Тензор деформации 22 - Главные направления

В каждой точке среды имеется три взаимно перпендикулярные-плоскости, на которых касательные смещения равны нулю. Направления нормалей к этим плоскостям образуют главные направления (главные оси) тензора деформаций. Эти направления зависят только от величины смещения Л л не зависят от исходной системы координат X, у, г. Для определения этих главных деформаций обозначим искомую главную деформацию через е. Спроектировав ее на оси X, у, г, получим [c.17]

В исследовании применили сетку, включающую в себя систему пересекающихся перпендикулярных линий и вписанных в квадраты сетки окружностей. Такой вид сетки позволяет определить средние для каждой ячейки компоненты тензора деформации, главные деформации и их направления. База сетки (расстояние между параллельными линиями) составляла 2,93 мм. Измерение деформированной координатной сетки проводили на инструментальном микроскопе с точностью до 0,005 мм. При этом определяли величину и направ- [c.154]

Лагранжев и эйлеров тензоры деформаций являются симметричными декартовыми тензорами второго ранга и поэтому для них можно в каждой точке тела найти три главных направления (главные оси) и три главных значения. С физической точки зрения материальная частица, у которой направления ребер (мы условились, что материальная частица имеет форму параллелепипеда) совпадают с главными направлениями деформации, не меняет своей ориентации. Так как направляющие косинусы осей х,- и X,- удовлетворяют условиям [c.67]

Уравнение (3.35) позволяет найти три действительных корня ( =1, 2, 3), которые и называются главными значения-м и лагранжева тензора деформаций ( и), а уравнение (3.33) при дополнительном условии а,а,= 1—три главных направления тензора, т. е. а (г, й==1, 2, 3). [c.68]

Первый инвариант лагранжева тензора деформаций имеет важный физический смысл. Рассмотрим материальную частицу в форме элементарного параллелепипеда, ребра которого параллельны главным направлениям деформации. Относительное изменение объема 0 этого параллелепипеда [c.68]

Пусть одно из главных направлений тензора деформаций известно и совпадает с осью Хз (либо Хз), так что езз = ез, ез1 = = 632 = 0. Тогда по аналогии с формулами (2.25) —(2.27) имеем [c.69]

Таким образом, лагранжев либо эйлеров тензор деформаций е// определяется заданием трех главных удлинений е и трех направлений главных осей тензора. Вместо трех инвариантов е можно задать три других инварианта ео, Э, г() (либо це). [c.71]

Следовательно, направляющий тензор деформации определяется заданием четырех величин —трех углов Эйлера, определяющих направление главных осей тензора, и угла вида деформированного состояния (фазы) if. [c.72]

Мы видим, что это выражение распадается на три независимых члена. Это значит, что в каждом элементе объема тела деформацию можно рассматривать как совокупность трех независимых деформаций по трем взаимно перпендикулярным направлениям — главным осям тензора деформации. Каждая из этих деформаций [c.10]

Относительные удлинения элементов длины вдоль направлений главных осей тензора деформации (в данной точке) равны теперь с точностью до величин высших порядков [c.12]

ВИИ достижения пластического состояния. На рис. 36 изображен элемент, ребра которого параллельны направлениям главных осей тензора деформаций. Обозначая главные напряжения Oi, 02, и сгд, будем по-прежнему нумеровать их так, чтобы было [c.53]

Главные значения тензора деформаций, которые называются главными относительными удлинениями, являются корнями кубического уравнения (3.37). Направления, соответствующие главным удлинениям 1, Е2, ез, взаимно перпендикулярны. Когда имеет место случай двух равных корней, тогда направления, соответствующие этим корням, лежат в плоскости, перпендикулярной направлению, соответствующему простому корню в этом случае любые взаимно ортогональные направления, лежащие в этой плоскости, могут быть приняты за главные. Если все три корня равны, то любые Перпендикулярные направления можно принять за главные. [c.55]

Докажем, что в каждой точке изотропного тела главные направления тензора деформаций совпадают с главными направлениями тензора напряжений. Примем главные направления тензора деформаций в некоторой точке тела за оси координат, тогда будем иметь 612=1624 = 631 = 0, в силу формул (4.35) также 012=023=031 = 0, что и требовалось доказать. Поэтому для изотропных тел не различают главные направления тензора деформаций и тензора напряжений те и другие называются главными направлениями. [c.69]

Компоненты единичного вектора п в направлении главных осей тензора деформации или, что то же самое, направляющие косинусы вектора -и, которые обозначим через Uj, определяются из уравнений [см. (1 .48)1 [c.18]

Главные оси тензора деформаций — три взаимно перпендикулярных направления, остающиеся при деформации взаимно перпендикулярными. С их помощью объемное расширение тела может быть представлено в виде [c.192]

