Уравнения колебаний и фазовая плоскость

Уравнения колебаний и фазовая плоскость. Рассмотрим теперь ламповый генератор (рис. 348), предполагая, что характеристика лампы имеет насыщение и симметрична (рабочая точка лампы, соответствующая состоянию равновесия, лежит посередине восходящего участка характеристики). Именно, мы будем аппроксимировать характеристику лампы симметричной кусочно-линейной функцией [c.521]

Таким образом, исследованное положение равновесия (минимум потенциальной функции) соответствует на фазовой плоскости особой точке, называемой особой точкой типа центр, и отвечает положению равновесия, относительно которого система может совершать колебания, близкие к гармоническим или точно гармонические. Для представления на фазовой плоскости таких движений характерно наличие семейства замкнутых фазовых траекторий, окружающих центр, причем они (за исключением специальных случаев зависимости потенциальной функции от координаты в окрестностях данной особой точки) всегда стремятся к эллипсам при уменьшении амплитуды колебаний. Для рассматриваемого случая можно из уравнения (1.1.6) получить после ряда простых выкладок выражение для периода колебаний [c.19]

На примерах релаксационных систем мы убедились в том, что для математического описания движения в реальных автоколебательных системах с одной степенью свободы необходимо пользоваться дифференциальными уравнениями второго порядка. Для систем, описываемых такими уравнениями, можно получить изображение соответствующего движения на фазовой плоскости. В некоторых случаях, когда уравнение нелинейно и не поддается аналитическому решению, построение фазового портрета движения в системе является существенной помощью в определении формы колебаний и динамики их установления. Следует отме- [c.196]

Другой характер движения получится при падающей характеристике силы трения. В решении уравнения (13.16) показатель степени при числе е имеет знак плюс, и потому коэффициент при sin (л4( + 0) с увеличением времени стремится к бесконечности, т. е. амплитуды колебаний возрастают по показательному закону. Графическое изображение зависимости (г) на фазовой плоскости представляется спиралью (рис. 45, б), которая проходит через точку (2о, 0) и может рассматриваться выходящей из точки (2с, 0) статического равновесия при (—>-оо. Точка (2с, 0) в этом случае на- [c.110]

Уравнению (17.170) соответствует спираль (рис. 17.64). Начало координат в данном случае является, как уже отмечалось, устойчивым фокусом. Движение системы — затухающие колебания, -чески устойчивым. Система, получившая возмущение, вследствие которого и возникли собственные колебания, характеризуется точкой внутри окружности радиуса б и лежащей в фазовой плоскости на спирали, перемещаясь по которой она все время будет оставаться внутри окружности радиусом е. Эта точка движется по спирали со скоростью [c.129]

Сопоставляя демпфирующее влияние нелинейного члена уравнения и дестабилизирующее влияние линейного члена, мы, в сущности, имеем в виду изменение энергии системы вследствие работы, совершаемой различными составляющими силы трения. Линейная составляющая совершает положительную работу, т. е. вносит энергию в систему, а нелинейная составляющая совершает отрицательную работу, т. е. уменьшает энергию системы. При стационарных автоколебаниях приток энергии компенсирует ее расход (в среднем за один колебательный цикл) и система внешне ведет себя так, как если бы она была консервативной здесь полезно напомнить, что фазовые траектории консервативных систем также представляют собой замкнутые кривые, геометрически похожие на кривую предельного цикла, изображенную на рис. VI. , б. Но, конечно, сходство это только внешнее предельный цикл представляет собой изолированную замкнутую фазовую траекторию, и в ее окрестности нет других замкнутых траекторий, тогда как замкнутые фазовые траектории свободных колебаний консервативных систем сплошным][образом заполняют фазовую плоскость . [c.287]

Исследование уравнений (38) и (39) методом фазовой плоскости позволяет построить стандартную диаграмму для оценки длительности переходного процесса при свободных колебаниях нелинейной компенсированной системы. [c.70]

