Главные оси тензора деформаций

Мы видим, что это выражение распадается на три независимых члена. Это значит, что в каждом элементе объема тела деформацию можно рассматривать как совокупность трех независимых деформаций по трем взаимно перпендикулярным направлениям — главным осям тензора деформации. Каждая из этих деформаций [c.10]

Относительные удлинения элементов длины вдоль направлений главных осей тензора деформации (в данной точке) равны теперь с точностью до величин высших порядков [c.12]

Рассмотрим какой-нибудь бесконечно малый элемент объема dY и определим его величину dV после деформирования тела. Для этого выберем в качестве осей координат главные оси тензора деформации в рассматриваемой точке. Тогда элементы длины dxi, dx2, dXs вдоль этих осей после деформирования перейдут в dx = (1 + м< >) dxi и т. д. Объем dV есть произведение dx dx dx объем же dV равен dx[ dx dx z. Таким образом, [c.12]

В главных осях тензора деформаций (скоростей деформаций) недиагональные компоненты (сдвиги, скорости сдвига) равны нулю. [c.345]

ВИИ достижения пластического состояния. На рис. 36 изображен элемент, ребра которого параллельны направлениям главных осей тензора деформаций. Обозначая главные напряжения Oi, 02, и сгд, будем по-прежнему нумеровать их так, чтобы было [c.53]

Первый инвариант тензора деформации в случае малых деформаций представляет собой относительное изменение объема. Действительно, возьмем в некоторой точке Р среды главные оси тензора деформаций. На них построим параллелепипед, имевший до деформации ребра, равные dxk. После деформации рассматриваемый параллелепипед, оставаясь прямоугольным, будет иметь ребра [c.55]

Компоненты единичного вектора п в направлении главных осей тензора деформации или, что то же самое, направляющие косинусы вектора -и, которые обозначим через Uj, определяются из уравнений [см. (1 .48)1 [c.18]

Если координатные оси совместить в главными осями тензора деформации, то при этом Vi2 = 2з= Yai = О- Тогда на основании уравнений (3.47) = СТаз = = О, а это означает, что площадки, проходящие через рассматриваемую точку тела и перпендикулярные принятым координатным осям, являются главными площадками, т. е. координатные оси оказались совмещенными и о главными осями тензора напряжений. Отсюда следует, что в каждой точке изотропного тела главные оси тензора деформации совпадают с главными осями тензора напряжений. [c.61]

Главные оси тензора деформаций — три взаимно перпендикулярных направления, остающиеся при деформации взаимно перпендикулярными. С их помощью объемное расширение тела может быть представлено в виде [c.192]

Будем называть главными осями тензора деформаций те оси, в которых реализуется главный вид квадратичной формы (2.13). Естественно, что тогда деформация сдвига обращается в нуль. Удлинение вдоль главных осей будем называть главным удлинением, а так как поверхность деформаций есть поверхность второго порядка, то главные удлинения являются экстремальными. [c.210]

Нахождение главных компонент и главных осей тензоров деформаций. Последовательность нахождения главных компонент [c.74]

Максимальное удлинение имеет материальное волокно ОА , направленное в начальном состоянии по главной оси тензора деформаций 5 . Минимальное [c.79]

Каков геометрический смысл главных осей тензоров деформаций [c.81]

Укажите последовательность нахождения главных компонент и главных осей тензоров деформаций. Как можно проверить правильность полученного решения [c.81]

Деформация элементарного параллелепипеда в окрестности некоторой точки деформируемой среды в принятой произвольно декартовой системе координат х, у, z состоит в изменении первоначальных длин ребер и скашивании углов между ними. Существуют такие три взаимно перпендикулярных оси в каждой точке среды, что в направлениях этих осей деформация сдвига элементарного параллелепипеда отсутствует и имеется только деформация удлинения вдоль соответствующих осей. Эти направления (оси) обычно называют главными направлениями или главными осями тензора деформаций. [c.7]

В каждой точке среды имеется три взаимно перпендикулярные-плоскости, на которых касательные смещения равны нулю. Направления нормалей к этим плоскостям образуют главные направления (главные оси) тензора деформаций. Эти направления зависят только от величины смещения Л л не зависят от исходной системы координат X, у, г. Для определения этих главных деформаций обозначим искомую главную деформацию через е. Спроектировав ее на оси X, у, г, получим [c.17]

Главные оси тензора деформаций совпадают с главными осями тензора напряжений. Инварианты девиатора деформаций имеют вид. [c.19]

Главные оси тензора деформаций [c.22]

Таким образом направляющие косинусы главных осей тензора деформаций однозначно выражаются через 8 , е , Вгг, Уху, bz, Угх и главные удлинения. [c.22]

