Гамильтониан возмущенного движения

Тогда решение (2.42) в новых переменных будет положением равновесия = /) = 0. Гамильтониан возмущенною движения является аналитической функцией переменных р и представляется в вид(3 ряда [c.95]

Теорема. Если гамильтониан возмущенного движения таков, что a положение равновесия неустойчиво] если же [c.75]

Гамильтониан возмущенного движения [c.125]

Рассмотрим случай плоской круговой задачи трех тел. Гамильтониан возмущенного движения записывается в виде разложения [c.126]

Доказательство. При ц = (1 = 1, 2) точки либрации неустойчивы, как уже об этом говорилось выше. Пусть [X Их и ц = Ц2- Тогда гамильтониан возмущенного движения может быть представлен в виде (1.3). Согласно исследованиям Арнольда, изложенным в главе 5, для доказательства устойчивости для большинства начальных условий достаточно проверить отличие от нуля определителя четвертого порядка [c.134]

В этой главе мы проведем исследование устойчивости треугольных точек либрации для случая плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел. По сравнению со случаем круговой задачи, рассмотренной в двух предыдущих главах, здесь задача очень усложняется, так как независимая переменная явно содержится в гамильтониане возмущенного движения. [c.147]

ГАМИЛЬТОНИАН ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 215 [c.215]

Можно рассмотреть более сложную задачу о возмущенном движении осциллятора, гамильтониан который имеет вид [c.343]

Пусть на систему наложено малое гамильтоново возмущение. Возмущенное движение описывается системой с гамильтонианом [c.182]

Подставляя в гамильтониан (5.11) вместо д,, р величины (6.2) и собирая члены одинакового порядка по д , р (I ф I) ж ]/ г, , получаем функцию Гамильтона возмущенного движения в виде [c.216]

Здесь т — масса материальной точки, к — жесткость пружины. Переходя к переменным действие—угол (/, ф) по формулам (17.3) и (17.4), получим новый гамильтониан К=ч>1, а уравнения возмущенного движения (19.3) примут вид [c.193]

В-третьих, встречается немало случаев, когда мы сталкиваемся с системами, уравнения движения которых чрезвычайно сложны и не позволяют получить точное решение в замкнутой форме нередко, однако, возможно указать другую систему, гамильтониан которой почти такой же, как и гамильтониан интересующей нас системы, но решение уравнений движения которой может быть получено в замкнутой форме через квадратуры. Различие между исходным и упрощенным гамильтонианами может в этом случае рассматриваться как возмущение . Именно к этому типу возмущений и относится задача об ангармоническом осцилляторе. Эта задача возникает в теории малых колебаний, о которых шла речь в гл. 3. В гл. 3 мы удержали только первый член, отличный от нуля, в выражении для потенциальной энергии, что и привело нас к таким уравнениям движения, которые удалось свести к совокупности уравнений независимых гармонических осцилляторов. Вот эту-то систему мы и считаем невозмущенной. Возмущение состоит в том, что в гамиль- [c.183]

Исследовать методами теории возмущений возмущение одномерного гармонического осциллятора линейным или квадратичным членом в гамильтониане и сравнить результат с точным решением уравнения движения. [c.204]

При исследовании устойчивости механических систем, описываемых каноническими уравнениями движения (в частности с гамильтонианом, периоди-134 чески зависящим от времени), существенную роль играет орбитальная устойчивость Применение предложенного А. Н. Колмогоровым метода теории возмущений позволило получить ряд результатов относительно устойчивости и неустойчивости консервативных систем, близких к интегрируемым для бесконечного промежутка времени. При этом выяснилось существенное отличие систем с числом степеней свободы ге 3 от систем с одной или двумя степенями свободы. Так называемые условно-периодические движения, соответствующие интегрируемым системам с п степенями свободы, образуют п-мерные инвариантные многообразия типа тора. Методом Колмогорова доказывается грубость таких торов — они мало видоизменяются, т. е. устойчивы при достаточно малых возмущениях. При и = 1 или п = 2 в фазовом пространстве 2п измерений устойчивые торы лежат в многообразиях 2п — 1 измерений, которые выделяются требованием постоянства энергии, как соосные торы (и = 2) или концентрические кривые п = 1). Поэтому не только траектории, первоначально лежащие на инвариантных торах, но и траектории, находящиеся между ними, остаются между этими торами. В этом случае существование торов гарантирует устойчивость системы. При га >> 3 гг-мерные торы вложены в пространство 2п — 1 измерений, которое они делить уже не могут, т. е. щели между торами сообщаются друг с другом. Поэтому траектория, начинающаяся между торами, несмотря на их устойчивость по отношению к возмущениям, может, извиваясь между торами, уйти на любое расстояние от них, т,. е. оказаться неустойчивой. Примеры, иллюстрирующие эти общие положения, приведены в докладе [c.134]

