Главные деформации и инварианты тензора деформации

ГЛАВНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И ИНВАРИАНТЫ ТЕНЗОРА ДЕФОРМАЦИИ [c.18]

Поскольку главные деформации не могут зависеть от выбора осей координат, то коэффициенты кубического уравнения также не изменяются при повороте осей координат, т. е. являются инвариантами. Их называют соответственно первым, вторым и третьим инвариантами тензора деформаций и определяют следующим образом [c.28]

Записать инварианты тензора деформации и вывести формулы для главных удлинений. [c.30]

Приведенные выше формулы для определения главных деформаций и сдвигов, главных направлений тензора деформаций и его инвариантов могут быть использованы без каких-либо изменений и в случае ортогональных криволинейных координат. [c.25]

Более сложны зависимости между главными инвариантами тензоров деформации и < . Их можно получить с помощью формул (5.2.4). Например, [c.85]

Сопоставление полученных выражений с (1.11) и (6.47) показывает, что величины (6.65) — главные инварианты тензора деформации [c.94]

Здесь 1е, Не и П1е—главные инварианты тензора деформации Лагранжа. [c.165]

Инварианты. Инварианты тензора деформации образуются так же, как для тензора напряжения, и в главных осях имеют вид [c.24]

Таким образом, лагранжев либо эйлеров тензор деформаций е// определяется заданием трех главных удлинений е и трех направлений главных осей тензора. Вместо трех инвариантов е можно задать три других инварианта ео, Э, г() (либо це). [c.71]

Вообще все, что было ранее сказано по поводу напряженного состояния в точке, полностью переносится и на деформированное состояние. Деформированное состояние в точке, как и напряженное, определяется шестью компонентами и представляет собой тензор второго ранга. Главные деформации определяются из кубического уравнения, коэффициенты которого являются инвариантами деформированного состояния. [c.38]

Рассмотрим тело произвольной формы, считая, что начальные напряжения и деформации в нем отсутствуют. На начальном этапе нагружения такого тела возникают только упругие деформации и, следовательно, появление пластических деформаций однозначно определяется действующими напряжениями. В связи с этим условие пластичности можно записать в виде некоторой функции компонент тензора напряжений. Очевидно, что для изотропного материала условие появления пластических деформаций не должно зависеть от выбора координатной системы. Тогда указанная функция должна быть функцией трех инвариантов тензора напряжений, в качестве которых можно взять, например, три главных напряжения [c.293]

Механический смысл приведения тензора напряжений к главным осям состоит в следующем. Около каждой точки напряженного тела можно выделить такой элемент в виде бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда, что на грани его действуют только нормальные напряжения Oi, 02 и Оз. Перефразируя этот результат применительно к тензору деформаций, мы можем утверждать существование такого бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда, ребра которого удлиняются или укорачиваются в отношениях 1 + е,, 1 + е , 1 + е , но прямые углы остаются прямыми. Для инвариантов, представляющих собою коэффициенты соответствующего кубического уравнения, сохраняются формулы (7.5.1) с заменой О на С . [c.222]

Раскрывая определитель, учитывая выражения инвариантов тензора и имея в виду обозначение главных относительных линейных деформаций (Ei, Ег, Е ), получим [c.490]

Этот тензор обладает теми же свойствами, что и тензор деформации. Его также можно представить матрицей (3X3) вида (1.6), вектор-столбцом или вектор-строкой вида (1.7) и привести к главным осям, которым соответствуют три главных коэффициента температурной деформации а., а.2 и схз. Линейный инвариант этого тензора (Ху = аи является коэффициентом объемного расширения материала тела. Очевидно, что для изотропного материала = 2 = аз = а. [c.11]

К приведенным соотношениям следует добавить формулы, определяющие главные инварианты тензоров мер деформации и gx. По (5.1.3), (5.1.4) имеем [c.83]

Некоторые авторы вводят в рассмотрение тензор, главные значения которого, значит и главные инварианты, равны главным значениям тензора напряжения Т, но главные оси совмещены с главными осями меры деформации Заметив, что тензор Г соосен не с <3 , а с тензором g , и сославшись на [c.638]