Для а > 0(1 существует только одно устойчивое состояние равновесия, соответствующее затухающим колебаниям маятника При Oq > а > О состояний равновесия уравнений первого приближения три устойчивое р = О, неустойчивое, соответствующее нижней части параболы, построенной по уравнению (7), и устойчивое, соответствующее верхней части параболы. На фазовой плоскости д, это соответствует [c.175]

Большое внимание автором уделено исследованию помпажа в распределенных системах, даны дифференциальные уравнения движения в системе и их решение. Рассмотрены устойчивость периодических движений, автоколебательные режимы, мягкий и жесткий режимы возбуждения, даны формулы для амплитуд и частот колебаний, сопоставлены результаты теоретических и экспериментальных исследований. Рассмотрены пути целенаправленного уменьшения интенсивности помпажа использованием автоматического регулирования выходного дросселя и направляющего аппарата, вынужденных колебаний, накладываемых на периодический перепуск воздуха, а также пассивные методы воздействия на помпаж. Приведена механическая модель системы, даны методы фазовой плоскости и аналитического исследования нелинейных систем. [c.4]

Предположим, что в системе происходят колебания. Тогда Рб Рк а Он Ф Рк- Возьмем одинаковые масштабы для осей абсцисс и ординат. Будем рассматривать рис. 2.1, а как фазовую плоскость уравнения (1.9), на которой по оси ординат отложено давление Рб, а по оси абсцисс — объемный расход Рд. Кривая 1 представляет собой график функции Рк = - (РкЬ а кривая 2 — график функции Рк = <р1 (Рб). Тогда дифференциальное уравнение (1.9) получит простую геометрическую интерпретацию. [c.65]

Поведение фазовых траекторий на всей плоскости ху, а также вблизи особых точек позволяет судить как о характере движения исходной системы, так и о характере ее состояний равновесия. В качестве примера рассмотрим простейшую линейную систему. Уравнение колебаний математического маятника имеет вид (стр. 135) [c.510]

Из полученных результатов следует, что при отсутствии возмущений вдоль оси у луч осциллирует с частотой ш 1). В окрестности резонансной частоты ш 1о) на это движение накладывается дополнительная модуляция луча по х. Уравнения (67), (68) определяют амплитуду модуляции. Эти же уравнения определяют и область локализации луча в плоскости (ж, у). Вдоль невозмущенного луча, соответствующего действию /о, образуется дополнительный волноводный канал с эффективным размером А/. Лучи, попавшие в этот канал, совершают в нем колебания относительно невозмущенной траектории с частотой 11. Это обусловливает периодическую модуляцию групповой скорости Vg волнового поля, также появляются модуляционные колебания фазовой скорости Ур. [c.815]

Это — кубическое относительно уравнение, имеющее три положительных корня для любого реального упругого тела. В общем случае эти корни различны и соответствуют трем различным скоростям распространения. Значение этих скоростей зависит от двадцати одной упругой постоянной материала и направления распространения, определяемого величинами /, т и п. Волновая поверхность представляет собой три полосы, подобные двум полосам поверхности Френеля при распространении света в кристаллической среде. Можно показать [70], что когда три скорости распространения различны, уравнения (2.59) означают, что направления колебаний, соответствующие трем скоростям, взаимно перпендикулярны. Когда две скорости распространения совпадают, соответствующие им колебания образуют простое волновое движение, происходящее в плоскости, перпендикулярной направлению третьего колебания. Когда это имеет место, совместное движение, как и в случае света, может иметь форму плоской поляризации, эллиптической поляризации или круговой поляризации— в зависимости от фазовых соотношений двух компонент колебания и их амплитуд. [c.46]

Как мы знаем, для теории колебаний и груз на пружине, и колебательный контур — это один и тот же объект исследования. Оба они описываются известным дифференциальным уравнением и характеризуются одним и тем же фазовым пространством — плоскостью, разбитой на траектории семейством вложенных друг в друга эллипсов. Это вроде бы тривиально. Но не тривиально то, что это тривиально , — говорил Л. И. Мандельштам, т. е. не тривиально, что эта аналогия между колебаниями груза на пружине и колебаниями заряда или тока в контуре является настолько далеко идущей, что она стала привычным способом рассуждения у физиков, несмотря на то, что сами явления относятся к двум различным областям [1]. Сказанному и соответствуют содержание и идеология данной главы, в которой обсуждаются свойства линейного осциллятора — основной модели линейной теории колебаний и волн. [c.17]

