Арнольда диффузия

Таким образом, случай малой поперечной нейтронной диффузии С указанными характеристиками в тороиде вполне вероятен и может рассматриваться как своего рода ядерная аналогия диффузии Арнольда [201] поперек стохастического слоя. [c.326]

Этот пример и другие известные примеры с быстрой диффузией Арнольда представляют собой исключение из правила. Как показано [c.118]

При N>2 торы не делят пространство и пересекаются. Поэтому области различных разрушенных резонансных торов образуют сложную сетку каналов в фазовом пространстве, по которым траектория может уходить сколь угодно далеко от области невозмущенного движения. Это явление называется диффузией Арнольда [35] и будет рассмотрено в Дополнении 2. Таким образом, при N>2 существуют такие области в фазовом пространстве, что если начальные условия попадают в них, то траектория уходит сколь угодно далеко. Мера этих областей стремится к нулю при е О (ком. 6). [c.26]

Различные примеры качественных и численных оценок то и физических приложений диффузии Арнольда содержатся в обзоре [25]. [c.249]

Существует значительное различие между стохастичностью в системах с двумя и большим числом степеней свободы. Используя топологические соображения, Арнольд [12] показал ), что для систем с более чем двумя степенями свободы стохастические слои связаны между собой и образуют в фазовом пространстве плотную паутину . Для начальных условий на этой паутине стохастическое движение идет вдоль слоев, приводя к глобальной диффузии, не ограниченной инвариантными поверхностями. Этот механизм принято называть диффузией Арнольда. Она может быть быстрой или медленной в зависимости от толщины стохастических слоев. Такая диффузия существует (в принципе) для сколь угодно малых возмущений интегрируемых систем. Еще один интересный эффект в многомерных системах связан с медленной модуляцией одного из периодических движений ). В этом случае стохастическое движение вдоль паутины может значительно усиливаться за счет так называемой модуляционной диффузии. Этот механизм противоречит интуитивному представлению о том, что медленная модуляция должна приводить к адиабатическому поведению ). В многомерных системах резонансы могут значительно влиять на диффузию также [c.18]

И благодаря внешней стохастичности (шуму). Для систем с двумя степенями свободы действие шума эквивалентно, вообще говоря, наличию третьей степени свободы и приводит к диффузии вдоль резонансов. При этом резонансы могут значительно увеличивать скорость диффузии. Считается, что эти процессы могут ограничивать время жизни частиц и интенсивность пучков в накопительных кольцах. В гл. 6 мы рассмотрим диффузионные процессы в многомерных системах, включая диффузию Арнольда и модуляционную диффузию, а также совместное действие внешнего шума и резонансов. [c.19]

Диффузия Арнольда. Для двух степеней свободы двумерные инвариантные поверхности (торы) разделяют трехмерный энергетический объем в фазовом пространстве на изолированные слои, подобно тому как линии на плоскости выделяют изолированные об- [c.71]

НЫХ условий на паутине стохастическая траектория пересекает в конце концов любую область энергетической поверхности, даже когда возмущение е 0. Это и есть диффузия Арнольда. [c.72]

Слияние стохастических траекторий в единую сеть было доказано [12] для специальной нелинейной системы. В общем случае такого доказательства до сих пор нет, но известно несколько численных примеров диффузии Арнольда. С практической точки зрения возникают два основных вопроса 1) какова относительная мера стохастической компоненты в интересующей нас области фазового пространства и 2) какова скорость диффузии Арнольда для тех или иных начальных условий. Оценку размеров стохастической компоненты можно получить из критерия перекрытия резонансов (см. гл. 6). [c.72]

Так же как и в системах с двумя степенями свободы, перекрытие резонансов приводит к образованию стохастического слоя конечной ширины и вызывает движение поперек слоя. Новой особенностью диффузии Арнольда является движение вдоль стохастического слоя, которое возникает при взаимодействии по крайней [c.72]

Рис. 1.17. Быстрая диффузия идет поперек стохастического слоя, а медлен" ная диффузия Арнольда—вдоль слоя.

