Решение уравнения для радиуса-вектора

Решение уравнения для радиус-вектора [c.357]

Решение уравнения для радиуса-вектора [c.357]

В предыдущих параграфах мы получили в первом приближении решение задачи с точностью до членов третьего порядка включительно относительно малых величин. В частности, в уравнении (3) 17.10 для радиуса-вектора мы отбросили Я", а при вычислении 8и [c.366]

Если же решают вторую основную задачу динамики точки и задан вектор силы, но требуется определить радиус-вектор как функцию (54) от времени, то для решения задачи нужно интегрировать уравнение (125). [c.261]

Для решения уравнений (82) целесообразно перейти от декартовых координат к биполярным 8 = In (rjr ) и дополнительному углу между этими радиусами-векторами (рис. 7). Переход можно осуществить, используя соотношения [c.42]

Здесь Yi и Ya — многозначные функции. Решением уравнений (2.3) будет любая линейная комбинация выражений (2.4), соответству-ЮШ.ИХ разным значениям функций ух и уа. Эту неоднозначность в выборе решений можно устранить путем согласования вида выражений для ф х, z) и йу (х, z) с физическими требованиями единственности источника энергии. Казалось бы, что в данном случае достаточно потребовать, чтобы интеграл по поверхности полуцилиндра большого радиуса R от нормальной к его поверхности составляющей вектора Умова был положительным. Однако вследствие существования в упругом теле двух типов волн можно предположить такую ситуацию, когда указанное общее требование выполняется, однако в продольных или поперечных волнах имеется приток энергии из бесконечности. В связи с этим при конкретизации частных решений [c.88]

Прежде чем приступить к основной теме, остановимся кратко на обозначениях. Ранее одночастичная функция распределения Д(г,р, ) вводилась как функция радиуса-вектора г и импульса р частицы. Такое удобно при выводе цепочки уравнений для приведенных функций распределения из уравнения Лиувилля. Однако в кинетической теории чаще пользуются одночастичной функцией распределения / (г, v, ), которая зависит от скорости частицы. Для более наглядного сравнения излагаемого здесь подхода с традиционными методами построения нормальных решений кинетических уравнений мы будем исходить из уравнения Больцмана, записанного для функции /(r,v, ). Нетрудно установить связь между этой функцией и Д(г,р, ). Вводя условие нормировки [c.234]

В главе 6 рассматривается влияние гравитационных возмущений. С помощью интеграла Якоби исследуются для круговой орбиты области возможных движений оси динамически симметричного спутника. Показано, в частности, что ось динамически вытянутого спутника может совершать ограниченные колебания в окрестности радиуса-вектора орбиты, а ось динамически сжатого спутника — в окрестности нормали к плоскости орбиты. Если же составляющая абсолютной угловой скорости по оси симметрии все время остается равной нулю, то ось динамически сжатого спутника может совершать ограниченные колебания в окрестности касательной к орбите. Если кинетическая энергия относительного вращения спутника достаточно велика, то областью возможных движений становится вся единичная сфера и движение можно рассматривать как ротационное. Для такого движения исследуются вековые гравитационные возмущения и общие особенности движения на круговой и эллиптических орбитах для круговой орбиты, согласно общей теории главы 5, построено решение во втором приближении в эллиптических функциях аналогичное приближенное решение получено для эллиптической орбиты. Сравнение с численным интегрированием точных уравнений показывает, что решение второго приближения обладает очень высокой точностью. [c.13]

Как видно из рисунка, при Л < 1 в некоторой точке диска изменяется характер поляризации. Параметр изменяет знак, так что ближе к центру диска преимущественными становятся колебания вектора напряженности перпендикулярно радиусу. Этот эффект был сначала обнаружен [47] при решении уравнения (99) для моделей атмосфер горячих звезд с конкретной зависимостью источников и параметра Л от глубины (напомним, что значения Л равны отношению коэффициентов рассеяния и осла,бления). [c.274]

