать либо три главных значения тензора fli, йь Оз. либо их комбинации, например модули а, d и фазу ф тензора. [c.15]

Лагранжев и эйлеров тензоры деформаций являются симметричными декартовыми тензорами второго ранга и поэтому для них можно в каждой точке тела найти три главных направления (главные оси) и три главных значения. С физической точки зрения материальная частица, у которой направления ребер (мы условились, что материальная частица имеет форму параллелепипеда) совпадают с главными направлениями деформации, не меняет своей ориентации. Так как направляющие косинусы осей х,- и X,- удовлетворяют условиям [c.67]

Симметричный тензор второго ранга, компонентами которого являются осевые и взятые с обратными знаками центробежные моменты инерции системы. [c.87]

Симметричные и антисимметричные тензоры второго ранга [c.46]

Симметричный тензор второго ранга характеризуется такими соотношениями между своими компонентами Антисимметричный тензор имеет следующее свойство Т Оче- [c.46]

Покажем теперь, что произвольный тензор второго ранга можно представить как сумму симметричного и антисимметричного тензоров. Действительно, введенное нами выше действие сложения позволяет написать [c.46]

Величины dx можно рассматривать на основании (П.49Ь) как контравариантные компоненты вектора dr. Заметив, что ds является инвариантом, заключаем (см. 24), что g,-ft— компоненты симметричного ковариантного тензора второго ранга. Это заключение совпадает с тем, которое мы сделали в ч. I, рассматривая косоугольные системы декартовых координат. [c.92]

Докажем теорему моменты инерции являются компонентами симметричного тензора второго ранга [c.77]

Рассмотрим симметричный тензор второго ранга с матрицей [c.497]

Симметричный тензор второго ранга [c.502]

Выражения в круглых скобках представляют собой компоненты ковариантного симметричного тензора второго ранга [c.503]

Тензор с компонентами, содержащими вторые производные от компонент метрического тензора, известен. Это — тензор кривизны (IV. 89). Но тензор кривизны — тензор четвертого ранга. Однако посредством операции свертывания из тензора кривизны можно построить симметричный тензор второго ранга определенный равенствами (IV. 93). [c.530]

В этом параграфе ограничимся рассмотрением симметричных тензоров второго ранга (симметрия означает, что ( / = 0, iif = tfi отсюда и из симметрии g = g следует, что = [c.318]

Главным направлением симметричного тензора второго ранга i называется такое направление S, для которого [c.318]

Определение. Квадратом симметричного тензора второго ранга t называется тензор второго ранга вида [c.319]

Число различных независимых компонент тензора зависит от симметрии кристалла. Поскольку тензор симметричен, это число такое же, как у симметричного тензора второго ранга а,й (тензора теплового расширения см. 10). [c.177]

Разложение тензора второго ранга на симметричную и антисимметричную части. Сопутствующий антисимметричному тензору вектор. Инварианты. Сферическая и девиаторная части [c.120]

Применим выведенное в 34 разложение любого тензора второго ранга на симметричную и антисимметричную части, положив [c.339]

В 35 было показано, что симметричный тензор второго ранга в каждой точке пространства обладает тремя взаимно перпендикулярными главными осями. Если принять эти оси за оси координат, то недиагональные компоненты будут равны нулю, а три отличные от нуля диагональные компоненты образуют систему главных значений тензора. В рассматриваемом случае тензора инерции главные оси тензора инерции именуются главными осями инерции, а главные значения тензора инерции — главными моментами инерции. [c.285]

Метод определения направлений главных осей и величин главных значений любого симметричного тензора второго ранга был уже описан ранее ( 35), причем метод этот носил чисто [c.286]

Выяснив смысл компонент деформации, мы можем теперь со. ставить тензор деформации, который определяет деформированное состояние в данной точке тела. При этом для того, чтобы определить собственную деформацию тела от его вращения как целого, обычно тензор делят на симметричную и антисимметричную части. Антисимметричная часть /2( 12—< 2i) описывает вращение тела как целого. Симметричная часть /2( 12+621) описывает собственно деформацию тела. Таким образом, тензор деформации является симметричным тензором второго ранга, содержит девять компонент, шесть из которых являются независимыми, поскольку компоненты, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой ец=вц) [c.122]