Первые оценки для скорости диффузии Арнольда приведены в [146].— Прим. ред. [c.73]

Наконец, отметим, что асимптотическое разложение для адиабатических инвариантов несправедливо на интервалах времени, значительно превышающих время медленных изменений в системе иными словами, адиабатический инвариант не может даже приближенно сохраняться при t- oo. Такое несохранение адиабатических инвариантов, известное как диффузия Арнольда, возникает в системах с тремя и более степенями свободы и является основным содержанием гл. 6. [c.106]

Поскольку резонансные эффекты, вообще говоря, экспоненциально малы, их влияние, например в виде диффузии Арнольда, проявляется на значительно большем масштабе времени (см. 6,2).— Прим. ред. [c.110]

Рассмотрим общее поведение системы связанных нелинейных осцилляторов и структуру их фазового пространства. Основным результатом здесь является теорема KAM, гарантирующая существование инвариантных торов для систем как с двумя, так и с большим числом степеней свободы. Однако некоторые следствия теоремы KAM существенно различаются для этих двух случаев. Так, диффузия Арнольда возможна лишь в последнем случае. Мы отложим обсуждение этого вопроса до гл. 6. Здесь же для иллюстрации теоремы KAM и характерной структуры фазового пространства мы ограничимся рассмотрением двумерных (сохраняющих площадь) отображений с некоторыми естественными обобщениями на случай большего числа степеней свободы. [c.184]

Сепаратрисное отображение играет чрезвычайно важную роль в понимании хаотического поведения систем, близких к интегрируемым. Как мы видели выше, резонансы в таких системах всегда окружены сепаратрисами, а сепаратрисное отображение описывает движение в их окрестности, причем это движение является хаотическим при ш 0. Ввиду такой универсальности сепаратрисное отображение интенсивно изучалось [70] с целью определения границы стохастичности которая характеризует ширину стохастического слоя вокруг сепаратрисы, а также для выяснения статистических свойств хаотического движения внутри этого слоя. Результаты этих исследований представлены в гл. 4 и 5. Далее в гл. 6 будет показано, что движение в окрестности сепаратрисы лежит в основе анализа диффузии Арнольда, которая, вообще говоря, всегда имеет место в системах с тремя и более степенями свободы. [c.243]

Если система имеет более чем две степени свободы, то резкой границы стохастичности уже не существует. Это связано с тем, что все стохастические слои резонансных сепаратрис в фазовом пространстве связаны между собой. Возникающая при этом диффузия Арнольда является, вообще говоря, очень медленной по сравнению с диффузией в областях глобальной стохастичности. Поэтому в практическом отношении понятие границы стохастичности остается содержательным и для многомерных систем. [c.249]

Интересным примером подобных всюду плотных, но не эргодических траекторий является диффузия Арнольда (см. п. 6.1а).— Прим. ред. [c.292]

Рис. 6.3. Топология диффузии Арнольда.

Примеры диффузии Арнольда [c.347]

Основная трудность здесь —получение достаточно эффективных аналитических критериев неинтегрируемости, поскольку в полностью интегрируемой системе диффузия Арнольда, конечно, отсутствует (см. примечание редактора на с. 315), Одним из возможных критериев является пересечение сепаратрис, которое было открыто и использовалось еще Пуанкаре [337, и. 226] и интенсивно изучается в последнее время (см,, например, [197, 479, 480, 483, 484, 511 ]), Однако использование этого критерия ограничено в самом интересном (для диффузии Арнольда) случае очень слабого возмущения (см. примечание редактора на с, 240).— Прим. ред. [c.348]

Типичный пример диффузии Арнольда в присутствии связи показан на рис. 6.6. Четырехмерная поверхность сечения (а,, г, Р, у) представлена здесь двумя проекциями (а, х) и ([ , у), которые для удобства совмещены на рисунке. Начальные условия выбраны внутри резонанса по х и в пределах тонкого стохастического слоя по у. Численное моделирование показывает, что движение по у остается внутри стохастического слоя, пока колебания по. V не достигнут своей сепаратрисы. Последовательные стадии диф фузии по X под действием стохастических колебаний по у показаны на рис. 6.6, б—г. Это и есть диффузия Арнольда, поскольку на поверхности сечения она идет вдоль стохастического слоя резонанса по у. При дальнейшем движении диффузия охватывает большую часть [c.350]

Апосова У-система 56, 60. 61 Арнольда диффузия 96, 248—249 Аттрактор странный 250—258 [c.270]

Бели фазовое пространство имеет размерность больше четырёх, то геои. запретов, гарантирующих разделение хаотических и регулярных движений, уже не существует и области стохастич. поведения в разных частях фазового пространства могут соединяться друг с другом отрезками одной и той же траектории. Обычно это происходит вдоль сепаратрис (стохастич. диффузия, или диффузия Арнольда [8]). [c.695]

Разд. стохастич. слои в фазовом пространстве могут пересекаться, образуя нек-рую сеть каналов, внутри к-рых динамика системы является стохастической (рис. 8). Эта сеть наз. стохастич. паутиной (паутиной Арнольда). Если размерность фазового пространства 2Л =4, то двумерные инвариантные торы разделяют трёхмерный объём, в к-ром движется система (из-за сохранения энергии), на изолир. области (подобно тому, как линия на плоскости делит 2-мерное пространство на изолир. части). Однако уже для трёх и более степеней свободы (N>2) JV-мерные торы не разделяют (2N— 1)-мерную энер-гетич. поверхность. Поэтому стохастич. паутина оказывается связной, подходя сколь угодно близко к любой точке фазового пространства. Наличие паутины приводит к не-огранич. переносу частиц вдЬль стохастич. слоя, называемому диффузией Арнольда. [c.400]