Воспользуемся некоторыми формулами из 1, полагая в них = О и снабжая верхним значком о любую из входящих в них величин, вычисленную при = 0. Так, вектор конечного поворота главных осей тензора деформации (1.28) при = О обозначим через f2° в отличие от По, фигурирующего в приведенных выше формулах, г °, г = 1,2,3,— векторы (1.23) при = О и т.д. [c.321]

Получим необходимые в дальнейшем геометрические зависимости. Прежде всего вдоль i-й главной оси тензора деформации согласно (2.5), (2.6), (2.8), (2.И) и (1.1) [c.23]

В случае изотропного тела достаточно только двух коэффициентов, чтобы установить связь между деформациями и напряжениями. Проще всего показать эту связь, записывая тензор напряжений в главных осях. Очевидно, что эти же оси будут и главными осями тензора деформаций. Достаточно маленький кубик, на гранях которого действуют только нормальные напряжения, будет деформироваться так, что грани его смещаются только по нормали при неизменных прямых углах между ними. Тогда напряжения на гранях, нормальных к оси 7, вызовут растяжение 61 по оси 1. По закону Гука (Т]1 = Егх, где Е — модуль Юнга материала. [c.306]

Вариационный принцип в динамике Главные оси тензора деформаций 34 [c.404]

Главные значения и главные оси тензора деформаций. [c.222]

Рассмотрим элементарный параллелепипед со сторонами параллельными главным осям тензора деформаций. Его деформация происходит следующим образом [c.225]

Главные оси Тензора деформаций [c.25]

Отсюда видно, что С после деформации остается на диагонали квадрата ( = 2) и, следовательно, диагональ является главной осью тензора деформаций (рис. 10.3,6). Поворачивая оси х и хг [c.469]

Для главных осей тензоров деформаций и напряжений [c.26]

Корни уравнения (1.49) называются главными удлинениями, поскольку главные оси тензора деформаций обладают тем свойством, что вдоль них происходит только изменение длины при отсутствии J eфopмaций сдвига. Обьгано главные удлинения нумеруют в порядке их убывания е1>82>Ез. Три направляющих косинуса — н, Пу, Пг — ДЛЯ каждого Е( находятся из любых двух уравнений (1.48) и уравнения (1.17). Величины Т ) называются инвариантами тензора деформаций. Запишем (1.49) в виде [c.18]

Объемная деформ ация м ожет происходить также при отличных от нуля деформациях сдвига. В этом случае в качестве координатных осей примем главные оси тензора деформаций. Поскольку на главных площадках деформации сдвига отсутствуют, для отношения F/Fo получается уравнение [c.21]

Для нахожденяя направляющих косинусов главных осей тензора деформаций вернемся к системе уравнений (1.48). После того как найдены главные удлинения 81, 2, бз, подставим каждое из них попеременно в (1.48) и получим систему уравнений для Пх, Пу, главного направления тензора деформаций [c.22]

В (5.5) а, у5, 7 углы, определяющие направления главных осей тензоров деформации (например, углы Эйлера). Такая форма записи отражает то обстоятельство, что накапливаемая телом энергия деформации зависит не только от величины деформации (определяемой главными кратностями удлинений Ai, Аг, Аз), но и от направления деформации материальных частиц. Тажую зависимость [c.59]

Найдем направление главных осей тензора деформации из условия экстремума d/d(>i(dSfdr)—0. [c.98]

Панравление главных осей тензора деформаций получают из соотпошепий, аналогичных (1.11), (1.12). В рамках теории упругости главные оси тензоров напряжений и деформаций для изотропной среды совпадают. [c.35]

Теперь найдем относительное изменение объема частицы. Имея в виду, что йзменение объема не связано с поступательным движением и вращением частицы, будем рассматривать перемещения, связанные лишь с ёе деформацией. В качестве координатных осей с началом в данной частице среды возьмем главные оси тензора деформации. Объем АУ частицы до деформации (представим ее в виде параллелепипеда со сторонами, параллельными [c.467]

Деформация при неизменном положении главных осей. Деформационная теория. Пусть однородная деформация среды протекает так, что в течение всего процесса положение главных осей тензора деформации (относительно фиксированных материальных осей) остается неизменным. Если среда в начальном состоянии изотропна, то будет неизменным и положение главных осей тензора напряжения, причем, не ограничивая общности, можно считать, что главные оси об1оих тензоров совпадают. Тогда в каждый момент процесса справедливо хотя бы одно из следующих тензорных уравнений (В. В. Новожилов 1951, 1954) [c.92]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...