У равнения Дайсона. К задаче о вычислении функций Г рина и корреляционных функций можно подойти с разных сторон. Например, дифференцируя их по временным аргументам и используя затем уравнения движения для операторов поля, можно получить так называемую цепочку уравнений Мартина-Швингера [124], которая аналогична цепочке уравнений для приведенных матриц плотности, рассмотренной в главе 4 первого тома. Расцепляя на каком-то шаге цепочку Мартина-Швингера с помощью аппроксимаций для высших функций, можно получить приближенные замкнутые уравнения для одночастичных функций Грина и корреляционных функций (см., например, [49]). Другой путь состоит в том, чтобы записать гамильтониан в виде Я = Я + Я, где Я описывает свободные частицы, и перейти в представление взаимодействия, разложив функции Грина и корреляционные функции в ряды по Я. Для суммирования бесконечных последовательностей членов теории возмущений удается построить диаграммную технику [19] (см. также [55]). В настоящее время хорошо изучена связь аппроксимаций высших функций в цепочке Мартина-Швингера с суммированием диаграмм определенных типов, поэтому выбор подхода, во многом, дело вкуса. Поскольку метод уравнений движения более удобен для исследования общих свойств временных функций Грина, именно им мы и воспользуемся ). [c.43]

Шестая глава посвящена важнейшему разделу механики — гамильтонову формализму. Основная цель этого раздела — представить математические аспекты гамильтоновой динамики как мощный аппарат решения широкого круга задач механики, физики и прикладной математики. В лагранжевом подходе проблема решения уравнений лежит вне рамок лагранжева формализма. Положение меняется в гамильтоновом подходе, который позволяет получить решение как каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосредственно к уравнениям. Вся информация об эволюции системы содержится в одной функции — гамильтониане в результате канонического преобразования можно получить новый гамильтониан, который в определенном смысле мал . Более того, поскольку все операции ограничены рамками группы движения кососимметричной метрики, то удается создать универсальные алгоритмы построения приближенных решений. В рамках гамильтонова подхода изложены теория специальных функций, каноническая теория возмущений, метод усреднения нелинейных систем, методы анализа движения системы в быстропеременном внешнем поле и т.д. Особый интерес представляет лекция 30, в которой развит метод Дирака удвоения переменных, позволяющий представить в гамильтоновой форме систему нелинейных уравнений общего вида и получить решения уравнений, описывающих сингулярно-возмущенные системы, решения алгебраических и трансцендентных уравнений, разрешить проблему обращения интегралов и т.д. В лекции 32 приведено решение задачи о движении релятивистской частицы в гиперболическом волноводе, представляющей интерес для проблемы сепарации частиц по энергии и удельному заряду. В рамках канонического формализма рассмотрена задача о движении протонов в синхрофазотроне. [c.8]

Указанная здесь трудность характерна не только для задач небесной механики, но для всех задач, близких к интегрируемым (например, для задачи о движении асимметричного тяжелого волчка, приведенного в очень быстрое вращение). Пуанкаре даже называл основной задачей динамики задачу об исследовании возмущений условно-периодических движений в системе, заданной гамильтонианом [c.367]

При учете Язр.о в гамильтониане (58.1) спин электронов не является интегралом движения и состояния молекулы нельзя строго разделить на синглетные и триплетные. Однако вследствие малости спин-орбитального взаимодействия его влияние можно учесть методом теории возмущений. Пусть и г —энергии, а г )5 и г ) г — собственные функции оператора Яо, соответствующие синглетному и триплетному состояниям (нулевое приближение). Тогда в первом приближении теории возмущений полный оператор (58.1) имеет собственные функции [c.504]