Из устойчивости для больгиинства начальных условий не следует устойчивость по Ляпунову. В [25] построен пример гамильтоновой системы, устойчивой для больгиинства начальных условий, но неустойчивой по Ляпунову. Подобное явление получило название диффузии Арнольда. В построенном в [25] примере диффузия очень слабая время, в течение которого rj t) находится вблизи г (0), экспоненциально эастет при линейном убывании возмугцения. [c.117]

По диффузия Арнольда не обязательно всегда экспоненциальна. Она может быть очень сильной. В фазовом пространстве в дополнении к упомянутому больгиинству начальных условий , для которого имеет место устойчивость, могут сугцествовать каналы сверхпроводимости , по которым траектория может довольно быстро уходить от начала координат. Это видно из следуюгцего простого примера [17 Пусть п = 3 и [c.117]

Исследована устойчивость регулярных прецессий динамически симметричного спутника на круговой орбите дан анализ устойчивости плоских колебаний спутника — твердого тела на эллиптической орбите произвольного эксцентриситета рассмотрена устойчивость движения динамически симметричного спутника, когда его ось симметрии перпендикулярна плоскости эллиптической орбиты центра масс исследована устойчивость плоских вращений спутника и плоских колебаний произвольной амплитуды на круговой орбите получены новые результаты в задаче об устойчивости относительного эавновесия спутника с трехосным эллипсоидом инерции. Подробная библиография приведена в [31, 94]. В [95] указаны такие случаи, когда относительное равновесие спутника устойчиво в линейном приближении, есть устойчивость для большинства начальных условий, а на самом деле это равновесие неустойчиво но Ляпунову. Это — пример конкретной задачи механики, в которой установлено существование диффузии Арнольда (правда, эта диффузия не является экпоненци-альной). [c.125]

Явление диффузии Арнольда подробно описано Нехорошевым [199] (строгие результаты) и Чириковым [24, 25] (качественные н численные результаты). Здесь будут приведены лишь некоторые качественпые понятия о диффузии Арнольда. [c.248]

Новая книга рассчитана на широкий круг специалистов. Однако она не является популярной и при активном чтении требует значительной работы, переосмысления лгаогих привычных понятий. Авторы ставят своей задачей не только рассказать о новой области или дать обзор новых результатов, но и научить читателя (желающего ) работать в этой области и помочь ему овладеть методами теоретического анализа и практических расчетов. Основной направляющей нитью изложения является детальное и всестороннее обсуждение перехода от простых и хорошо известных регулярных нелинейных колебаний к разл ичным режимам хаотического движения (гл. 3—5), включая такие тонкие эффекты, как диффузия Арнольда (гл. 6). Авторы подобрали небольшое число достаточно простых и характерных примеров, к которым они многократно возвращаются при описании различных эффектов или методов анализа. Это существенно облегчает, на наш взгляд, понимание и освоение основного материала. Книга хорошо иллюстрирована она включает разнообразные результаты численного моделирования, что значительно способствует наглядности изложения. [c.6]

Обратимся теперь к качественному описанию типичного случая таких гамильтоновых систем, которые можно рассматривать как возмущения интегрируемых систем. Мы будем называть такие системы близкими к интегрируемым. Рассмотрим сначала простой случай автономного гамильтониана с двумя степенями свободы, или, что эквивалентно, неавтономного (зависящего от времени) гамильтониана с одной степенью свободы. Как мы видели в п. 1.26, неавтономные системы можно свести к автономным путем увеличения числа степеней свободы на единицу. Отличительной чертой систем, близких к интегрируемым, является присутствие причудливо перемешанных друг с другом областей как регулярного, так и стохастического движения. При этом стохастические области отделены друг от друга областями с регулярными траекториями. Стохастические траектории естественно возникают в результате движения, задаваемого детерминированными уравнениями Гамильтона, которые не содержат никаких специальных стохастических сил. Мы проиллюстрируем это на двух примерах, широко обсуждавшихся в литературе модель Хенона—Хейлеса и ускорение Ферми. Для автономных систем с более чем двумя степенями свободы области стохастичности уже не разделяются регулярными траекториями, а образуют стохастическую паутину , что приводит к так называемой диффузии Арнольда, которая качественно описана в конце этого параграфа. [c.59]