Интеграл в равенстве (2.19) представляет изменение плотности частиц /-го компонента в контрольном объеме, происходящее в результате их столкновений с частицами /-Г0 компонента и отклонения вследствие этого частиц 1-го компонента внутрь или за пределы этого объема. Произведение функций распределения частиц г-го и /-Г0 компонентов, вычисленное в точке с радиусом-вектором г, дает наиболее вероятное число,таких частиц в контрольном объеме фазового пространства. Таким образом, постановка задачи завершена. Однако при этом возникла сложная проблема решения уравнения (2.18) для функции распределения [c.28]

Действительно, чтобы получить формулы (9.25), нужно разрешить уравнения (9.17), (9.18) и (9.20) относительно каких-нибудь пяти из шести неизвестных функций. Но эти уравнения являются уравнениями второй степени относительно всех шести неизвестных и содержат, кроме того, иррациональность, представляемую радиусом-вектором г. Поэтому решение этих уравнений представляет собой весьма сложную алгебраическую задачу, вообще в буквенном виде не разрешимую, и это обстоятельство заставляет нас искать другую форму общего решения, которая была бы пригодна для практических приложений. [c.433]

Сначала покажем, что для любого значения е из диапазона О < < е < 1 уравнение Кеплера имеет одно и только одно решение. Будем считать, что средняя аномалия М, определяющая угол поворота радиуса-вектора спутника при движении с постоянной угловой скоростью может принимать любые значения в соответствии с изменением времени Используя урав(нение Кеплера (2,5.9), рас- [c.62]

Выделим частное решение уравнений (8.4.17). За начальное направление для отсчета углов примем направление радиуса-вектора для бесконечно большого z. Тогда при z оо получим, что полярный угол ф = О- 4- о -> 0. Но os О О и О я/2. Отсюда следует, что константа Oi, равная предельному значению о, будет [c.393]

С целью доказательства последнего утверждения выберем произвольным образом пару констант со > О и Ао, удовлетворяющих условиям (18i) для кругового решения г =то. Фиксируем Со и будем варьировать постоянную А интеграла энергии (Hz) произвольным образом вблизи значения Aq. Тогда в силу требований периодичности, указанных в 217, радиус-вектор r(t) для решения уравнений (lli) с постоянными интегрирования со, А должен изменяться периодически с периодом т = т(со, А). Следовательно, [c.192]

Выписанных уравнений достаточно, чтобы разрешить задачу и определить траекторию тела. Однако, прежде чем приступить к решению, полезно внести в задачу некоторые упрощения, уточнив определения для перпендикулярной к радиусу-вектору компоненты скорости и для момента импульса . Так как поперечная компонента скорости создается поворотом радиуса-вектора, то <р [c.106]

Анализ и решение задач о струях сильно облегчаются, если все участвующие твердые стенки являются прямолинейными. Действительно, в этом случае каждый участок границы, вообще говоря, имеет известный годограф свободная граница, на которой известно постоянное значение модуля скорости 9, изображается дугой окружности радиуса 9, а прямолинейная твердая стенка, на которой известен постоянный угол наклона в вектора скорости, — отрезком радиуса. Если при этом годограф всей границы ограничивает область на плоскости годографа, то соответствующая задача о струях может быть поставлена, вообще говоря, как некоторая задача для какой-либо из форм основных дифференциальных уравнений на плоскости годографа. [c.243]

К сожалению, уравнения, определяющие траекторию гравитационного разворота, нелинейны и не допускают получения решения в замкнутой форме даже в том случае, если силой сопротивления пренебречь, а поле силы тяжести считать однородным (что, как отмечалось выше, является хорошим приближением, если длина активного участка мала по сравнению с радиусом Земли) и рассматривать одноступенчатую ракету с постоянной величиной тяги и постоянным секундным расходом. С другой стороны, весьма неудобно и невыгодно интегрировать эти уравнения на вычислительной машине всякий раз заново, для каждой новой задачи, тем более, что при таких расчетах большей частью не требуется высокой точности результатов. Поэтому очень желательно было бы проинтегрировать их раз и навсегда и представить решение в простой и ясной форме. Одна из имеющихся здесь трудностей заключается в том, что даже для случая плоского движения возможные траектории образуют семейство кривых, зависящих от трех параметров величины начальной скорости Уо, угла между вектором о и вертикалью (часто называемого углом начального опрокидывания) и начального отношения тяги к весу (тяговооруженности) п (считая, что тяга и секундный расход постоянны). Достаточно же удобное представление семейства траекторий, зависящих от трех параметров, которые сами меняются в некоторых пределах, затруднительно. Количество параметров можно свести к двум, если принять во внимание, что обычно гравитационный разворот начинается вскоре после старта, когда величины [c.45]