Девиатор деформации характеризует изменение формы элемента среды за счет сдвигов. Он имеет те же главные направления, что и тензор (1.12). Следует отметить, что в случае несжимаемой среды тензор и девиатор дес рмации равны друг другу. Из трех инвариантов девиатора деформации важную роль играет квадратичный инвариант, который является суммарной или обобщенной характеристикой искажения формы элемента среды. Положительный квадратный корень из этого инварианта называется интенсивностью деформаций сдвига [c.12]

Очевидно, что зависимость S = S(F) будет иметь место лишь при совпадении направлений главных осей тензоров напряжений и деформаций = и, в противном случае сказывается история нагружения. Рассмотрение теории кручения не представляет трудностей, в этом случае третьи инварианты также равны нулю. Пространственная задача может быть рассмотрена согласно [7]. [c.263]

Выбранный путь нагружения приводит к вполне определенному деформированному состоянию, независимо от ориентации тела относительно некоторой декартовой системы координат Следовательно, функции нагружения зависят только от инвариантов напряженного и деформированного состояния. Инвариантами напряженного и деформированного состояния будут инварианты тензоров а -, а также совместные инварианты этих тензоров. Число основных, базисных инвариантов, через которые могут быть выражены все инварианты тензоров (включая совместные), равно девяти. Это обстоятельство соответствует тому факту, что данное напряженное и деформированное состояние полностью определяется шестью величинами главных компонент тензоров напряжений (5ij и пластических деформаций а также тремя независимыми величинами, характеризующими взаимную ориентацию главных направлений этих тензоров. [c.326]

Обозначим через в2, три корня уравнения (8) и упорядочим их таким способом, чтобы > 2 > е . В тензорной алгебре доказывается, что для симметричного тензора второго ранга корни векового уравнения (Ю) являются действительными. Эти корни не зависят от изменения системы координат Хг. Коэффициенты являются инвариантами, поскольку они как коэффициенты уравнения (Ю) являются элементарными симметрическими функциями корней е, (главных значений тензора деформаций) и однозначно выражаются через эти корни [c.25]

В 1.6 были указаны главные значения тензора деформаций и инварианты деформированного состояния. Во всех встречав-шихся там уравнениях в случае малых деформаций следует заменить eij на eij. [c.30]

Все три корня кубического уравнения (1.58) [196] действительные. Поскольку главные деформации 8 , 83, 83 не зависят от выбора системы координат, коэффициенты кубического уравнения (1.58) также не зависят от выбора системы координат. Они называются соответственно первым (линейным), вторым (квадратичным) и третьим (кубическим) инвариантами тензора деформаций [c.36]

Вопросу о выборе оптимальной системы инвариантов, вычислению механического смысла инвариантов и связи между ними уделялось большое внимание (К. 3. Галимов, 1946—1955 И. И. Гольденблат, 1950, 1955 В. В. Новожилов, 1948, 1958). Так, было отмечено (В. В. Новожилов, 1952), что с точностью до постоянного множителя интенсивность касательных напряжений совпадает со средним значением касательного напряжения в рассматриваемой точке тела. Далее, было использовано тригонометрическое представление главных значений тензоров деформации и напряжений (В. В. Новожилов, 1951). Основными инвариантами при этом являются линейный инвариант, интенсивность девиатора и угол вида тензора (девиатора). Связь между тензорами деформации и напряжения характеризуют обобщенный модуль объемного расширения, обобщенный модуль сдвига и фаза подобия девиаторов (равная разности углов вида рассматриваемых тензоров). Из требования существования потенциалов напряжений и деформаций устанавливаются дифференциальные связи между введенными обобщенными модулями. [c.73]

Чтобы, исходя из главных напряжений и главных удлинений получить А (в, ) через составляющие тензора деформации отнесенные к произвольным осям Л, У и Z, вспомним, что 1 2 2 з Ь инварианты тензора де- [c.38]

В теории тензоров большое значение имеют их инварианты. Так называют комбинации компонентов тензоров, остающиеся неизменными при переходе от одной системы координат к другой. Инвариантами симметричного тензора второго ранга будут, в частности, его три главных значения, равные экстремальным значениям компонентов тензора, стоящих на главной диагонали его матрицы. По аналогии с доказанным для тензоров деформации и напряжения можно утверждать, что всегда можно выбрать такую прямоугольную декартову систему координат, в которой матрица симметричного тензора будет иметь вид [c.99]