Из пропорциональности деформаций сдвига и касательных напряжений следует совпадение главных осей тензоров напряжений Та и деформаций Т . Поскольку при преобразовании осей координат как для тензора напряжений, так и для тензора деформаций матрица перехода одна и та же, то уравнения (3.30) оказываются инвариантными относительно выбора направления осей. [c.224]

Аналогичная модель волокнистого композиционного материала для плоского случая — при армировании в двух направлениях — применялась ранее [54, 68] при расчете сетчатых безмоментных оболочек. Для нее матрица жесткости также вырожденная, тензор деформаций в плоскости — шаровой. Напряжения в главных направлениях различались между собой их отношение, равное lg 0, характеризовало направление траекторий армирования (под углом 6 к оси 1). В случае плоского напряженного состояния [68] для статической определимости системы трех напряжений в плоскости слоев, работающих лишь в направлении волокон, необходима укладка, состоящая из трех слоев с различными углами армирования в плоскости. [c.80]

Поэтому можно говорить о симметричности термодинамического (изобарного) потенциала твердого кристаллического тела в том смысле, что локальное значение химического потенциала в точке определяется абсолютной величиной гидростатической части тензора напряжений независимо от направления механической силы— растягивающей или сжимающей твердое тело (относительно равновесного положения с нулевыми силами). Подобный анализ можно провести для любого главного значения тензора напряжений (рассматривая изменения соответствующих компонент тензора деформаций), чтобы сделать заключение о симметрии термодинамического потенциала Гиббса по знаку компонент тензора напряжений (относительно недеформированного состояния). [c.18]

Алгоритм отыскания направляющих косинусов главных направлений деформации ничем не отличается от алгоритма определения направляющих косинусов нормалей к главным площадкам. При этом во всех формулах вместо элементов тензора [c.461]

Главные значения э , и Эз соответственно отличаются от главных значений ei, и на величину Sq. Главные направления девиатора деформации Dg и тензора деформации совпадают. [c.464]

При больших деформациях главные оси тензора Т являются главными осями деформации, т. е. между линейными элементами, проходящими через рассматриваемую точку тела и совпадающими с этими осями, в процессе деформации тела сдвигов нет, а относительные линейные деформации вдоль этих направлений обладают свойством экстремальности тензор Т также обладает главными осями, но не совпадающими с главными осями тензора Т , и, таким образом, они не являются главными осями деформации, т. е. сдвиги между линейными элементами, проходящими через рассматриваемую точку тела и совпадающими с главными направлениями тензора Tg, не равны нулю. [c.491]

Главные направления девиатора деформации и тензора деформации совпадают. [c.23]

Приведенные выше формулы для определения главных деформаций и сдвигов, главных направлений тензора деформаций и его инвариантов могут быть использованы без каких-либо изменений и в случае ортогональных криволинейных координат. [c.25]

Максимальное удлинение имеет материальное волокно ОА , направленное в начальном состоянии по главной оси тензора деформаций 5 . Минимальное [c.79]

Главные компоненты рассмотренных тензоров деформации связаны с относительными удлинениями Ьг бесконечно малых отрезков, совмещенных с главными направлениями [c.15]

Наиболее просто определяются компоненты девиатора напряжений по соотношениям деформационной теории пластичности. Ограничившись, как и в прочих случаях, рассмотрением, процессов деформирования, при которых направление г, нормальное к плоскости ячейки делительной сетки, является главным направлением тензоров деформаций, получаем из уравнений (1.108) [c.61]

Подобно тензору деформации в каждой точке тела поворотом системы декартовых координат тензор напряжений также можно привести к главным осям. На гранях элементарного прямоугольного параллелепипеда, ребра которого параллельны этим осям, действуют только нормальные напряжения. В общем случае неоднородного напряженного состояния направление главных осей тензора напряжений в различных точках тела различно. [c.12]

Ms = Gs и главные направления е , мер деформации G, М [см. (5.3.1) гл. II )]. Для построения тензора [c.782]

Деформация элементарного параллелепипеда в окрестности некоторой точки деформируемой среды в принятой произвольно декартовой системе координат х, у, z состоит в изменении первоначальных длин ребер и скашивании углов между ними. Существуют такие три взаимно перпендикулярных оси в каждой точке среды, что в направлениях этих осей деформация сдвига элементарного параллелепипеда отсутствует и имеется только деформация удлинения вдоль соответствующих осей. Эти направления (оси) обычно называют главными направлениями или главными осями тензора деформаций. [c.7]

В силу специфичности проводимого рассмотрения направления осей X, у, г являются главными направлениями тензоров деформаций и напряжений. Поэтому уравнения (2.196) могут быть записаны так [c.72]