Для интегрирования динамической системы требуется найти полный интеграл (1.1) 5 = 5 (-, да, йа), зависящий от п произвольных параметров йа. При этом уравнения движения возникают из п соотнощений д8/дйа = Ьа, где Ьа — набор п произвольных постоянных. Когда гамильтониан системы может быть представлен в виде 2 — 0 + 5/, где X — параметр малости (условно), предполагается, что движение системы не сильно отличается от ее поведения при нулевом значении постоянной связи и все динамические переменные записываются в виде разложения в ряд по X. Существует несколько различных эквивалентных формулировок теории возмущений. Для понимания дальнейшего потребуется следующее явное выражение для некоторой динамической переменной ф(р д) в т-м порядке, т. е. коэффициент при ее разложения, [c.178]

Другим важным приложением является движение заряженной частицы в магнитном и электрическом полях. Прежде всего было установлено, что магнитный момент является адиабатическим инвариантом, связанным с ларморовским вращением заряженной частицы [7]. В дальнейшем были рассмотрены адиабатические инварианты и для других степеней свободы частицы. Эта задача стимулировала развитие асимптотических разложений и техники усреднения, а также исследования Чирикова 167 ], в которых он изучал переход. между регулярным и стохастическим движением и установил первый критерий такого перехода (критерий перекрытия резонансов). В дальнейшем был проведен учет влияния высокочастотного поля вследствие его резонанса с ларморовским вращением. В результате был найден предел для высокочастотного нагрева, связанный с существованием инвариантных кривых. Родственная задача о движении частицы в намагниченной плазме под действием волны, иллюстрирующая многие из вышеупомянутых особенностей движения, используется в качестве примера для резонансной теории возмущений (гл. 2) и для определения перехода от адиабатического поведения к стохастическому (гл. 4). Другим интересным приложением теории является движение частиц в ускорителях. Именно в этой области были проведены некоторые ранние исследования поведения многомерных нелинейных систем. Уравнения Гамильтона могут быть использованы также и для описания других типов траекторий, таких, как магнитные линии или лучи в геометрической оптике. В случае аксиально симметричной тороидальной геометрии гамильтониан, описывающий магнитные линии, оказывается интегрируемым. К настоящему времени уже проведен ряд исследований по разрушению тороидальных магнитных поверхностей возмущениями, возникающими как от внешних токов, так и от самосогласованных токов удерживаемой плазмы. Подобные приложения используются ниже в качестве примеров, а также кратко обсуждаются в дополнении А. [c.17]

Обратимся теперь к модуляционной диффузии, при которой хаотическое движение происходит вдоль системы перекрывающихся резонансов, вызванных медленной модуляцией возмущения. Следуя Чирикову и др. [76], рассмотрим модельный гамильтониан [c.366]

Если движение, описываемое гамильтонианом (6.2.50), связано с третьей степенью свободы, то неравенство (6.2.53) есть также условие модуляционной диффузии. Если же возмущение меньше этой границы, то остается только диффузия Арнольда. Отметим неожиданное следствие оценки (6.2.53) чем меньше частота модуляции, тем ниже граница перекрытия по возмущению к сс Q ). На первый взгляд это противоречит нашей интуиции об адиабатических возмущениях, согласно которой с ростом отношения частот влияние резонансов уменьшается ). Это противоречие разрешается, если принять во внимание, что стохастичность связана с прохождением резонанса, а это происходит только дважды за период модуляции 2я/Й. Поэтому при Q -> О скорость диффузии также стремится к нулю. [c.367]

В этой главе проводится исследование устойчивости треугольных точек либрации в случае пространственной круговой задачи трех тел [63]. То есть, как и в исследовании предыдущей главы, орбита основных притягивающих тел S ж J предполагается круговой, но на тело Р бесконечно малой массы в начальный момент времени действуют не только плоские возмущения, но и возмущения, выводящие его из плоскости вращения тел S и /. Теперь в гамильтониане возмущенного движения (3.1) предудущей главы следует положить только е = О, а координата и импульс Рз нулю не равны. И, таким образом, необходимо исследовать устойчивость положения равновесия = Рг = О в атономной гамильтоновой системе с тремя степенями свободы. Изучение этой системы основано на результатах теории устойчивости многомерных гамильтоновых систем, изложенных в главе 5. [c.132]

