Отображение за период

Композиция преобразования Биркгофа со степенями отображения за период позволяет продолжить функции с окрестностей критических точек и" е) на некоторые окрестности асимптотических поверхностей Л . Так как возможное расщепление поверхностей Л+ и Л имеет порядок , то при малых окрестности и пересекаются. [c.266]

Пусть — отображение за период i = 2тг возмущенной системы. Точка С, G — периодическая точка д периода т N, если д ( = = Периодические точки, и только они, являются начальными значениями (при t = 0) для периодических решений гамильтоновой системы. Если т — период точки (, то 2пт—период решения t z t, ), (Oi ) = С- Периодическая точка ( называется невырожденной, если собственные значения отображения z — g z, линеаризованного в окрестности точки (, отличны от единицы. Ясно, что некритические ограниченные линии уровня функции Но составлены сплошь либо из вырожденных периодических, либо из непериодических точек отображения до- [c.294]

Определение L Преобразование Xq Xi. Xi = X(tQ + T, io)Xq называется отображением за период. [c.457]

Определение 2. Отображение за период называется устойчивым в будущем, если для Ve > О 3O > О и для Vxo I Xq I < O => => II X (tQ + T, io)xo II < e для /N > 0. [c.457]

Таким образом, в большинстве случаев для определения устойчивости решений линейной системы с периодическими коэффициентами достаточно определить отображение за период Х( о + т, /о) и найти собственные числа этой матрицы. Исключительными являются случаи, когда выполнено (20), но среди корней А имеются кратные. [c.458]

Рассмотрим характеристическое уравнение матрицы Ъ (т, 0), определяющей отображение за период [c.462]

Определение. Возникновение неустойчивости при некоторых значениях параметров задачи называется параметрическим резонансом. Согласно (24), в линейном приближении по 8 матрица отображения за период г, для возмущенной системы имеет вид [c.463]

Отображение К К" играет важную роль в дальнейшем мы назовем его отображением за период и обозначим через [c.103]

Здесь проявляется следующее общее явление думать удобнее об отображениях за период, а считать легче с потоками. [c.361]

Так как система (2.7) 2тг/А - периодична по t, то будем следить за положениями частиц жидкости в моменты времени, кратные 2тг/А. Совокупность перемещений частиц за время 2тг/А порождает отображение fa плоскости = (ж, у) на себя, называемое отображение за период. Сепаратриса, задаваемая параметрически соотношениями (2.8), инвариантна при отображении /о. [c.304]

На рис. 4 приведен график формирования производственного потенциала АЛ за период ее использования. Как видно, показатели линии изменяются скачкообразно по мере возникновения новых требований производства. Некоторое улучшение показателей АЛ, отображенное в виде наклона линии под углом а , обеспечивается соответствующим изменением эксплуатационных расходов. [c.268]

Периодическое движение системы характеризуется числом п попаданий представляющей точки на поверхность Г за период колебаний. Это движение называется я-ударным периодическим движением. Ему соответствует неподвижная точка точечного отображения [c.37]

При = О имеем интегрируемую гамильтонову систему с одной степенью свободы. Предположим, что невозмущенная система имеет в области О три неустойчивых невырожденных положения равновесия 1, 2 и Zз, соединенных двоякоасимптотическими траекториями Г1 и Г2, как показано на рис. 27. Точки Zl и zз могут совпадать, однако мы требуем, чтобы Zl ф Z2. Точки Zl, Z2 к. zз — неподвижные точки отображения 50 за период I = 2тг невозмущенной системы, а Г1 и Г2 — инвариантные кривые этого отображения, заполненные точками, которые при положительных (отрицательных) итерациях отображения 50 стремятся к точке Z2 zl) для кривой Г1 и к точке zз ( 2) для кривой Г2. При малых значениях [c.288]

Приведенные выше вычисления дают нетривиальную информацию о строении этого отображения за три периода . В самом деле, отбрасывая члены степени четыре и выше в функции Гамильтона, мы меняем члены степени три и выше у отображения. Стало быть, отображение за три периода, которое соответствует укороченной функции Гамильтона, аппроксимирует (с кубической ошибкой) настоящее отображение за три периода. [c.361]

Но свойства отображения за три периода, отвечающего укороченной функции Гамильтона, нам известны, так как это есть отображение фазового потока системы с функцией Гамильтона Но (х, у) за время 6л (доказательство основано на том, что через время 6л наша вращающаяся система координат возвращается к исходному положению). Посмотрим теперь, какие из этих свойств сохраняются при возмущении третьего порядка малости относительно расстояния от неподвижной точки, а какие нет. [c.361]

Обозначим отображение за три периода для укороченной системы через А , а настоящее отображение за три периода через А. [c.361]

Дополнительный интеграл систем (3.1), (3.2) всегда существует в ве-щественно-аналитическом классе функций. Это связано с тем, что уравнение (3.2) задает линейное отображение двумерной сферы за период, которое также сохраняет меру. Такие отображения интегрируемы. [c.199]

Итак, возникает линейное отображение плоскости Я = х, л за период Р, определяемое формулой [c.88]