Величина В = ж -Ь у характеризует амплитуду колебаний. Если < 1, тогда (1Е/(И > О, и значение К на траектории нарастает если же > 1, то (1Е/(И <0 — все траектории снаружи входят в окружность радиуса К. Если = 1, то с1К/сИ = О, и (15.5) есть точное решение уравнения (15.4). Таким образом, окружность ж - - = 1 на фазовой плоскости является замкнутой фазовой траекторией, к которой стремятся все соседние траектории, т. е. предельным циклом (рис. 15.3 е). Поясним, почему этот предельный цикл устойчив при > 1 все траектории идут внутрь области, ограниченной окружностью радиуса К, но внутри этой области состояние равновесия (в начале координат) неустойчиво, следовательно, траекториям, входящим в эту область, некуда двигаться, кроме как наматываться на предельный цикл (рис. 15.3 е). [c.310]

Плоскость переменных s и называется фазовой плоскостью. Семейство фазовых траекторий образует фазовый портрет колебательной системы. Анализ фазового портрета дает хотя и не полную, но обширную информацию о колебательной системе. К построению такого портрета прибегают тогда, когда не удается решить аналитически уравнение, описывающее сложные колебания. В первую очередь это относится к нелинейным колебаниям, анализ которых затруднен из-за отсутствия точных решений нелинейных уравнений. [c.15]

Для того чтобы сознательно пользоваться при исследовании нелинейных колебаний качественной теорией дифференциальных уравнений, нужно знакомство не только с результатами этой теории, но, в известной мере, и с теми методами, с теми способами рассуждений, при помощи которых были получены эти результаты. Поэтому в этой главе мы даем не только результаты, касающиеся общей теории поведения траекторий на фазовой плоскости, но и некоторые доказательства. [c.395]

Так как дифференциальные уравнения фазовых траекторий — уравнения колебаний генератора (8.5) — являются линейными в каждой из областей (/) и (//), го на фазовой плоскости не может быть предельных циклов, лежащих целиком только в одной области (только в области (/) или только в области (II)). Предельный цикл, если он существует, должен проходить через обе области и охватывать состояние равновесия. [c.509]

Напомним основные результаты рассмотрения такого осциллятора, проведенного в 1 гл. П1. На верхней части фазовой плоскости X, у, где j/ 0 и уравнения колебаний имеют вид [c.622]

Оно показывает, что (при Го>0) система совершает гармонические колебания. Начертив решение и на фазовой плоскости, образуемой его вещественной и мнимой частями как прямоугольными координатами, мы обнаружим предельный цикл. Переходное решение говорит нам о том, что траектории, проходящие через любые точки плоскости, стремятся к этому предельному циклу, навиваясь на него либо изнутри, либо снаружи. Интересная модификация уравнения (8.4.9) возникает в том случае, если коэффициент Ь комплексный, т. е. [c.272]

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ. Замкнутые фазовые траектории, изображающие периодические движения или нелинейные колебания консервативных систем, образуют на фазовой плоскости целые континуумы, заполняющие конечные участки, причем одна замкнутая фазовая траектория охватывает другую, не пересекая ее (траектории как бы вложены одна в другую). Поэтому, если в консервативной системе возможно одно периодическое движение, то их может быть в ней бесконечное множество и все они могут быть получены непрерывным изменением начальных условий в пределах некоторой ограниченной области. Амплитуды и периоды нелинейных колебаний консервативных систем зависят от начальных условий (начального Лр). Период колебаний системы можно вычислить следующим образом. Из уравнения [c.481]