С. Г. Журавлевым в работах [25, 184, 1851 проведено подробное нелинейное исследование устойчивости точек либрации для значений параметров еа, ер, принадлежащих области I рис. 48, где выполняются необходимые условия устойчивости. Нелинейное исследование представляет значительные трудности, потому что в области /, как показано в статье [184], гамильтониан возмущенного движения не будет знакоопределенной функцией. Здесь ситуация совершенно аналогична той, которая имеет место в задаче об устойчивости треугольных точек либрации круговой ограниченной [c.302]

Основные этапы построения периодических движений и анализа ихустойчивости состоят в следующем [144]. Сначала найдем полный интеграл S (х, у, а,, 2, т) уравнения Гамильтона — Якоби, соответствующего невозмущенному гамильтону Rq. Полный интеграл S и соотношения dSldai = ( , Рг — onst) дают решение X = Хо ( г. Pi, т), у = Уо ( г, Рг, т), р = р , (а,-, Рг, т), Ру = = Py (ai, Рг, т). Для исследования возмущенного движения (т. е. движения, описываемого полной функцией Гамильтона (2.1)) делаем замену переменных х, у, Рх Ру -> а . Pi, Рг при помощи рмул X = Хо, у = Уо, Рх = Рх,, Ру = Ру.- Новый гамильтониан Л имеет вид [c.256]

Между влиянием движения решетки на ширину квадрупольной динии и аналогичным явлением для зеемановского резонанса существует одна важное различие. В последнем случае движение решетки не сказывается на зеемановском гамильтониане о —главной части полного гамильтониана = ( o + S i, тогда как его влияние на гамильтониан возмущения S i приводит к сужению резонансной линии. При квадрупольном же резонансе, когда по крайней мере часть основного спинового гамильтониана определяется взаимодействием ядерного квадрупольного момента с градиентом локального электрического поля, этот гамильтониан сам зависит от движения решетки. Резонансн линия, бесконечно узкая в отсутствие движения, теперь имеет конечную ширину. В то же время движение решетки обеспечивает механизм релаксации ядерных спинов. [c.431]

Кроме двух параметров (г, U или t, J) X. м. характеризуется еще одним параметром — электронной концентрацией п (число электронов на один узел решётки). В этой невырожденной модели п меняется в пределах 0< <2, причём поведение системы существенно зависит от величины п. Из (3) видно, что при половинном заполнении зоны (п = ) гамильтониан /—У-модели сводится к гамильтониану Гейзенберга модели с атомным локализованным спином S— jj, так что основное состояние системы должно быть антиферромагнитным с волновым вектором Й = (п, я, п). За счёт взаимодействия электронных состояний с антиферромагн. порядком при п — 1 должна открываться щель на поверхности Ферми, так что в этих условиях система должна быть диэлектриком. При отклонении от половинного заполнения в системе появляется дырочная проводимость, а антиферромагн. порядок ослабляется за счёт движения дырок, так что при нек-рой концентрации дырок антиферромагнетизм исчезает при последующем уменьшении п сильно коррелированная система переходит в режим ферми-жидкости. Т. о., из рассмотрения двух предельных случаев ясно, что при изменении п должен существовать кроссовер от ферми-жидкостного поведения в фазу диэлектрич. состояния и одновременно кроссовер от коллективизированного магнетизма к магнетизму с локализованными маги, моментами. При фиксированном и аналогичный кроссовер должен возникать с ростом U. Эти наиб, интересные явления появляются в области промежуточных значений U W, где возмущений теория не работает, поэтому необходимо использовать при анализе X. м. другие приближённые подходы, не основанные на разложениях по параметрам UjW или WjU. Ниже рассматривается ряд таких подходов [2]. [c.392]