Уравнение Фурье справедливо для небольших значений градиента температуры (когда отклонение системы от равновесного состояния мало) и в случае, когда средняя длина свободного пробега частиц (квазичастиц), участвующих в теплопереносе, мала по сравнению с геометрическими размерами системы. Для кристаллических твердых тел коэффициент теплопроводности представляет собой симметричный тензор второго ранга. [c.338]

Главные значения тензора деформации ij), как симметричного тензора второго ранга, равны корням ч-кубического уравнения [см. (1 .50)] [c.18]

Тензору деформации st ) в точке М тела, как симметричному тензору второго ранга, соответствует характеристическая поверхность в центром в точке М [см. (1 .62)1 [c.20]

Как и в случае любого симметричного тензора второго ранга, главные значения тензора напряжений (о ) равны корням кубического уравнения [см. (1 .50)1 [c.39]

Тензор напряжений (оц), как симметричный тензор второго ранга [ем. (1 .5)], можно разложить на шаровой тензор и девиатор напряжений [c.48]

Всякая девятка чисел а,/, преобразующаяся по формуле (2.12), образует тензор второго ранга. Вследствие закона парности касательных напряжений (2.8) этот тензор напряжений является симметричным тензором второго ранга [c.44]

Симметричность величин относительно индексов /г следует из правой части равенства (а). Теперь рассмотрим закон преобразования величин Первый член в правой части преобразуется как компонента смешанного тензора второго ранга, так как величины 6, совпадают со смешанными компонентами метрического тензора, а является абсолютным скаляром. Что касается второго члена, то следует отметить, что радиус-вектор в криволинейной системе координат нужно считать определенным своими компонентарли в местном координатном базисе начало местной координатной системы должно совпадать с началом радиуса-вектора. Зная модуль радиуса-вектора и его направление относительно упомянутой местной координатной системы, можно найти его компоненты, как это отмечалось в первом томе. [c.78]

Величины Gift определяют изменение внутренней метрики среды при деформации они являются компонентами симметричного тензора второго ранга, который называется тензором конечных деформаций в переменных Лагранжа. [c.504]

Значение теоремы Кэли —Гамильтона состоит в том. что она позволяет выразить любую степень симметричного тензора второго ранга через нулевую (т. е. единичный тензор), первую и вторую степени этого же тензора в самом деле, для третьей степени это утверждение уже доказано для четвертой степени [c.320]

В силу изотропии, тензор Bik не может зависеть ни от какого избранного направления в пространстве. Единственным вектором, который может входить в выралсение для Б,, является радиус-вектор г. Общий вид такого симметричного тензора второго ранга есть [c.194]

Р1зображение тензора инерции в форме эллипсоида не является чем-то специфическим для тензора инерции. Аналогичные интерпретации возможны и для всех других симметричных тензоров второго ранга. Так, тензору напряжений ( 36) можно было бы сопоставить эллипсоид напряжений, тензору деформаций ( 78) эллипсоид деформаций, тензору скоростей деформаций— эллипсоид скоростей деформаций ( 78). Происхождение названия сферический тензор для тензора, обладающего изотропией, т. е. такого, что все его диагональные компоненты в данной точке равны между собой (единичный тензор, тензор напряжений в идеально текучей жидкости), связано с тем, что в геометрической интерпретации такому тензору соответствует сфера. [c.286]

Так как тензоры деформации и напряжения являются симметричными тензорами второго ранга (eij=eji Tij—aji), то независимых компонент Sijki и iju будет уже не 81, а только 36, поскольку в этом случае [c.126]

Из (3.2) видно, что Snf являются компонентами симметричного ковариантного тензора второго ранга, который называется тензором деформации. Когда все = 0 для всех точек, то ds = ds и тело не деформируется. Относительное удлинение линейного элемента dSn вдоль координатной линии х", по определению, равно [c.47]

Очевидно, что из девяти компонент симметричного тензора второго ранга только uje Tb являются независимыми. [c.395]

Любой тензор второго ранга Ojj может быть разложен, и притом единственным образом, на симметричную составляюшую и косо симметричную составляющую а[ц a == щц) + где [c.396]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...