Уравнения (4.15) легко могут быть решены численно или графически. Например, для б = 10, Ъ = 8/3 находим к 0,9 А 0,35 К 0,84 Т 23,4. Подставляя найденные значения Л и т] в уравнение (4.8) с учетом связи между и Е, определяем форму колебаний переменной (т) = 0,59 си (0,44т, 0,95). Вид функции (т) и проекция фазового портрета на плоскость = 0,84 показаны на рис. 9.32, а тя. б. Координаты особых точек [c.293]

Масса т движется под влиянием силы тяжести по расположенной в вертикальной плоскости параболе у=ах ось у направлена по вертикали. Найти уравнение фазовых траекторий х=х (х) и собственную круговую частоту для случая малых колебаний. [c.103]

Это соотношение является уравнением траекторий на фазовой плоскости. Если энергия колебаний очень мала 2кх 1), то фазовая траектория близка по форме к эллипсу т дкх + х /2) = С. Следовательно период малых колебаний совпадает с периодом колебаний на эллипсе. Если же амплитуда колебаний велика, то фазовая траектория лежит внутри эллипса, соответствуюгцего колебанию гармонического осциллятора с той же энергией, и касается его в точках пересечения с осями координат (см. рис. 2.2). При любом значении координаты ж, кроме точек максимального отклонения и нуля, скорость бусинки меньше, чем [c.51]

Аналитическое и графическое исследование уравнений движения колебательной системы, в которой отрицательное влияние ускорения на величину силы резания при возрастании амплитуды колебаний ограничивается самим ускорением колебаний, не дало окончательного о-твета о форме и амплитуде автоколебаний, так как не удалось установить устойчивость пересекающихся интегральных кривых на фазовой плоскости. [c.77]

Расположение интегральных кривых уравнения (168) показано на рис. 30. Предположим, что маятнику, находящемуся в положении х = О, сообщен импульс, после чего он приобретает угловую скорость Vo Если она невелика (О < < t l. см рис. 30), то маятник совершает затухающие кoлeбйг ия около точки лг = О оси Ох, не делая полного оборота вокруг точки подвеса. Если эта скорость достаточно велика ( jo > i) то маятник сделает одни или 1 "сколько оборотов, прежде чем начнет совершать затухающие колебания относительно инж- его положения устойчивого равновесия. В фазовой плоскости xOv этим движениям соответствуют (см рис. 30) спиральные кривые, проходящие через точку (О, t>o), приближающиеся к тому или иному фокусу х = 2ЙЯ, tf = 0) в зависимости от величины Таким образом, можно указать интервал начальных скоростей маятника, при которых движение осуществится с предварительно заданным числом оборотов [c.111]

Наиболее существенные отличительные особенности рецензируемого пособия 1) полнее, чем в имеющейся учебной литературе, освещены мировоззренческие вопросы в теоретической механике 2) введен ряд новых разделов в соответствии с тенденциями развития научно-техни-ческого прогресса, например, однородные координаты, применяемые при описании роботов-манипуляторов. что потребовало существенно перестроить раздел кинематики твердого тела основные теоремы динамики изложены не только в неподвижных, но и в подвижных (неинерциальных) системах координат в разделе Синтез движения рассмотрены вопросы сложения не только скоростей, но и ускорений. При этом получен ряд новых результатов сравнение механических измерителей углов поворота и угловых скоростей твердых тел основы виброзащиты и виброизоляции, динамические поглотители колебаний основы теории нелинейных колебаний, включающей изложение основ методов фазовой плоскости, метода малого параметра, асимптотических методов, метода ускорения 3) в методических находках, позволивших углубить содержание курса и уменьшить его объем впервые обращено внимание на то, что условия динамической уравновешенности ротора и условия отсутствия динамических реакций в опорах твердого тела при ударе — это условия осуществления свободного плоского движения твердого тела полнее и глубже развиты аналогии между статикой, кинематикой и динамикой полнее изложены электромеханические аналогии и показана эффективность применения уравнений Лагранжа-Максвелла, для составления уравнений контурных токов сложных электрических цепей получение теоремы об изменении кинетической энергии для твердого тела из соотношения между основными динамическими величинами и многие другие. [c.121]