Таким об.разом, элементы девиатора деформации равны соответствующим элементам девиатора напряжения, умноженным на скаляр г последний является некоторой, пока не определенной функцией инвариантов тензоров напряжения и деформации. Очевидно, что девиаторы деформации и напряжения коаксиальны (т. е. имеют одни и те же главные направления), а их главные значения соответственно пропорциональны, именно [c.55]

Если, как и раньше, мы предположим, что тело изотропно и гипер упруго, то функцию энергии деформации Ж можно представить как функцию от главных инвариантов тензора меры деформации. Для рассматриваемого типа деформаций [c.358]

Теорию конечной плоской деформации изотропных гиперупругих тел можно трактовать как частный случай обсуждавшейся в предыдущем пункте теории для осесимметричных тел. Рассмотрим однородное твердое тело в условиях плоской деформации, параллельной плоскости х . Кроме того, тело может быть подвергнуто равномерному растяжению в направлении оси ж , характеризуемому относительным удлинением %. Тогда 70,3 определяются формулами (18.48а), 70,3 = О и 7,3 = - X — 1), где теперь % — известная постоянная. Главные инварианты тензора меры деформации имеют вид [c.375]

Следует отметить, что инварианты тензоров деформаций и напряжений совпадают с компонентами этих тензоров, как это зафиксировано в уравнениях (6.33) и (6.34), только в специально выбранной системе координат, оси которой совпадают с главными осями орто-тропии. [c.110]

Поскольку главные скорости деформации е,- — инварианты, инвариантами должны быть и коэффициенты уравнения (9.9). Эти коэффиценты /ь /г, /з называют соответственно линейным, квадратичным и кубичным инвариантами тензора скоростей деформаций. Наиболее простой вид имеет линейный инвариант/]. Это просто свертка тензора е, [c.30]

Из (13) следует, что в условиях плоской деформации основные инварианты тензора Eij и угол д между первым главным направлением тензора Альманси и касательной к линии разрыва скоростей Ь вычисляются через величину Ж по формулам [c.764]

Вследствие того что Оц является симметричным тензором второго ранга, для него существуют такие понятия, как главные оси, главные значения, инварианты, поверхность скоростей деформации и девиатор скоростей деформации. Кроме того, для компонент тензора скоростей деформации можно написать уравнения совжстности, аналогичные уравнениям, полученным в гл. 3 для тензора линейных деформаций. [c.163]

Главные деформации. Инварианты тензора деформацви. В каждой точю тела в общем случае имеются три взаимно перпендикулярных направления, по которым относительные удлинения, а следовательно, и линейные деформации имеют экстремальные значения. Указанные направления называют главными направлениями тензора деформации (главные оси), а линейные деформации вдоль главных направлений - главными деформациями. [c.22]

Корни уравнения (1.49) называются главными удлинениями, поскольку главные оси тензора деформаций обладают тем свойством, что вдоль них происходит только изменение длины при отсутствии J eфopмaций сдвига. Обьгано главные удлинения нумеруют в порядке их убывания е1>82>Ез. Три направляющих косинуса — н, Пу, Пг — ДЛЯ каждого Е( находятся из любых двух уравнений (1.48) и уравнения (1.17). Величины Т ) называются инвариантами тензора деформаций. Запишем (1.49) в виде [c.18]

Путем преобразования координат тензор деформации можно привести в данной точке твердого тела к диагональной форме любая деформация, таким образом, может быть представлена как сжатие и растяжение вдоль трех взаимно перпендикулярных направнений, называемых главными направлениями деформации в данной точ- ке. Можно показать (см., например, [1]), что инвариантами тензора деформации являются следующие величины [c.292]

Так как корни уравнения (7.7), определяйщёго значения главных скоростей деформаций относительных удлинений, не должны меняться с изменением осей координат с началом в точке О, то и коэффициенты этого уравнения 5, и Е не должны меняться с поворотом осей координат. Эти коэффициенты, представленные через составляющие тензора скоростей деформаций соотношениями (7.8), называются инвариантами тензора скоростей деформации. Первый из этих инвариантов представляет собой скорость относительной объёмной деформации частицы. [c.45]

Эти уравнения устанавливают связь между инвариантами тензоров Альманси е, и скоростей деформаций 7 и их главными направлениями д, ф вдоль траектории движения частицы материала. [c.768]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...