Главные значения тензора

Таким образом, симметричный тензор второго ранга можно определить не только шестью его компонентами ац в произвольных ортогональных координатах но и тройкой главных направлений и тремя независимыми инвариантами. В качестве последних можно выбрать либо три главных значения тензора fli, йь Оз. либо их комбинации, например модули а, d и фазу ф тензора. [c.15]

Главные значения тензора инерции именуются главными моментами инерции. [c.17]

Как и всякий симметричный тензор, можно привести тензор в каждой данной точке к главным осям. Это значит, что в каждой данной точке можно выбрать такую систему координат — главные оси тензора, — в которой из всех компонент иц отличны от нуля только диагональные компоненты ц, Щ2, зз- Эти компоненты — главные значения тензора деформации — обозначим посредством ы( >, ы< >, Надо, конечно, помнить, что если тензор Uih приведен к главным осям в некоторой точке тела, то он, вообще говоря, недиагонален во всех других точках. [c.10]

Но сумма главных значений тензора есть, как [c.12]

В 35 было показано, что симметричный тензор второго ранга в каждой точке пространства обладает тремя взаимно перпендикулярными главными осями. Если принять эти оси за оси координат, то недиагональные компоненты будут равны нулю, а три отличные от нуля диагональные компоненты образуют систему главных значений тензора. В рассматриваемом случае тензора инерции главные оси тензора инерции именуются главными осями инерции, а главные значения тензора инерции — главными моментами инерции. [c.285]

Главные значения тензора деформаций, которые называются главными относительными удлинениями, являются корнями кубического уравнения (3.37). Направления, соответствующие главным удлинениям 1, Е2, ез, взаимно перпендикулярны. Когда имеет место случай двух равных корней, тогда направления, соответствующие этим корням, лежат в плоскости, перпендикулярной направлению, соответствующему простому корню в этом случае любые взаимно ортогональные направления, лежащие в этой плоскости, могут быть приняты за главные. Если все три корня равны, то любые Перпендикулярные направления можно принять за главные. [c.55]

Главные значения тензора деформации ij), как симметричного тензора второго ранга, равны корням ч-кубического уравнения [см. (1 .50)] [c.18]

Главные значения тензора деформации, которые называются также главными деформациями, обозначим через ег. [c.18]

Подставив в уравнения (1.62) вместо в главное значение тензора (ег ), например е , и решив их совместно с (1.63), найдем направляющие косинусы Uij для первой главной оси. Аналогично определяются направляющие косинусы второй и третьей главных осей тензора (ej ). [c.18]

Как и в случае любого симметричного тензора второго ранга, главные значения тензора напряжений (о ) равны корням кубического уравнения [см. (1 .50)1 [c.39]

Корни уравнения- (2.34), т. e. главные значения тензора (ст ) обозначим через а,. Обычно принимается нумерация главных напряжений в порядке их убывания в алгебраическом смысле (в учетом знака) aj> > aj> ад. [c.39]

ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ И ГЛАВНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ТЕНЗОРА ВТОРОГО РАНГА. ИНВАРИАНТЫ ТЕНЗОРА [c.397]

Если вектор х при преобразовании посредством тензора (аи), как линейного оператора, изменяет только свою величину в К раз, а направление его не меняется, то это направление называется главным направлением тензора а ц), а величина % называется главным значением тензора. [c.398]

Подставив в систему (1 .48) вместо Я, главное значение тензора (<3 у), найдем компоненты вектора определяющего соответст вующее главное направление тензора. Три главных направления тензора (главные оси тензора) являются ортогональными [29]. [c.399]

Отсюда можно заключить, что коэффициенты /ц 7, 7, уравнения (1 .50) и его корни ki, Xj, т. е. главные значения тензора являются инвариантами относительно поворота координатных осей. [c.400]

При положительных и различных главных значениях тензора > Х.2 > 3 > 0) его характеристическая поверхность представляет собой эллипсоид [c.401]

Если все три главные значения тензора одинаковы, например в случае тензора (а и), где а — действительное положительное число, то характеристической поверхностью является сфера, а тензор называется шаровым. У шарового тензора все направления главные и, следовательно, его компоненты не меняются при повороте координатных осей, т. е. шаровой тензор является изотропным. [c.401]

Когда главные значения тензора имеют различные знаки например 1 > > О, Jij < О, уравнение (1 .63) необходимо записать в двух видах [c.401]

Главные значения тензора (d,- ) с компонентами [c.402]

Подставив в уравнения (1 .74) вместо v главное значение тензора (djj) по формуле (1 .73), получим систему [c.402]

Ст], ао> 0Г3 — главные значения тензора напряжений [c.239]