На участке нулевой тяги движение ракеты в ньютоновском центральном поле происходит по коническому сечению, поэтому зависимость радиуса-вектора г от времени t известна (см. ч. И, 3.06). Это облегчает решение уравнения для базпса-вектора. [c.731]

Для решения задачи о положёниях рассматриваемого механизма мы располагаем равенствами рх = р1 (а ) и Рг = р2 ( г), которые выражают зависимости радиусов-векторов точек касания элементов звеньев от их полярных углов наклона, соответственно, к осям Ах и Вх В данном случае рассматриваемый механизм имеет шесть переменных параметров Ф1, а1, р1, ф. , аа, рг- Указанные параметры связаны двумя уравнениями проекций на оси неподвижной системы координат векторного контура АСВА, двумя приведенными выше равенствами (уравнениями профилей) и условием, заключающемся в том, что в точке касания С звенья имеют общую нормаль. Таким [c.25]

Данную краевую задачу для рассматриваемой системы дифференщ1аль-ных уравнений решаем отдельно для области )/ и области. Соответствующие решения обозначим через 5/(г, Г) и Si(r,L), где г - радиус-вектор точки в области D (решение 5/ будем называть внутренним, а решение Si — внешним). [c.130]

Если система не находится во внешнем поле, то все моменты времени для такой системы равноправны так же, как и все направления пространства. В классической и квантовой механике из этого обстоятельства вытекает закон сохранения энергии. Кроме того, в классической механике уравнения движения инвариантны по отношению к замене t— 1. Пусть, например, мы имеем решение уравнений Ньютона, описывающих движение системы материальных точек. В момент времени Ь — Ьу радиусы-векторы точек и их скорости равны ( ), 1 ) и по истечении некоторого промежутка времени = а — в момент эти величины принимают значения ( 2), Vi (t . Инвариантность уравнений по отношению к замене t— I означает, что существует также решение, характеризующееся тем, что радиусы-векторы и скорости материальных точек, равные r lt2), — переходят за тот же произвольно выбранный промежуток времени в Такой симметрией обладают не все системы. Примером может Jfyжить система заряженных частиц в магнитном поле. В этом случае, как известно (см., например, [И]), в операцию обращения времени необходимо включить изменение направления магнитного поля на противоположное. Если же этого не сделать, то для системы обратимости во времени не существует. Поскольку классическая механика является предельным случаем квантовой механики, то следует ожидать, что обратимость во времени найдет свое [c.118]

В отличие от ряда Ватсона для цилиндра (5.22), ряд (6.23) не применйм на луче, на котором расположены токи, так как все его слагаемые обращаются в бесконечность (6,21). Качественно это отличие объясняется различием характера координат Ф и 0. Цилиндрическая координата ф локально является декартовой, и потому решение уравнения (5.28)—с б1(ф) в правой части— имеет особенность, описанную формулами (5.20) само решение при ф = О остается конечным и непрерывным. В задаче о шаре координата 0 локально напоминает цилиндрический радиус-вектор плоской цилиндрической системы координат [ср. первое слагаемое в (6.4), которое можно назвать оператором Де, и оператор Дг — первое слагаемое в (5.3)]. Поэтому особенность имеет само решение уравнения (6.22а). Такую же логарифмическую особенность имеет и полное поле, т. е. решение уравнения (6.25). Напомним, что и поле (3.9), созданное линейным током в вакууме, имеет ту же особенность, а характер особенности вблизи источника не изменяется при введении в поле какого-либо тела. [c.70]

