Отображение Улама

Отметим, что гамильтониан Н этой системы с одной степенью свободы явно зависит от времени ). Описанный метод легко обобщается и на случай явного отображения поворота с N степенями свободы. Мы используем гамильтониан (3.1.35) для отображения Улама в 3.4. [c.184]

Точное отображение Улама. В случае когда скорость подвижной стенки задается пилообразной функцией времени, Заславский и Чириков получили следующую систему точных разностных уравнений движения частицы [c.222]

Упрошенное отображение Улама. Система уравнений (3.4.1) существенно упрощается, если пренебречь смещением колеблющейся стенки. Такая упрощенная модель сохраняет наиболее характерные черты физически более реальной исходной модели и вместе с тем легко обобщается на случай произвольного закона скорости стенки. Мы проведем сравнение результатов численных экспериментов для точного и упрощенного отображений. Каноническими переменными упрощенного отображения являются скорость частицы перед п-м столкновением с движущейся стенкой и фаза колебаний стенки. При пилообразном законе изменения скорости стенки отображение имеет вид [c.223]

Рис. 3.14. Фазовая плоскость отображения Улама с М = 1,25 и (по данным работы [38]).

Неподвижные точки и их устойчивость. Мы не будем здесь рассматривать сепаратрисное отображение столь же подробно, как отображение Улама выше, а отметим лишь его наиболее характерные особенности. Оба отображения очень похожи друг на друга, оба относятся к классу явных отображений поворота и их можно представить в виде произведения инволюций (см. п. 3.16). Оба отображения имеют нелинейность одного типа, которая приводит к увеличению фазового сдвига, а следовательно, и к стохастичности при уменьшении переменной действия т или и). [c.242]

Для вычисления границы стохастичности используем в качестве модели стандартное отображение (3.1.22). Это позволит нам аналогично Чирикову и Грину исследовать переход к стохастичности в терминах параметра стохастичности К- Мы уже видели в п. 3.16, что стандартное отображение локально аппроксимирует более общие нелинейные отображения. Покажем прежде всего, что это распространяется и на отображение Улама, и на сепаратрисное отображение. [c.249]

Рис. 4.2. Локальная аппроксимация отображения Улама стандартным отображением.

Гамильтониан. Аналогично отображению Улама (п. 3.4д) гамильтониан стандартного отображения получается с помощью периодической б-функции и имеет вид [c.255]

Если перекрываются резонансы несколько разной ширины, как, например, для отображения Улама, то правило двух третей (4.7.1) можно обобщить следующим образом [c.288]

Для отображения Улама численно найденная граница стохастичности на рис. 3.15 согласуется с условием (4.7.2). Если же соседние резонансы значительно отличаются по ширине, то оценки, полученные для стандартного отображения, неприменимы. В случае [c.288]

Численные данные для стандартного отображения и отображения Улама [c.289]

Результаты, полученные для отображения Улама с двумя гармониками возмущения произвольной амплитуды [202] (см. 6.5.1), показывают, что даже в случае значительной разницы амплитуд правило двух третей работает удивительно хорошо. Критерий двух резонансов (рис. 4.12) в этом случае также дает вполне хорошие результаты. Однако, поскольку в системе имеется много различных резонансов, нужно очень аккуратно выбирать в интересующей нас области фазового пространства два наиболее существенных из них. [c.289]

В некоторых случаях можно также найти решение и нестационарного уравнения ФПК. Для упрощенного отображения Улама D = 1/12, В = О и (5.4.5) переходит в обычное диффузионное уравнение [c.324]

Сплошная кривая — упрощенное отображение Улама (3.4.4) пунктирная кривая — точное отображение Улама (3.4.1) Л1 = 10 [c.325]

Интерпретация этих результатов затруднительна, поскольку сингулярность взаимодействия при пересечении листов нарушает условие гладкости теоремы KAM (п. 3.2а). Как мы знаем на примере сингулярного отображения Улама (3.4.4), это приводит к глобальной стохастичности, а регулярные траектории сохраняются только в островках устойчивости внутри резонансов. Если доля этих островков уменьшается с ростом N, то можно ожидать быстрого возрастания числа стохастических траекторий, что согласуется с результатами [144]. [c.408]

