Фазовый портрет колебательной системы

Рис. 2.22. Фазовый портрет колебательной системы с потерями и сердечником, обладающим гистерезисом.

Незатухающие гармонические колебания систем с одной степенью свободы. Метод векторных диаграмм. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фазовый портрет колебательной системы. Негармонические колебания математического маятника. Свободные колебания в диссипативных системах с вязким трением. Коэффициент и время затухания, логарифмический декремент, добротность. Колебания в системе с сухим трением. Явление застоя. [c.5]

Фазовый портрет колебательной системы. В любой колебательной системе с одной степенью свободы смещение s(t) и скорость v(t) = di/d/ меняются со временем. Состояние системы в каждый момент времени можно характеризовать двумя значениями 5 и v, и на плоскости этих переменных это состояние однозначно определяется положением изображающей точки Р с координатами 5 и V. с течением времени изображающая точка Р будет перемещаться по кривой, которую называют фазовой траекторией движения (рис. 1.10). [c.14]

Плоскость переменных s и называется фазовой плоскостью. Семейство фазовых траекторий образует фазовый портрет колебательной системы. Анализ фазового портрета дает хотя и не полную, но обширную информацию о колебательной системе. К построению такого портрета прибегают тогда, когда не удается решить аналитически уравнение, описывающее сложные колебания. В первую очередь это относится к нелинейным колебаниям, анализ которых затруднен из-за отсутствия точных решений нелинейных уравнений. [c.15]

Между энергетической диаграммой и фазовым портретом существует тесная взаимосвязь. Если для осциллятора справедливо равенство AEd=AE (как при A=Ai на рис. 86), то возможны колебания постоянной амплитуды. На фазовом портрете колебательной системы такие чисто периодические колебания изображаются замкнутой фазовой траекторией,, которая пересекает ось х при значении x=Ai. Эту фазовую траекторию называют предельным циклом, потому что она представляет собой траекторию, к которой при i >oo асимптотически приближаются соседние фазовые траектории фазового портрета. Для всех фазовых траекторий, проходя- [c.109]

Вообще, в большинстве случаев возможность хотя бы приближенного построения фазового портрета системы чрезвычайно облегчает рассмотрение общих свойств системы, и вид фазового портрета сразу показывает ряд наиболее характерных свойств изучаемой системы. Поэтому метод фазовой плоскости является исключительно полезным при качественном рассмотрении различных колебательных систем, особенно нелинейных. [c.22]

Из этого фазового портрета сразу виден основной характер колебательных движений в данной системе, а именно затухание колебаний и прекращение движения после конечного числа колебаний (при заданных начальных условиях — отклонении и начальной скорости). Например, одно такое движение от начальных условий х = Хд, у — у (точка Р на фазовом портрете системы) изображено более жирной фазовой траекторией. Фазовый портрет (см. рис. 2.3) показывает нам также одно характерное свойство колебательных систем с сухим трением, а именно наличие зоны застоя в самом деле, прекращение движения ( / = 0) может происходить при любых значениях х в области —+ откуда следует, что при каких-то начальных условиях система, будучи представлена самой себе, не обязательно придет к состоянию покоя в точке х = 0, = 0. Зона застоя тем больше, чем больше трение в системе. [c.49]

В системе, нелинейной за счет одного из консервативных параметров, наличие линейного трения также приводит к качественному изменению фазового портрета системы по сравнению с фазовым портретом подобной же системы в пренебрежении затуханием (трением). При этом исчезают существовавшие в случае консервативных систем особые точки типа центр и на их месте появляются особые точки типа устойчивого фокуса или устойчивого узла, а вместо континуума замкнутых фазовых траекторий возникают свертывающиеся траектории, приводящие из любого места фазовой плоскости (при любом начальном состоянии) к устойчивой особой точке — состоянию покоя. Наличие нелинейного консервативного параметра в колебательной системе в первую очередь сказывается на форме фазовых траекторий, которые в этом случае не являются логарифмическими спиралями на всей фазовой плоскости, а переходят в них в окрестностях особой точки типа фокуса. Для иллюстрации можно привести фазовый портрет маятника при учете линейного трения (рис. 2.6). Описывающее его дифференциальное уравнение имеет вид [c.52]

В отличие от фазового портрета маятника без учета трения, который был изображен ранее на рис. 1.4, здесь не появляются убегающие траектории, нет замкнутых траекторий и нет замкнутых разделительных линий — сепаратрис. Все траектории из любой точки фазовой плоскости стягиваются к одной из точек устойчивого положения равновесия — устойчивым фокусам (л == = 2пп, у = 0). Это означает, что при наличии потерь система в общем случае после конечного числа оборотов (вращений) колебательным путем придет к устойчивому состоянию равно- [c.52]

