Существование инвариантных кривых

Другим важным приложением является движение заряженной частицы в магнитном и электрическом полях. Прежде всего было установлено, что магнитный момент является адиабатическим инвариантом, связанным с ларморовским вращением заряженной частицы [7]. В дальнейшем были рассмотрены адиабатические инварианты и для других степеней свободы частицы. Эта задача стимулировала развитие асимптотических разложений и техники усреднения, а также исследования Чирикова 167 ], в которых он изучал переход. между регулярным и стохастическим движением и установил первый критерий такого перехода (критерий перекрытия резонансов). В дальнейшем был проведен учет влияния высокочастотного поля вследствие его резонанса с ларморовским вращением. В результате был найден предел для высокочастотного нагрева, связанный с существованием инвариантных кривых. Родственная задача о движении частицы в намагниченной плазме под действием волны, иллюстрирующая многие из вышеупомянутых особенностей движения, используется в качестве примера для резонансной теории возмущений (гл. 2) и для определения перехода от адиабатического поведения к стохастическому (гл. 4). Другим интересным приложением теории является движение частиц в ускорителях. Именно в этой области были проведены некоторые ранние исследования поведения многомерных нелинейных систем. Уравнения Гамильтона могут быть использованы также и для описания других типов траекторий, таких, как магнитные линии или лучи в геометрической оптике. В случае аксиально симметричной тороидальной геометрии гамильтониан, описывающий магнитные линии, оказывается интегрируемым. К настоящему времени уже проведен ряд исследований по разрушению тороидальных магнитных поверхностей возмущениями, возникающими как от внешних токов, так и от самосогласованных токов удерживаемой плазмы. Подобные приложения используются ниже в качестве примеров, а также кратко обсуждаются в дополнении А. [c.17]

Модель ускорения Ферми явилась одной из первых задач по определению условий существования инвариантных кривых. В сочетании с простотой численного моделирования на большие времена она стала как бы пробным камнем в понимании динамики нелинейных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. [c.220]

Третий метод определения границы стохастичности базируется на анализе линейной устойчивости движения вблизи центра резонанса (его периодической траектории). Идея метода состоит в следующем. Поскольку потеря линейной устойчивости для резонансов с наиболее низкой гармоникой ( = 1) является слишком жестким условием, более эффективным критерием может служить линейная устойчивость для тех резонансов на высоких гармониках к, которые расположены вблизи некоторой инвариантной поверхности. Эта гипотеза была численно проверена и подтверждена Грином [164, 165]. Более конкретно, гипотеза Грина состоит в том, что существование инвариантной кривой с иррациональным числом вра- [c.247]

Исследуем теперь условия существования инвариантной кривой с обратным числом вращения [c.281]

Существование инвариантных кривых 291 [c.291]

Существование инвариантных кривых [c.291]

Существование инвариантных кривых 293 [c.293]

Существование инвариантных кривых 295 [c.295]

Существование инвариантных кривых 297 [c.297]

Существование инвариантных кривых 301 [c.301]

Существование инвариантных кривых 303 [c.303]

Этим и завершается доказательство нашей теоремы о существовании инвариантной кривой в случае 7=1, если не считать леммы, которая будет доказана в следующем параграфе. [c.304]

Как мы указывали уже в 1, теорема о существовании инвариантных кривых может быть применена к проблеме устойчивости эллиптической неподвижной точки, к которой мы теперь возвращаемся. Рассмотрим сохраняющее площадь отображение окрестности неподвижной точки общего эллиптического типа, которое в подходящих координатах может быть выражено в виде [c.314]

Рис. 22. Зоны существования замкнутых инвариантных кривых вблизи линии Г закрашены черным. Зоны, где возмущенное отображение имеет столько же замкнутых инвариантных кривых, сколько и невозмущенное, заштрихованы

Таким образом, гомоклиническая структура у уравнений Лоренца возникает при г = 13,92, Наличие гомоклинической структуры означает существование бесконечного множества / всевозможных седловых, в том числе и всевозможных периодических, движений. Однако при 13,92 г < 24,06 они не образуют аттрактора. Это следует хотя бы из того, что инвариантные кривые [c.190]

Большой интерес представляют исследования инвариантных к напряженному состоянию функций, описывающих закон упрочнения. Здесь нет единого мнения даже о принципиальной возможности существования обобщенной кривой как физического закона. [c.288]