Это векторное уравнение эквивалентно системе трех дифференциальных уравнений в координатах и содержит шесть неизвестных функций — проекции радиуса-вектора материальной точки и проекции натяжения нити в декартовых координатах неизвестными являются х (), y t), z t), Rx t), Ry t), Rz t) Для отыскания решения приведенного уравнения необходимы дополнительные сведения. В поставленной задаче такие сведения есть во-первых, в любой момент времени материальная точк находится на сферической поверхности радиуса I (если нить натянута) и, следовательно, координаты точ ки должны удовлетворять условию г = 1 во-вторых, натяжение нити направлено вдоль нити, в связи с чем можно написать, что К = 2А.г, где X — неизвестная скалярная функция. Таким образом, условия задачи приводят к системе [c.198]

Полное решение проблемы попадания неуправляемого аппарата в Луну получено В. А, Егоровым [87]. Проблема решалась автором на базе всестороннего численного исследования уравнений движения ограниченной круговой задачи трех тел (Земля — Луна — космический корабль) в сочетании с эффективным применением метода сфер действия (см. ч. V, гл. 2). Кроме того, им найдены многочисленные конкретные траектории попадания, траектории облета Луны, нетривиальные недолетные траектории, т.е. такие траектории, для которых геоцентрический радиус-вектор имеет по крайней мере два максимума, расположенных за лунной орбитой, и минимум, расположенный внутри лунной орбиты (рис. 97). В. А. Егоровым также рассчитаны наиболее важные, с точки зрения практики, траектории облета с пологим возвращением в атмосферу Земли (рис. 98). Этой проблеме посвящена отдельная глава в книге П. Эскобала [90]. [c.744]

Учитывая изотропию, принятую для данной модели, находим, что, как и в случае модели де Ситтера, любой радиус-вектор есть возможная траектория световой частицы, т. е. (6, ф) — onst являются решениями уравнений движения (10.135). Далее, поскольку w = = с в нашем случае, из (12.191) для световой частицы получаем R (t) d p/dt = —с, т. е. [c.371]

В связи с вопросом об изменении электронного спектра следует обратить внимание на следующее обстоятельство. Формулы (23.7), (23.10) описывают изменение энергии электронов за счет, так сказать, непосредственного взаимодействия между ними. Мы знаем, однако, что. сверх того, взаимодействие приводит еще к экранированию внешнего поля, создаваемого какими-либо классическими источниками. (Действительно, массовый оператор входит в эффективное волновое уравнение (9.18) наряду с экранированным потенциалом Ф, а не вместо него.) В частности, такими источниками являются регулярно расположенные атомы (или ионы) кристаллической решетки, создающие периодическое поле. При учете экранирования поле, конечно, остается периодическим, однако точная форма его изменяется, равно как изменяются и параметры, определяющие его величину. Это приводит к дополнительному изменению электронного спектра, не учитываемому формулами (23.7) и (23.10). Таким образом, последние, строго говоря, еще не дают полного решения задачи. В большинстве полупроводников, однако, это обстоятельство не существенно. Действительно, в гомеополярных полупроводниках типа германия силы взаимодействия атомов решетки с электронами короткодействуюище, и экранирование при типичных (довольно больших) значениях радиуса экранирования мало влияет на них из формулы (21.1) ясно видно, что функция р (jk) отлична от нуля лишь для волновых векторов, сравнимых с обратной величиной радиуса действия сил / при этом член с поляризационным операто- [c.198]