Рассмотрим некоторые следствия этого результата. Если v = m/n — рационально, то для любого д точка А(д)бП при п итерациях отображения f переходит в себя. При этом на универсальном накрытии кольца—полосе р <.р<.рг, —< < <9<оо, — координата q точки возрастает на 2пт. Существование таких периодических точек является одним из известных следствий геометрической теоремы Пуанкаре, доказанной Биркгофом [22]. Исходная гамильтонова система имеет в этом случае периодическое решение периода 2яп, делающее за период т оборотов по углу q. [c.210]

Рассмотрим случай, когда элементы матрицы А (t) — однозначные двоякопериодические мероморфные функции времени /бС, имеющие внутри параллелограмма периодов только один полюс. Можно считать, что А /) — мероморфная функция на комплексном торе X, полученном из комплексной плоскости С факторизацией по решетке периодов. Рассмотрим два симплектических отображения g и д за периоды матрицы A t). Предположим, что их собственные значения удовлетворяют условиям теоремы 18. Тогда для того чтобы уравнение (31) имело п независимых аналитических интегралов, необходимо, чтобы g н д коммутировали. Следовательно, обходу особой точки (элементу gg g g G) будет отвечать тождественное отображение пространства [c.262]

Рис. 3. Отображение Пуанкаре за период системы (1.15) — с секущей плоскостью i = О при ц = 0.04.

Электронные ваттметры сначала перемножают входные сигналы, соответствующие току и разности потенциалов нагрузки, а затем определяют среднее за период значение этого произведения и выводят его на устройство отображения. Этот процесс может быть как непрерывным, так и дискретным. Для получения произведения тока на напряжение для непрерывного отображения мощности существует несколько способов. Один из способов — это использование импульсов, ширина которых определяется током, а высота — напряжением. Средняя за период площадь импульсов и есть величина средней мощности. Дискретный метод заключается в следующем производится замер значений тока и напряжения через определенные промежутки времени, затем при помощи цифровых схем эти значения преобра- [c.224]

Если принять условно неподвижную точку отображения Пуанкаре за точку л = 0, то вблизи нее отображение, описывающее бифуркацию удвоения периода можно представить в виде разложения [c.171]

Наиболее удобные односвязные канонические области, применяемые для расчета решеток, изображены на рис. 25. В теоретических исследованиях и для редких решеток обычно используется внутренность единичного круга Zg с переходом бесконечностей перед и за решеткой, соответственно, в симметричные точки действительной оси Zg — — q и Zg = q (рис. 25, а). Чтобы подчеркнуть нарушение конформности отображения в этих точках и конкретизировать соответствие областей, принято говорить, что внешность решетки (в полосе одного периода) отображается на внутренность единичного [c.73]

Траектории, начинающиеся на этой площадке, снова пересекают ее через время, близкое к периоду обращения по исходной замкнутой траектории. Таким образом, возникает отображение окрестности точки пересечения замкнутой траектории с площадкой на площадке в площадку. Это отображение имеет неподвижную точку (в месте пересечения площадки с замкнутой траекторией) и близко к повороту на угол 120° вокруг этой точки, которую мы примем за начало координат, на плоскости нашей площадки. [c.361]

Рассмотрим теперь третью степень указанного вьппе отображения. Это — снова отображение некоторой окрестности нуля на плоскости площадки, оставляющее начало координат на месте. Но теперь уже это отображение близко к повороту на 360°, т. е. к тождественному отображению оно осуществляется траекториями нашей системы за время, близкое к трем периодам рассматриваемой замкнутой траектории. [c.361]

В гомоклинном случае второе условие можно снять. Действительно, как показал Пуанкаре [146], при малых е возмущенная задача всегда имеет гомоклинные решения (если, конечно, они были при = 0). Рассуждение Пуанкаре использует результат о сохранении площади при отображении за период гамильтоновой системы (рис. 18). Пусть —линии пересечения асимптотических поверхностей с плоскостью t= 0. Предположим, что при некотором достаточно малом е ф О эти линии не пересекаются между ними имеется небольшой зазор. Пусть Д — некоторый небольшой отрезок, соединяющий две близкие точки, лежащие на W+ и (см. рис. 18). При отображении за период g отрезок Д сдвинется в направлении, отмеченном стрелкой. Так как ин- [c.263]

Методы символической динамики применимы к описанию поведения системы вблизи трансверсальной гомоклинной траектории. Пусть р — гиперболическая неподвижная точка отображения 3 произвольного многообразия М на себя. Можно считать, что М — фазовое пространство неавтономной периодической гамильтоновой системы, а. 3 — отображение за период (см. п. 4 1). Пусть Л+ и — асимптотические инвариантные поверхности точки р, пересекаюшиеся трансверсально. Точки д е Л+ П Л естественно назвать трансверсальными гомоклинными точками Иш 3 д) = [c.305]