Более детальный анализ показывает, что это предположение обосновано для анизотропной среды ( ор(Маль-пые волны которой имеют -определенные направления поляризаций), но для изотропной среды выполняется лишь в частных случаях, поскольку здесь поляризации нормальных волн произвольны, В общем же случае нелинейного взаимодействия в оптически изотропной среде (например, генер-ации второй гармоники в кристалле типа ОаАз, вынужденном -комбинацианно-м рассея-нии или вынужденном рассеянии Мандельштама — Бриллюэна в жидкостях) уравнения первого порядка являются векторными и описывают одновременно изменение амплитуд и поляризаций -взаимодействующих волн. Более детально этот вопрос рассмотрен в работе [41]. Заметим, кстати, что в теории нелинейных -волновых явлений в диспергирующих средах плодотворным оказывается использование идей, а в ряде случаев и конкретных методов нелинейной теории колебаний (например,. при анализе системы уравнений для связанных волн полезным оказывается метод фазовой плоскости и т. п.). Эта сторона нелинейной оптики подробно обсуждается в работе [41] там же можно найти и -соответствующую библиографию. [c.20]

В задаче о колебаниях судна, управляемого двухпозиционпым авторулевым (гл. VIII, 6), мы также получили на фазовой плоскости линию стыка фазовых траекторий и затем доопределили систему дифференциальных уравнений движения системы так, чтобы стало возможным движение изображающей точки и вдоль этой линии это движение изображающей точки соответствовало наблюдаемому на практике так называемому скользящему режиму работы двухпозиционного авторулевого. [c.807]

Как и раньше, появление на фазовой плоскости точек стыка фазовых траекторий означает, что уравнения (10.55), составленные без учета паразитных параметров, не могут правильно отображать закономерности колебаний блокинг-генератора при всех значениях и и гг иначе говоря, в одной из двух областей, на которые делится плоскость и, кривой Г, некоторые из неучтенных малых паразитных параметров играют существенную роль, в силу чего уравнения (10.55) там не пригодны для описания колебаний системы. Поэтому нам прежде всего следует решить вопрос о том, в какой из областей плоскости и, малые паразитные параметры не существенны для колебаний блокинг-генератора и уравнения (10.55) с некоторой степенью точности отображают закономерности его колебаний. [c.829]

С векторным изображением тесно связано представление колебаний в так называемой фазовой плоскости. Однако изображение в фазовой плоскости более наглядно и особенно хорошо представляет негармонические колебания. Фазовый портрет колебания получается следуюш,им образом скорость движения x= dxlйt V откладывается по оси ординат, а отклонение л — по оси абсцисс фаговой плоскости. Каждому движению в момент времени I соответствует изображающая точка на указанной плоскости с координатами х, у, однозначно определяемая мгновенными значениями отклонения X и скорости д = . Изображающая точка с течением времени перемещается, описывая фазовую траекторию (рис. 11). В этом представлении время играет роль парамет- ектория, т. Т тр ек-ра уравнение фазовой траектории задано тория движения в пло-зависимостью между координатой и скоро- скости х, V. [c.19]

Как известно, при качественном анализе нелинейных дифференциальных уравнений очень плодотворным оказывается метод фазовых портретов, развитый применительно к задаче нелинейных колебаний А. А. Андроновым [21, 22]. Поскольку уравнения Нолтинга — Непайраса, Херринга — Флинна и Кирквуда — Бете не автономны, получить их решения, используя фазовую плоскость, не представляется возможным. Однако очень наглядным является представление на фазовой плоскости полу- [c.148]

Автоколебательный характер некоторых простейших систем с одной степенью свободы может быть иногда обнаружен из рассмотрения уравнений движения системы. Существуют многочисленные критерии, позволяющие по некоторым свойствам коэффициентов дифференциального уравнения системы доказать возможность существования в этой системе незатухающих периодических колебаний. Ограничимся здесь формулировкой двух таких критериев — Льенара и Бендиксона >, сделав предварительно следующее замечание. На фазовой плоскости периодические движения автоколебательной системы с одной степенью свободы изображаются замкнутыми траекториями, которые, по соображениям, приведенным дальше, называются предельными циклами. [c.503]