Если уравнение Si = О не дает вещественных формальных инвариантных кривых этого рода, то периодическое движение мы можем назвать принадлежащим к устойчивому типу. В рассмотренном выше случае общего устойчивого типа функция Г2 совпадает с с точностью до членов высшего порядка. Если а несоизмерима с 2тг, тогда как в вместе с некоторыми, но не со всеми подобными константами обращается в нуль, то никаких существенных изменений не требуется, за исключением того, что в формуле (2) член нг д заменяется на Если однако, все эти константы равны нулю, то нормальный вид (2) сохраняется с в = О, и к таким нерегулярным периодическим движениям уже невозможно применить наше прежнее рассуждение, с помощью которого мы показали существование бесконечного множества периодических движений вблизи данного. [c.217]

Замечание 20.11. Заметим, что существование бесконечного числа эллиптических островков при заданном 1 не следует из наших рассуждений. В силу последней геометрической теоремы Пуанкаре , в кольце, расположенном между инвариантными кривыми Г , существует бесконечное число неподвижных точек отображения Т (п оо) с индексом +1 (см. теорему 19.10). Однако может случиться так, что некоторые из этих точек будут не эллиптическими, а гиперболическими с отражением. Численные эксперименты , по-видимому, свидетельствуют в пользу такого вывода. [c.92]

Наиболее интересным является эллиптический случай мы ограничимся в дальнейшем рассмотрением только этого случая. В отличие от гиперболического случая для получения результатов здесь существенна нормальная форма и существенна сходимость II. Без предположения о сходимости и не удалось доказать существование инвариантного при преобразовании 5 однопараметрического семейства кривых, соответствующих упомянутым выше концентрическим окружностям, и надо полагать, что такое семейство вообще в этих условиях не существует. Все же в следующем параграфе будут еще сделаны некоторые выводы в задаче о неподвижной точке без использования нормальных форм. Мы хотим предварительно с помощью сохраняющей объем подстановки, выраженной сходящимися рядами, найти по меньшей мере некоторое приближение к нормальной форме. [c.219]

Чтобы понять, что происходит в этом дополнительном множестве, рассмотрим кривые, для которых т/2т рационально, нанример равно р/д. При т = О эти кривые состоят из неподвижных точек д-й итерации нашего отображения. При малом возмущении, однако, от этой кривой из неподвижных точек, вообще говоря, сохраняется лишь конечное множество неподвижных точек, и мы можем сказать, что эти кривые разрушаются при возмущении. Пиже мы проиллюстрируем эту ситуацию примером. Некоторые из этих неподвижных точек, существование которых следует из теоремы Биркгофа, будут общего эллиптического тина в этом случае они в свою очередь обладают окрестностями, значительная часть которых покрыта инвариантными кривыми, которые [c.316]

Таким образом, теорема Мозера об отображении (2.1) устанавливает существование бесконечного числа инвариантных кривых, лежащих в кольце О < а р fe. Этими инвариантными кривыми кольцо О С а < р < разбивается на бесконечное число колец, отображающихся при помощи (2.1) на себя, и, следовательно, образы всех точек, лежащих внутри этих колец, ограничиваются при всех итерациях отображения (2.1). Для дальнейшего полезно отметить, что условие теоремы Мозера о пересечении кривой и ее образа, очевидно, выполнено, если отображение (2.1) сохраняет площадь. [c.58]

Прообразом семейства характеристик на поверхности 2 на плоскости параметров и, д) является семейство кривых / и, д, ф) = 0. При а X X. а Ф О касание инвариантно на плоскости (и, ) и на а и, ). Поэтому достаточный признак существования огибающей Z) на 2 является одновременно достаточным признаком существования огибающей семейства характеристик в плоскости и, 0). При геометрических построениях целесообразно вместо D построить ее прообраз в указанной плоскости. [c.87]