Все вышеописанные эффекты для автономных систем с двумя степенями свободы имеют место и для систем с более чем двумя степенями свободы. В типичном случае стохастические и регулярные траектории тесно сосуществуют в 2/V-MepHOM фазовом пространстве и на 2N—2)-мерной поверхности сечения, а стохастические слои расположены вблизи резонансов. Толщина слоев растет с увеличением возмущения, что приводит в конце концов к перекрытию первичных резонансов, движению поперек слоев и сильной стохастичности. Однако при достаточно малом возмущении первичные резонансы не перекрываются. В этом случае возникает новое физическое явление — движение вдоль слоев, или так называемая диффузия Арнольда. [c.71]

При взаимодействии трех резонансов скорость диффузии Арнольда была найдена Чириковым [70] и Теннисоном и др. [406] ). Это рассматривается в гл. 6. В общем случае взаилюдействия многих резонансов строгая оценка сверху была получена Нехороше-вым [314]. Однако, вообще говоря, она значительно завышает скорость диффузии. Обзор численных экспериментов по диффузии Арнольда в области взаимодействия многих резонансов [72 ] дан в гл. 6. [c.73]

В 3,3 мы рассмотрим линеаризованное движение и его устойчивость в окрестности неподвижных точек. Для иллюстрации применения этих методов к системам с дву.мя степенями свободы в 3,4 рассматривается модель ускорения Ферлш, описываемая с помощью отображения. Неподвижные точки (периодические решения) и их устойчивость исследуются аналитически и сравниваются с численными результатами. Получена также гамильтонова форма отображения. Наконец, в 3,5 рассматривается задача о движении маятника под действием периодического возмущения в окрестности сепаратрисы, Производится переход от уравнений Гамильтона к отображению и рассмотрен характер линеаризованного движения. Такой подход был использован Чириковым [70] при анализе перехода от регулярного к стохастическому движению. Этот метод будет изложен в гл. 4. Он применяется также при оценке скорости диффузии Арнольда в гл, 6. [c.176]

Как мы увидим в 6.2, эти результаты на самом деле обманчивы. Действительно, в системе с тремя степенями свободы первая и третья области должны быть связаны слабой диффузией Арнольда, благодаря которой траектория переходит из одной области в другую. Поэтому, по-видимому, и для промежуточной области Oj 0,03, а а, 0,008, что противоречит данным на рис. 5.9. Это еще раз указывает на основную трудность численного определения показателей Ляпунова не существует априорного условия для определения достаточного числа итераций п. Поэтому при численном юдeлиpoвaнии необходимо использовать и другие методы, такие, например, как метод сечения Пуанкаре -). [c.317]

Основной механизм внутренней диффузии вдоль стохастических слоев называется диффузией Арнольда по имени открывшего ее В. И. Арнольда [12]. Диффузия Арнольда является универсальной в том смысле, что не существует критической величины возмущения, необходимой для ее возникновения, хотя скорость диффузии стрелштся к нулю при уменьшении возмущения. Численные исследования проведены во многих работах (см., например, [68, 139—143]) сравнение с теоретическими моделями в простейшем случае взаимодействия трех резонансов обсуждается в работах [68, 70, 146] 1). [c.341]

Хотя обычно диффузию Арнольда рассматривают в отсутствие перекрытия резонансов ) [70], похожая диффузия происходит и при перекрытии группы резонансов, причем в последнем случае скорость диффузии резко возрастает ). Хорошей иллюстрацией обоих режимов является модельная задача о колебаниях шарика между плоской и периодически гофрированной в двух направлениях стенками. Эта система, похожая на отображение Улама с дополнительной степенью свободы, была исследована Теннисоном и др. [406]. [c.341]

Арнольд высказал предположение, что движение вдоль резонансов является типичным свойством многомерных нелинейных колебаний, однако строгое доказательство этого отсутствует ). Недавно Холмс и Марсден [197], используя метод Мельникова [299] (см. 7.3 ниже), показали существование диффузии Арнольда у большого класса гамильтоновых систем, близких к интегрируемым. [c.348]

Первые теоретические оценки диффузии Арнольда были получены Чириковым [68, 70 ] и его сотр. ). Теннисон и др. [406 ] и Либерман [273] рассчитали скорость диффузии для модельной задачи, описанной в п. 6.16. Теоретический анализ основан на разделении исходной системы с тремя степенями свободы на две подсистемы, каждая из которых рассматривается в первом приближении независимо. Мы будем называть такой подход моделью стохастической накачки. В простейшем случае при этом учитывается взаимодействие только трех резонансов. Пусть, например, ведущий резонанс, вдоль которого идет диффузия Арнольда, связан, скажем, со степенью свободы 2. Взаимодействие между степенями свободы. [c.353]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...