Согласно результатам п. 2, в предположении 1) система с гамильтонианом ехр 7 0 невырождена. Далее, пусть П — матрица вторых производных функции ехр Tio по импульсам у,ф. Несложно показать, что К иК совпадает с числом 6 из условия 2), которое (по предположению) отлично от нуля. Теперь можно воспользоваться теоремой 1 из 10. Условия 1) и 3) этой теоремы заведомо выполнены. Так как /i"(Ao)o < О, то выполнено условие 2). Следовательно, возмущенная гамильтонова система с гамильтонианом (11.4) при малых значениях е > О имеет п-мерный гиперболический инвариантный тор, заполненный траекториями условно-периодических движений. Этот тор аналитичен по [c.247]

Улучшенное адиабатическое приближение. Пусть I = = I p,q,r), (р = (p p,q,r) mod27T — переменные действие-угол [1 невозмущенной (г = onst) задачи. Действие I определено выше, в п. 2, а угол (р = p p q r) — это угловая переменная на траектории невозмущенной задачи, проходящей через точку [р, q). В невозмущенном движении (р изменяется равномерно. Угол р отсчитывается от какой-нибудь кривой, трансверсальной невозмущенным траекториям. Переменные действие-угол определяются отдельно внутри каждой их областей j. Замена переменных [р, q) (/, р) — каноническая. Изменение переменных 1,р ъ возмущенном (г = 0) движении описывается гамильтоновой системой с гамильтонианом [c.195]

Поскольку /2 = onst, то движение, определяемое гамильтонианом (2.4.10) в переменных Jj, б , имеет фактически одну степень свободы и, следовательно, интегрируемо. Неподвижные точки 710. 010 на фазовой плоскости /1, Gj, соответствующие периодическим решениям для возмущенного гамильтониана, находятся из условия [c.125]

В этом случае, как описано в п. 2.4а, гамильтониан (3.4.25) можно усреднить по пи получить интеграл движения 2яЛ1 In и+ -f os of = С. Однако область столь больших скоростей не представляет особого интереса. Вместо этого введем новые переменные, как в резонансной теории возмущений ( 2.4) [c.235]

В этом параграфе мы рассмотрим вторичные резонансы вынужденных колебаний маятника с гамильтонианом (4.1.26). Вследствие нелннейности свободных колебаний маятника в движении присутствуют гармоники основной медленной частоты Oq- Эти гармоники могут оказаться в резонансе с быстрым внешним возмущением частоты 2я, который называется поэтому вторичным резонансом. Поскольку исследование в общем виде является довольно громоздким, мы рассмотрим отдельно вторичные резонансы вблизи центра первичного резонанса и вблизи его сепаратрисы. [c.263]

Приводим задачу к исследованию отображения, такого, например, как стандартное отображение, или отображение Улама. В общем случае для системы с двумя степенями свободы это люжет представлять некоторые трудности. По заданному гамильтониану отображение можно получить методами теории возмущений (см. п. 3.16) или же с помощью интегрирования уравнений движения на периоде отображения. В некоторых случаях удобно использовать внутреннюю симметрию системы, как это было сделано Грином [166] в задаче Хенона—Хейлеса. [c.274]

Отметим, что в обоих рассмотренных примерах часть гамильтониана представляет собой резонансное возмущение системы с гамильтонианом а функция подобрана так, чтобы возмущенная система допускала частные решения (1.8) и (1.13). Следует отметить также, что частоты невозмущенпой системы hl = дН(- Удг1, вычисленные для частных решений (1.8) и (1.13), связаны резонансными соотношениями (теми же, что и частоты линейной системы), то есть во все время движения траектории, приводящие к неустойчивости, находятся в резонансной зоне фазового пространства. [c.90]

Тот же самый невозмущенный гамильтониан Hq можно использовать при решении задачи о движении искусственного спутника, когда возмущенный гамильтониан определяется второй, третьей и т. д. гармониками, исключенными из невозмущенного решения. Однако Штерн 1141 и Гарфинкель (2, 31 показали, что можно использовать и невозмущенный гамильтониан Нд, включающий основную часть эффектов сплюснутости и приводящий к уравнению Гамильтона—Якоби с разделяющимися переменными, которое можно разрешить. [c.327]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...