При исследовании устойчивости механических систем, описываемых каноническими уравнениями движения (в частности с гамильтонианом, периоди-134 чески зависящим от времени), существенную роль играет орбитальная устойчивость Применение предложенного А. Н. Колмогоровым метода теории возмущений позволило получить ряд результатов относительно устойчивости и неустойчивости консервативных систем, близких к интегрируемым для бесконечного промежутка времени. При этом выяснилось существенное отличие систем с числом степеней свободы ге 3 от систем с одной или двумя степенями свободы. Так называемые условно-периодические движения, соответствующие интегрируемым системам с п степенями свободы, образуют п-мерные инвариантные многообразия типа тора. Методом Колмогорова доказывается грубость таких торов — они мало видоизменяются, т. е. устойчивы при достаточно малых возмущениях. При и = 1 или п = 2 в фазовом пространстве 2п измерений устойчивые торы лежат в многообразиях 2п — 1 измерений, которые выделяются требованием постоянства энергии, как соосные торы (и = 2) или концентрические кривые п = 1). Поэтому не только траектории, первоначально лежащие на инвариантных торах, но и траектории, находящиеся между ними, остаются между этими торами. В этом случае существование торов гарантирует устойчивость системы. При га >> 3 гг-мерные торы вложены в пространство 2п — 1 измерений, которое они делить уже не могут, т. е. щели между торами сообщаются друг с другом. Поэтому траектория, начинающаяся между торами, несмотря на их устойчивость по отношению к возмущениям, может, извиваясь между торами, уйти на любое расстояние от них, т,. е. оказаться неустойчивой. Примеры, иллюстрирующие эти общие положения, приведены в докладе [c.134]

Необходимым и достаточным условием устойчивости является существование бесконечной последовательности инвариантных торообразных областей, сходящихся к данной кривой периодического движения в многообразии М состояний движения. [c.224]

В отличие от задачи с волной (см. п. 2.4в) разделение на быстрые и медленные переменные здесь невозможно. Следовательно, неприменима и резонансная теория возмущения. Фактически рассматриваемая система вообще не имеет малого параметра ), т. е. не близка к интегрируемой. В таком случае нет основания ожидать существования инвариантных кривых даже в пределе е —0. Это п было обнаружено Лансфордом и Фордом путем численного интегрирования уравнений движения ). [c.191]

Сравнивая выражения (3.2.32) и (3.2.29), мы видим, что т соответствует величина 5/2, а 7 Как и в (3.2.29), сумма в (3.2.32) сходится при т>1. Как показал Мозер (см. [374]), этого хватает для существования инвариантных торов. Если учесть, что гамильтониан (3.2.11) является интегралом соответствующего отображения [см. (3.1.27)], то отсюда можно прийти к заключению, что для существования инвариантных кривых двумерных отображений достаточно двух непрерывных производных для самого отображения или трех производных для соответствующего гамильтониана. Мозер утверждает [310], что для доказательства существования инвариантных кривых достаточно потребовать ) 5>4, и высказывает предположение, что это условие можно фактически ослабить до 5>3. Приведенные в п. 3.46 численные данные указывают на существование инвариантных кривых ) при 5 > 2, аналогичный результат был получен Чириковым [70]. Однако при 5 = 0 это уже не так (п. 3.46). С другой стороны, Тэкенс [402] построил пример, в котором нет инвариантных кривых и при 5 = 2. Таким образом, как и Мозер [310], мы можем предположить, что условия 5>3 всегда достаточно для существования инвариантных кривых ). Можно также думать, что в некоторых слу- [c.193]

Характерным признаком интранзитивного случая, в классической динамике будет, таким образом, существование инвариантных п-мерных континуумов, состоящих из целых кривых движения и составляющих лишь часть многообразия М. [c.210]

Поэтому последовательные пересечения должны лежать на некоторой инвариантной кривой, определяемой уравнением (1.2.46) с 92 = onst. Таким образом, существование интегралов движения можно определить из анализа пересечений траекторий с поверхностью Y,r- После того как существование интеграла установлено, можно исследовать локальную устойчивость и другие интересные свойства инвариантных кривых. [c.33]

Для более высокой начальной энергии Е = 0,125 наблюдается три типа траекторий простая инвариантная кривая как и при низкой энергии многопетлевая траектория, например представляющая цепочку из пяти маленьких островов, подобная изображенной на рис. 1.10, е, для которой пересечения перескакивают от одной петли к другой, и, по-види- юмy, эргодическая траектория (аналогичная изображенной на рис. 1.10, е) с пересечениями в случайных точках. Для последней траектории переменные действия не только не являются интегралами движения, но и не могут быть получены из разложений теории возмущения, С другой стороны, даже для граничной энергии (Е = 1/6) интегралы сохраняются в малых изолированных областях фазовой плоскости. Присутствие таких островов устойчивости означает существование интеграла движения вблизи первичного резонанса, связанного с частотами невозмущенных колебаний по х и у. Методы вычисления таких интегралов, а также разме- [c.66]