Ряд Маклорена интеграла (1.17) начинается с невырожденной квадратичной формы. Конечно, уравнения Гамильтона могут допускать вырожденный интеграл. По-видимому, теорема 3 справедлива и в том случае, когда вместо непрерывно дифференцируемых интегралов вида (1.17) рассматриваются 2тг-периодические по t интегргшы, представимые в окрестности точки х = у = О сходящимися степенными рядами. Этот результат, вероятно, можно доказать методом работы [59]. Необходимо проверить, что изолированные периодические точки отображения за период возмущенной системы (1.18) составляют ключевое множество для класса функций, аналитических в окрестности начала координат. [c.318]

При = О собственные значения матрицы монодромии уравнения (5.17) при отображении за периоды 2тг и 2т равны соответственно Л12 = и /Х12 = Очевидно, что /х12 Ф 1 при о О и Л1,2 Ф если о 1/4 -Ь /гтг, к е Ъ. Из соображений непрерывности ясно, что при о 1/4 -Ь тг и малых О собственные значения /Х1,2 не являются корнями из единицы, и А1 2 ф г (это свойство, в действительности, имеет место для почти всех о и ). Следовательно, по теореме 1, уравнение (5.17) в этих случаях неинтегрируемо в комплексной области. Отметим, что в действительной области это уравнение вполне интегрируемо оно имеет аналитический интеграл Г г, г, I), 2тг-периодический по Ь. Дело в том, что линейной канонической заменой переменных, 2тг-периодической по I, уравнение (5.17) можно привести к линейной автономной гамильтоновой системе с одной степенью свободы тогда в качестве функции Г можно взять функцию Гамильтона автономной системы. [c.367]

Теорема 7. Если отображение за период является преобразованием устойчивым в будугцем, то тривиальное регпение х = О устойчиво. [c.457]

Б. Отображение за период. Напомню общие свойства систем (2). Обозначим через К" К отображение, переводящее х е е К" в значение в момент t д х = ф (1) редпения ф системы (2) с начальным условием ф (0) = яс (рис. 95). [c.103]

При исследовании колебательных систем с периодически меняющимися параметрами (см. 25) мы выяснили, что параметрнческвй резонанс зависит от поведения собственных чисел некоторого линейного преобразования ( ото-сбражения за период ). Зависимость состоит в том, что положения равновесия системы с периодически меняющимися параметрами устойчиво, если собственные числа отображения за период по модулю меньше единищл, и неустойчиво, если хотя бы одно из собственных чисел по модулю больше единицы. [c.197]

Отображение за период, полученное из системы уравнений Гамильтона с периодическими коэффициентами, является симплектическим. Исследование параметрического резонанса в системах с одной степенью свободы, проведенное в 25, опиралось на анализ поведения собственных чисел сим-лектических преобразований плоскости. [c.197]

Рассмотрим отображение за период д сечения /=/о на себя. При малых е это отображение имеет две неподвижные гиперболические точки 21 и 22 с инвариантными сепаратрисами 1 и 1 2. Согласно условиям теоремы, при е О сепаратри- [c.241]

Применение метода точечных отображений к изучению динамики виброударника позволило Л. В. Беспаловой (1957) отыскать все возможные виды периодических движений и исследовать их устойчивость и зависимость от параметров. В случае упругого удара массы об ограничитель, когда задача сводится к исследованию точечного отображения поверхности цилиндра в себя, любое периодическое движение виброударника можно характеризовать числом ударов за период движения т и кратностью периода движения периоду внешней силы п. Исследование устойчивости одноударных -кратных периодических движений показало, что часть найденных ранее (из условия действительности и положительности ударной скорости) областей суш ествования выпадает из-за потери устойчивости. Другая часть этих областей выпадает из-за наличия -бифуркационных границ, разделяюш,их периодические движения с различным числом ударов. [c.149]

В момент бифуркации (при X = Л ) каждый элемент (точка) 2" -цикла расщепляется на пару—две близкие точкп, расстояние между которыми постепенпо возрастает, но точки остаются ближайшими друг к другу на всем протяжении изменения до следующей бифуркации. Если следить за переходами элементов цикла друг в друга с течением времени (т. е. нри последовательных отображениях Xj+i = f(xj к)), то каждая из компонент пары перейдет в другую через 2" единиц времени. Это значит, что расстояние между точками пары измеряет амплитуду колебаний вновь возникающего удвоенного периода, и в этом смысле представляет особый физический интерес. [c.178]

От первых учебников Окатова и Вышнеградского до учебника Брандта (изд. 3-е) учебники по термодинамике за почти полувековой период прошли большой и славный путь своего развития. При этом особенно значительное развитие по содержанию, методам обоснования положений термодинамики и отображению современного им состояния науки, как мы видели, получили учебники, выпущенные в начале [c.212]

В 12.3 мы уже описывали некоторые свойства периодических орбит в реальных Я-системах. Вследствие универсальностп Я-систем можно для конкретности иметь в виду некоторую наглядную модель. Пусть, например, это будет биллиард со стохастическими траекториями частиц в нем. Траектория частицы порождает последовательные отображения динамических переменных задачи (см., например. Дополнение 1). Изменение распределения по действию подчиняется диффузионному уравнению типа (Д1.13), Для достаточно больпшх периодов замкнутых орбит плотность вероятности первого возврата в заданную область (5, 8 + 68) за время т пропорциональна величине [180] [c.226]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...