Поэтому можно говорить о симметричности термодинамического (изобарного) потенциала твердого кристаллического тела в том смысле, что локальное значение химического потенциала в точке определяется абсолютной величиной гидростатической части тензора напряжений независимо от направления механической силы— растягивающей или сжимающей твердое тело (относительно равновесного положения с нулевыми силами). Подобный анализ можно провести для любого главного значения тензора напряжений (рассматривая изменения соответствующих компонент тензора деформаций), чтобы сделать заключение о симметрии термодинамического потенциала Гиббса по знаку компонент тензора напряжений (относительно недеформированного состояния). [c.18]

В том случае, когда главные значения тензора к можно считать постоянными, преобразованием координат это уравнение можно свести к форме [c.20]

В К. широкое применение для интерпретации онтич. свойств кристаллов находит метод оптич. поверхностей (волновых и лучевых). В соответствии с ур-пием (1) свойства кристалла могут быть геометрически описаны его оптич. индикатрисой — эллипсоидом с полуосями (т. н. поверхностью волновых нормалей, абс. значения радиусов-векторов к-рой по заданному направлению N равны значениям показателей преломления волн, идущих по этому направлению). Оси симметрии этого эллипсоида определяют три взаимно перпендикулярных главных направления в кристалле, а значение его полуосей — главные значения тензора диэлектрич, проницаемости. Сечение индикатрисы плоскостью, проходящей через её центр и перпендикулярной заданному направлению N, является в общем случае эллипсом. Длины гл. полуосей этого эллипса равны показателям преломления, а их направления совпадают с направлением колебаний (вектора 7> в волне). Во всех точках кристалла оптич. индикатрисы имеют одинаковую ориентацию и одинаковые размеры полуосей, зависящие от симметрии кристалла. [c.511]

По числу разл. главных значений тензора (1, 2 или 3) кристаллы делятся на три группы в зависимости от типа сингонии (см. Сингония кристаллическая). Для кубич. кристаллов тензор е вырождается в скаляр с одним гл. значением = эллипсоид — [c.511]

Если вектор Б коллинеарен вектору а, т. е. если вектор а после преобразования изменяет свое значение, не меняя направления, то направление вектора а называется главным направлением тензора второго ранга. В этом случае Ъ=Ка, где скаляр X носит название главного значения тензора, причем bj=Xaj. Найдем главные значения тензора второго ранга и его главные направления, или главные оси. Полагая Ь=Ха, что равносильно bj = Xaj = —XSijai, и подставляя значение bj в (1.60), получим систему трех уравнений относительно aj [c.14]

Если координатные оси направить по главным осям тензора то его диагональные компоненты, т. е. линейные деформации будут совпадать с главными значениями тензора Вг, 83 [см. (Р.З), с. 4001. а угловые деформации yij = 2ejj будут равны нулю. [c.18]

При совмещении координатных осей с главными осями тензора ioij) его касательные компоненты ( ф /) будут равны нулю, а диагональные компоненты, т. е. нормальные напряжения ст/ , будут совпадать с главными значениями tj тензора напряжений [см. (1 .3), с.400], которые называются главными напряжениями. Следовательно, площадки, проходящие через данную точку тела и перпендикулярные главным осям тензора о ), свободны от касательных напряжений, а нормальные напряжения на них есть главные значения тензора напряжений или главные напряжения. Эти площадки называются главными площадками. [c.39]

Главные направления и главные значения тензора находятся решением системы уравнений (1 .47), которую, поскольку Xi = bijXj, можно представить так [c.398]

Таким образом, все три корня А-ц Яг, Я,, уравнения (1 .50) действительные и являкЗтся главными значениями тензора [c.399]

Тогда из сопоставлений соотношений (1 .51) и (1 .54) следует, что еолй координатные оси направить по главным воям тензора (ajj), то его диагональные компоненты Оц, Ога, flee будут совпадать о главными значениями тензора Кд, остальные компоненты тензора будут [c.400]

Если какие-либо два главных значения тензора к совпадают (например, к = Я.у), то в плоскости, содержащей соответствующие оси (в плоскости XOY), и плоскостях, параллельных ей, материал является изотропным и выбор ориентации этих осей может быть произвольным. Такие материалы называют трансверсально изотропными (по отношению к фиксированной оси Z). К ним относятся слоистые композиционные термоизоляторы при условии, что в плоскости каждого слоя теплопроводность не зависит от направления волокнистые термоизоляторы с преимущественной ориентацией волокон в одном направлении (например, дерево или армированные однонаправленным волокном композиты), или наоборот, с хаотической ориентацией волокон, расположенных в параллельных плоскостях кристаллические теплоизоляторы с преимущественной ориен- [c.13]

Когда какие-либо два главных значения тензора X совпадают (например, Х =Ху), тогда в плоскости, содержащей соответствующие оси (в плоскости ХОУ и параллельных ей), материал тела является изотропным и выбор ориентации этих осей может быть произвольным. Такие материалы называют трансверсально изотропными (по отношению к фиксированной оси 2). К ним относят слоистые композиционные материалы при условии, что в плоскости гсаждо- [c.197]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...