Приведенные выше аргументы доказывают существование носледовательности инвариантных кривых, сходящихся к неподвижной точке. Нетрудно показать, что в окрестности неподвижной точки существует несчетное множество таких кривых. В самом деле, изложенная в предыдущих двух параграфах конструкция позволяет получить инвариантную кривую для каждого и, удовлетворяющего неравенствам (2 10). В то же время но каждой такой кривой число и однозначно определяется равенством [c.315]

Теперь рассмотрим оставшиеся возможности для изменения периодического движения Г, т. е. те, при которых наруилается существование гладкого взаимно однозначного отображения секущей. Для таких изменений есть следующие возможности замкнутая кривая Г стягивается в точку, на ней появляется состояние равновесия, она уходит в бесконечность ). Замкнутая кривая может стянуться только к особой точке — состоянию равновесия — и поэтому этот случай уже был изучен при рассмотрении бифуркаций состояний равновесия. Он соответствует переходу через бифуркационную поверхность Л/, . Второй случай новый, хотя он тоже связан с бифуркацией состояния равновесия, но не был замечен, поскольку раньше рассмотрение относилось только к окрестности состояния равновесия и не выходило за ее пределы. Перейдем к его рассмотрению. Третий случай оставим без внимания ввиду очевидности связанных с ним изменений. В рассматриваемом случае при бифуркационном значении параметра имеется состояние равновесия О и фазовая кривая Г, выходящая и вновь входящая в него. Пусть это состояние равновесия простое, типа О ". Так как фазовая кривая Г выходит из О" , то она лежит на инвариантном многообразии S,,, а так как она в него еще и входит, то она принадлежит еще и многообразию S l,. Отсюда следует, что многообразия Sp и 5 пересекаются по кривой Г. Соответствующая картинка представлена на рис. 7.14. Как нетрудно понять, пересечение поверхностей S,, и не является общим случаем и при общих сколь угодно малых изменениях параметров динамической системы должйо исчезнуть. Это означае т, что в пространстве параметров этому случаю вообще не отвечают области, а, как можно обнаружить, в общем случае только некоторые поверхности на едирплцу меньшей размерности. Таким образом, исследование этой бифуркации периодического движения свелось к следующему вопросу когда фазовая кривая, идущая из простого седлового дви- [c.262]

Обработка результатов измерений ползучести достигла наибольшего прогресса в области исследований полимеров. Было установлено, что если функцию Fg изобразить графически, используя логарифмическую шкалу времени, то все кривые F [t), полученные при различных температурах и т = onst, могут быть совмещены переносом вдоль оси времени. Этот метод температурно-временной суперпозиции детально описан Дж. Ферри 33] для аморфных полимеров в высокоэластичном состоянии и для области их перехода в стеклообразное состояние. В последнее время было показано [56], что метод температурно-временной суперпозиции может быть с большим успехом использован для полимеров в текучем состоянии. Параметром, нормирующим совмещение кривых fg (О, получаемых для различных температур, служит величина т] б. Отсюда следует очень важный вывод о существовании нормированного по т] б универсального температурно-инвариантного спектра времен запаздывания полимеров в текучем состоянии. [c.103]

Условия образования гидратов представлены на фазовой диаграмме для системы фреон-12 — вода (рис. 9-6). Линия ДЕ — кривая упругости агента, незначительно измененная вследствие присутствия водяного пара. Линия АВС называется гидратной кривой для чистой воды. Левее ее находятся области I и II устойчивого существования гидратов, правее ее в областях III, IV, V гидраты не образуются и вода находится в смеси с жидким или газообразным агентом, а лед —в контакте с газом. Переход из одной области фазовой диаграммы в другую сопровождается тепловыми эффектами. Двухкомпонентная система фреои-12 — вода имеет две инвариантные точки. В верхней инвариантной точке А (ВИТ) сосуществуют четыре [c.250]

Кривая А — ВИТ — В представляет собой кривую упругости хлористого метила, незначительно измененную присутствием паров воды. Кривая О-ВИТ — С — гид-ратная кривая для чистой воды, левее которой находятся бивариантные области I и II устойчивого существования гидратов правее ее, в областях III и IV, гидраты отсутствуют. В точке ВИТ (верхней инвариантной точке) сосуществуют четыре фазы вода, твердый гидрат, жидкий и газообразный агент. Линия D представляет [c.268]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...