Как уже отмечалось, первые числовые результаты при анализе уравнений (2.13) были получены Лэмбом [208], который вычислил вещественные корни для области низких чистот. В предельном случае коротких длин волн он отметил стремление фазовой скорости первой нормальной волны для продольных (симметричных относительно плоскости z = 0) и изгибных (антисимметричных) колебаний к скорости волны Рэлея для полупространства. [c.118]

Из предыдущего ясно, что в окрестности неподвижных точек Ои Ог,. .., Ор и их инвариантных кривых в случае точечного отображения могут существовать сложные седловые инвариантные множества. В случае дифференциальных уравнепий аналогом такого множества могут быть только совпадающие попарно кривые 5+ и 8 . При разрушении этого слияния могут возникнуть либо внутри петель, либо вне их устойчивые периодические движения. Такой же фазовый портрет для точечного отображения на секущей поверхности отвечал бы появлению тороидальных интегральных многообразий у исходной системы, в которой взята эта секущая. Вносит ли что-нибудь новое в эту картину возможность возникновения сложного седлового инвариантного множества Оказывается, вносит. Чтобы придать конкретный смысд этому различию, будем рассматривать переменные на секущей плоскости как разность фаз с неким внешним периодическим воздействием и результирующую амплитуду колебаний, возникающих в результате зтого внешнего воздействия. При этом переход к дифференциальному уравнению можно трактовать, например, как результат использования метода усреднения. Если речь идет о фазовом портрете дифференциального уравнения, то возможные общие случаи — это либо синхронизм фаз и постоянство амплитуды (устойчивые состояпия равновесия), либо периодическое изменение разности фаз и величины амплитуды. [c.157]

Основные показатели Д1шамического качества компрессорных установок следующие запас и степень устойчивости отклонение координат динамической системы при внешних воздействиях быстродействие. Запас и степень устойчивости характеризуют возможность изменения параметров системы без нарушения устойчивости. Нарушение устойчивости выражается в появлении недопустимых колебаний оборудования, электропривода и системы электроснабжения, строительных сооружений и технологических коммуникаций. Известно [П], что запас устойчивости определяется в соответствии с амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы двумя показателями — запасами устойчивости по амплитуде и фазе, а степень устойчивости — расстоянием от мнимой оси до ближайшего корня характеристического уравнения на плоскости корней. Быстродействие системы характеризует скорость затухания переходного процесса, вызваного изменением внешних воздействий. [c.19]

Рассмотрим уравнение малых колебаний х+Ах=0, матрица А симметрична и положительно определена. Соответствующее фазовое пространство Р " распадается в прямую сумму двумерных инвариантных плоскостей Ь), /=1,..., п. Каждая такая плоскость заполнена замкнутыми фазовыми кривыми, движение по которым происходит с частотой где /=1,..., п, — собственные значения оператора А. Следующая теорема показывает, что если уравнение малых колебаний возмутить нелинейными членами так, что полученная система будет сохраняться при обращении времени, тогда возмущеннаяг система будет иметь, как и в линейном случае, п однопарамет-рических семейств замкнутых фазовых кривых на частоты налагается слабое ограничение. [c.83]

Рассмотрим две плоские сдвиговьге волны, распространяющиеся в бесконечной пластине, у которых смещения частиц направлены в плоскости пластины перпендикулярно направлению движения волпы. При распространении плоские волны попеременно отражаются от ограничивающих поверхностей. Решение волнового уравнения для этого типа волнового движения с учетом граничных условий на свободных поверхностях дает зависимость между частотой и углом отражения. При этом набор волн распространяется с фазовой скоростью, которая изменяется с углом отражения и, следовательно, с частотой. По мере того как частота уменьшается, длина волны увеличивается и угол отражения уменьшается до тех пор, пока не будет достигнута критическая частота, для которой половина длины волны равна ширине волновода и ниже которой колебания не могут распространяться. [c.513]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...