Главные деформации. Инварианты тензора деформацви. В каждой точю тела в общем случае имеются три взаимно перпендикулярных направления, по которым относительные удлинения, а следовательно, и линейные деформации имеют экстремальные значения. Указанные направления называют главными направлениями тензора деформации (главные оси), а линейные деформации вдоль главных направлений - главными деформациями. [c.22]

После этих предварительных замечаний можно установить связь между относительными удлинениями fj, е , по главным направлениям и удлинением и сдвигом по произвольному направлению. Тем самым будут найдены компоненты тензора десрормации. Опять для наглядности ограничимся рассмотрением плоской деформации, при которой упругие смещения всех точек тела происходят в параллельных плоскостях. [c.153]

В условиях одноосного напряженного состояния для определения рассеянной энергии можно использовать площадь проявляющегося при циклическом пагружешш на определенном уровне напряжения гистерезиса между напряжением и соответствующей ему деформацией. При сложном напряженном состоянии рассеянную энергию можно определить аналогичным способом, регистрируя петли гистерезиса для каждого главного направления, что предполагает наличие сигнала напряжения. По этой причине такой подход к реальной конструкции или даже только к определенному конструкционному элементу встречает серьезные затруднения. Их можно избежать, если учитывать, что как при одноосном, так и при сложном напряженном состоянии можно наблюдать гистерезис не только между напряжениями и соответствующими им деформациями, но и между деформациями по двум направлениям, в частности между деформациями по главным направлениям (деформационный гистерезис) 12]. Для циклического нагружения с пропорциональным изменением компонентов тензора напряжений существует свя.зь между площадями деформационного и механического гистерезиса. В качестве отправной точки вывода этой СВЯ.ЗИ служит предположение, что тензор деформации представляет сумму упругой и неупругой компонент или если глав- [c.81]

В реальных конструкциях зоны пластической деформации возникают в первую очередь в зонах концентрации цапряжений, где напряженное состояние часто является одномерным или близким к одномерному. Для такого состояния вполне справедливым оказывается применение модели простого нагружения, при котором в каждой точке тела соотношение между компонентами напряжений в процессе нагружения остается неизменным. Модель простого нагружения не приводит к существеннылг погрешностям и в тех случаях, когда главные направления тензора напряжений (или направления главных напряжений) остаются неизменными в процессе нагружения [15, 56]. [c.127]

Здесь и в соответствующих выражениях (8.5) еу-к — тензор деформаций на срединной поверхности оболочки, — тензор изменения кривизны вдоль главных направлений, причем Кф = Фо/ао — — Ф /а Хе = 81нФо/го — з1пФ/г. [c.154]

Так как значение А инвариантно относительно вращения координатных осей, то из выражений (1) следует, что для тензора напряжений и тензора скоростей деформаций главные оси совпадают и направления максимальных касательных напряжений таще же, как и направления максимальных скоростей сдвига. Следовательно, среда, описываемая уравнениями (1), удовлетворяет первой гипотезе А. А. Ильюшина, утверждающей, что направление максимальной скорости сдвига совпадает с направлением максимального касательного напряжения. [c.32]

Здесь Uj,, Uy, — компоненты вектора смещения и. Как известно, вышеприведенные формулы справедливы лишь для малых деформаций и малых углов поворота. Компоненты тензора деформации в формуле (1), имеюш,ие одинаковые индексы [расположенные на главной диагонали в матрице (1)], определяют собой часть деформации элементарного параллелепипеда, ребра которого параллельны направлениям х, у, z, связанную с изменением длин ребер. Компоненты тензора деформации с несовпадаюш ими индексами определяют собой изменение углов между ребрами в тех гранях элементарного параллелепипеда, нормаль к которым совпадает с отсутствующим индексом. В дальнейшем для удобства изложения вместо буквенной иногда будем применять числовую систему индексов, связанную с ранее введенной, следующим образом X , у 2, Z 2>. [c.7]

Для нахожденяя направляющих косинусов главных осей тензора деформаций вернемся к системе уравнений (1.48). После того как найдены главные удлинения 81, 2, бз, подставим каждое из них попеременно в (1.48) и получим систему уравнений для Пх, Пу, главного направления тензора деформаций [c.22]

Мы ограничимся приведенным нестрогим обоснбванием соосности главных направлений тензора деформаций и тензора напряжений. Несмотря на эту нестрогость, далее мы будем использовать следствия соосности тензоров напряжений и деформаций в виде уравнений, связывающих напряжения и деформации [c.22]

Тензор скоростей деформаций с компонентами , УУ1 т ч Щг, Цш, определяемыми уравнениями (1.12), так же как и тензор деформаций Т , имеет Главные направления, вдоль которых действуют главные компоненты тензора г, з. Направляющие кбсинусы главных осей тензора скоростей деформаций находятся так же, как и тензора деформаций, и имеют вид [c.24]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...