К сожалению найти точное решение уравнений движения удается лшль в редких случаях, когда формула для силы имеет достаточно простой вид. Поэтому прямая задача динамики обычно решается приближенными методами. Опишем простейшую процедуру приближенного расчета траектории материальной точки, предложенную самим Ньютоном. Движение разбивается по времени на этапы (шаги) малой длительности Д/ каждый, и траектория восстанавливается поэтапно. Пусть в начальный момент времени / = О радиус-вектор точки и ее скорость равны, соответственно г(0) Гд и (0) — Уд. Малое перемеш екие Дк точки на первом этапе согласно (2.2 ) приближенно равно Дг = Лi, так гго в конце первого этапа ее радиус-вектор i = И- Д (см. рис. 11). Скорость точки на первом этапе получит приращение, которое согласно (3.2) приближенно равно Ду = Д/, и станет равной в конце первого этапа V, = -Ь А1 Ускорение Дд на первом этапе можно считать постоянным и определить его из второго закона Ньютона , исполь-зуя значение силы в начале этапа (в улучшенных методах ускорение на этапе вычисляется при помощи более утонченной процедуры). Таким образом удается определить значения радиуса-вектора Г] я скорости V, в конце первого, т.е. в начале второго, этапа и процедура может быть продолжена. Подчеркнем, что ускорение на каждом / -м этапе определяется значением силы на этом этапе Д — )1т, поэтому для решения задачи результирующая сила должна быть известна как функция координат и скорости точки во всей области пространства, где ищется траектория. [c.30]

Эти значения L (xi) и г х- являются теперь начальными для интегрирования прогоночных уравнений (11.75), (11.76) при д ЛГ1. Может показаться, что метод факторизации, в котором интегрирование методом начальных параметров исходной линейной системы дифференциальных уравнений (11.59) заменяется двукратным интегрированием нелинейных уравнений (11.75) и (11.76), не имеет существенных преимуществ. Однако это не так. Именно в тех случаях, когда вследствие краевых эффектов метод начальных параметров неприменим, метод факторизации приводит к хорошим результатам, так как элементы матрицы L и вектора г меняются медленно и могут быть легко определены численным интегрированием уравнений (11.75) и (11.76). Это видно, например, из графиков, представленных на рис. 11.3, которые показывают характер изменения по длине цилиндрической оболочки постоянной толщины (радиус R, толщина К) одного из решений однородного уравнения осесимметричной деформации г/ц х) = sh рл X X sin рх и элемента матрицы податливости, соответствующего перемещению, вызываемому единичной поперечной силой [c.476]

Для решения задачи определения нестационарных температурных полей целесообразно использовать гомогенизированную модель течения, как и в случае расчета стационарных полей температур. Модель течения гомогенизированной среды [39] сводится к следующему. Реальный пучок заменяется пористым массивом с диаметром, равным диаметру пучка, в котором течет гомогенизированная среда — поток теплоносителя с распределенными в нем источниками объемного энерговыделения (теплоподвода) и гидравлического сопротивления pм /2радиусу пучка [9]..Определив толщину вытеснения пристенного слоя 5 и условно нарастив на стенки труб слой материала, равный по толщине 5 , можно рассматривать в новых границах свободное течение со скольжением гомогенизированной среды, полагая, что вектор скорости параллелен оси пучка, а Эр/с г = = 0. Поэтому в уравнении движения скорость и является скоростью в ядре потока (вне пристенного слоя), конвективные члены с поперечными составляющими скорости в левой части уравнения отсутствуют, а диффузишшый член учитьшает влияние различных механизмов переноса на поля скорости в поперечных сечениях пучка [13]. Таким образом, замена течения в реальном пучке труб течением гомогенизированной среды представляет собой инженерный прием, справедливость применения которого для расчета полей скорости и температуры, теплоносителя должна быть подтверждена экспериментально. [c.15]

Рассмотрена также обобшенно-периодическая контактная задача Qj для кольца, когда на ее внешней поверхности периодически расположено несколько штампов и при этом один из штампов перемешается в направлении радиуса к центру кольца, а другие неподвижны. Для решения такой задачи используется подход М. Л. Бурышкина. Согласно этому подходу задача сводится к ряду периодических задач типа Qe, которые решаются методом сведения парного ряда-уравнения к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей коэффициентов. Подробно исследован случай четырех штампов. Произведен под каждым штампом расчет контактных напряжений, вектора и момента контактных напряжений. [c.16]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...