Рис. 21. Фазовый портрет линейной колебательной системы при гашении колебаний ударным импульсом

Фазовый портрет системы (4.31) состоит из нескольких областей колебательного и вращательного движений, разделённых сепаратрисой. [c.123]

Отдельная фазовая траектория представляет некоторое вполне определенное движение. Если требуется общее представление о всех возможных движениях колебательной системы (осциллятора), то изображается семейство фазовых траекторий. Такое семейство траекторий называется фазовым портретом осциллятора. Подобно тому как портрет человека позволяет составить известное представление о нем, фазовый портрет показывает специалисту важные свойства осциллятора. [c.21]

Амплитудно-фазовая характеристика, точно так же, как фазовый портрет и переходная функция, является визитной карточкой колебательной системы, позволяющей определить важные свойства этой системы. [c.27]

Теперь для построения фазового портрета данной колебательно г системы необходимо аппроксимировать нелинейную вольт-кулоновую характеристику (см. рис. 1.6) определенной аналитической зависимостью. Для множества самых разнообразных сегиетоэлектрических материалов вольт-кулоновые характеристики конденсаторов имеют вид кубической параболы с разными коэффициентами нелинейности, т. е. [c.32]

Следует подчеркнуть, что в изложенном методе Льенара, учитывающем нелинейную зависимость силы трения от скорости (или обратной э. д.с. на сопротивлении от силы тока) нужно знать лишь ее графическое изображение, которое может быть получено и экспериментально. При этом построении, очевидно, нет никаких существенных ограничений на вид функции потерь ф (у) и ее мгновенное значение, так что данный метод с одинаковым успехом применим как к случаю малых, так и к случаю больших потерь, а также к системам с большой и малой нелинейностью в диссипативном элементе. Последнее обстоятельство придает методу Льенара большую общность и позволяет с его помощью изучать колебательные свойства систем при изменении затухания от малых до весьма больших значений и с учетом различных законов трения (как линейного, так и существенно нелинейных законов). Заметим, что метод Льенара широко используется для построений фазовых портретов автоколебательных систем с разными законами нелинейности, а именно для нахождения устойчивых предельных циклов — замкнутых фазовых траекторий. [c.57]

Влияние рассеивания энергии в системе. При небольшом коэффициенте диссипативных сил D фазовый портрет автоколебаний симметричный. Амплитуда автоколебаний большая. Частота вибраций низкая, близкая к собственной частоте колебательной системы 0,lfi гц. Например, при А 0,1, D = 0,05, ПВ =-- 3 частота автоколебаний лгшш на одну треть больше резонансной частоты свободной системы. При увеличении рассеивания энергии в системе амплитуда автоколебаний резко уменьшается, частота возрастает, см. рис. 2. При D = 1,0 частота автоколебаний более чем в десять раз превышает собственную частоту системы. Одновременно появляется положительное смещение, см. рис. За, 36 и Зв. [c.70]

Рнс. 20. Фазовые портреты движения ли-нейной колебательной системы при идеальном управлении силой для гашения колебаний (T nin 1QVX разных начальные точек I и 2 [c.128]

Отсюда видно, что в предкрити-ческой области (з < 1) точка В представляет устойчивый узел, а точка О не реализуется. Это означает, что с течением времени система эволюционирует в отвечающее точке В стационарное неупорядоченное состояние согласно фазовому портрету, приведенному на рис. 2 а. Рост параметра г = тв/тг приводит к закручиванию траекторий вокруг точки О, т. е. с ростом инерционности изменения управляющего параметра по сравнению с параметром порядка проявляется тенденция к возникновению колебательного режима. [c.24]

Тип а характеризует область колебательных движений (например, при жесткой восстанавливающей силе). В случае в имеется пара сдвоенных сепаратрис соответствующие двоякоасимптотические решения Пуанкаре назвал гетероклини-ческими (такой фазовый портрет имеет, например, система Дуффинга при мягкой восстанавливающей силе). Петля сепаратрисы в случае б является траекторией гомоклинических решений (по Пуанкаре). Фазовый портрет такого типа получится при добавлении квадратичного по х слагаемого в выражение для восстанавливающей силы. [c.235]

Системы, в которых сохраняется энергия, в типичных случаях обнаруживают те же типы ограниченных колебательных движений, что и системы с потерями. К числу таких движений относятся периодические, субгармонические, квазипериодические и хаотические. Одно из основных отличий между колебаниями в системах с потерями и без них состоит в том, что хаотические орбиты в системах с потерями обнаруживают фрактальную структуру фазовых портретов, в то время как в бездиссипативных системах такая структура отсутствует. [c.71]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...