В качестве примера возьмем ускорение Ферми с диссипацией. Используя упрощенное отображение Улама (3.4.6), вводим диссипацию посредством следующих формул [c.468]

Для диссипативного отображения Улама (7.3.55) Я = (1—б) из [c.472]

Модель Улама. Уравнение отображений. Критерий ускорения. Кинетика [c.62]

Рассмотрим пример динамической системы, которую люжно описать сохраняющим площадь отображением он иллюстрирует характер стохастических траекторий в системах с двумя степенями свободы. Отображение описывает движение шарика между неподвижной и колеблющейся стенками. Этот пример Улама [415] моделирует механизм ускорения космических лучей, предложенный Ферми [126].Обозначим через скорость шарика (в единицах удвоенной амплитуды скорости стенки), перед его л-м столкновением с колеблющейся стенкой, а через — фазу колебаний стенки в лю-мент столкновения. Тогда отображение имеет вид [c.68]

В литературе рассматривалось несколько моделей ускорения Ферми, которые приводят к различным отображениям на поверхности сечения Пуанкаре. Модель Улама показана на рис. 3.11, а. Точное [c.221]

Пример 2. Отрезок. Следуя Уламу и фон Нейману, рассмотрим отображение f z) = 2 —2, которое переводит замкнутый отрезок I = = [—2, 2] на себя. Это отображение и его обобщения на старшие степени известны под названием многочлены Чебышева. (Задача 7-е. Другие примеры см. в 7-(1.) [c.89]

Дискретное отображение Улама (5.4)-(5.6) достаточно полно изучено в другом физическом контексте (Lihtenberg и Lieber-man, 1992) и мы не будем останавливаться на математических [c.96]

В дальнейшем мы подробно рассмотрим два таких отображения упрощенное отображение Улама ( 3.4) и сепаратрисное отображе ние ( 3.5). [c.181]

Используя (3.3.34) и (3.3.35), можно показать, что если как х, так и Т х являются неподвижными точками отображения (или 1 , то л является также и неподвижной точкой отображения В 3.4 мы воспользуемся этим методом для определения периодических точек отображения Улама. Грин использовал этот метод для нахождения периодических точек большого периода в случае стандартного отображения [165] и в задаче Хенона—Хейлеса [166]. В обоих случаях отображение, а значит, и нечетная степень отображения представимы в виде произведения инволюций. Поэтому периодические точки этих отображений можно найти рассмотренным методом. Так, например, отображение можно представить в виде произведения двух инволюций следующим образом [c.214]

Приводим задачу к исследованию отображения, такого, например, как стандартное отображение, или отображение Улама. В общем случае для системы с двумя степенями свободы это люжет представлять некоторые трудности. По заданному гамильтониану отображение можно получить методами теории возмущений (см. п. 3.16) или же с помощью интегрирования уравнений движения на периоде отображения. В некоторых случаях удобно использовать внутреннюю симметрию системы, как это было сделано Грином [166] в задаче Хенона—Хейлеса. [c.274]

Вычислим коэффициенты переноса (5.4.6) и (5.4.7) и сравним их с результаталш численного моделирования. Для отображения Улама [c.321]

Рис. 5.15. Фазовая плоскость (и, г) ) для отображения Улама со слабым внешним шумом (5.5.1) (по данным работы [274J).

Для двумерных отображений Либерман и Лихтенберг [274 ] численно исследовали медленную диффузию под действием шума на примере упрощенного отображения Улама (3.4.4) [c.335]

Хотя обычно диффузию Арнольда рассматривают в отсутствие перекрытия резонансов ) [70], похожая диффузия происходит и при перекрытии группы резонансов, причем в последнем случае скорость диффузии резко возрастает ). Хорошей иллюстрацией обоих режимов является модельная задача о колебаниях шарика между плоской и периодически гофрированной в двух направлениях стенками. Эта система, похожая на отображение Улама с дополнительной степенью свободы, была исследована Теннисоном и др. [406]. [c.341]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...