Критерий перекрытия резонансе

Наша ближайшая цель будет заключаться в том, чтобы найти связь между критерием перекрытия резонансов (2.10) н критерием растяжения (1.14). Для этого раскроем в явной форме выражение для К (2.8). [c.82]

Перекрытие резонансов означает объединение их стохастических слоев и разъясняет причину, по которой критерий перекрытия резонансов соответствует критерию стохастичности. [c.96]

В 4.2 было показано, что в типичной ситуации для классических систем условие стохастичности совпадает с критерием перекрытия резонансов (4.2.8), предложенным Чириковым. В тех слзгчаях, когда ширина отдельного резонанса совпадает с расстоянием до ближайшего резонанса, возникает случайное движение. Естественно рассмотреть подобную ситуацию и в квантовом случае. [c.187]

Тогда критерий перекрытия резонансов в классическом случае выглядит следующим образом если выполнено условие А(о/б(о — II 1, [c.192]

Другим важным приложением является движение заряженной частицы в магнитном и электрическом полях. Прежде всего было установлено, что магнитный момент является адиабатическим инвариантом, связанным с ларморовским вращением заряженной частицы [7]. В дальнейшем были рассмотрены адиабатические инварианты и для других степеней свободы частицы. Эта задача стимулировала развитие асимптотических разложений и техники усреднения, а также исследования Чирикова 167 ], в которых он изучал переход. между регулярным и стохастическим движением и установил первый критерий такого перехода (критерий перекрытия резонансов). В дальнейшем был проведен учет влияния высокочастотного поля вследствие его резонанса с ларморовским вращением. В результате был найден предел для высокочастотного нагрева, связанный с существованием инвариантных кривых. Родственная задача о движении частицы в намагниченной плазме под действием волны, иллюстрирующая многие из вышеупомянутых особенностей движения, используется в качестве примера для резонансной теории возмущений (гл. 2) и для определения перехода от адиабатического поведения к стохастическому (гл. 4). Другим интересным приложением теории является движение частиц в ускорителях. Именно в этой области были проведены некоторые ранние исследования поведения многомерных нелинейных систем. Уравнения Гамильтона могут быть использованы также и для описания других типов траекторий, таких, как магнитные линии или лучи в геометрической оптике. В случае аксиально симметричной тороидальной геометрии гамильтониан, описывающий магнитные линии, оказывается интегрируемым. К настоящему времени уже проведен ряд исследований по разрушению тороидальных магнитных поверхностей возмущениями, возникающими как от внешних токов, так и от самосогласованных токов удерживаемой плазмы. Подобные приложения используются ниже в качестве примеров, а также кратко обсуждаются в дополнении А. [c.17]

Слияние стохастических траекторий в единую сеть было доказано [12] для специальной нелинейной системы. В общем случае такого доказательства до сих пор нет, но известно несколько численных примеров диффузии Арнольда. С практической точки зрения возникают два основных вопроса 1) какова относительная мера стохастической компоненты в интересующей нас области фазового пространства и 2) какова скорость диффузии Арнольда для тех или иных начальных условий. Оценку размеров стохастической компоненты можно получить из критерия перекрытия резонансов (см. гл. 6). [c.72]

При доказательстве теоремы KAM [308] возмущение е приходится, вообще говоря, полагать чрезвычайно слабым. Чириков [67 ] нашел, что критическую величину возмущения можно оценить из условия перекрытия целых резонансов, изображенных на рис. 3.2, б. Численные эксперименты показали, что этот критерий дает разумную оценку для величины возмущения, при которой разрушаются последние инвариантные кривые, проходящие между этими резонансами. Используя аналитические и численные результаты с учетом дробных резонансов q — 2 и q = 3, Чириков [70 ] усовершенствовал критерий перекрытия и получил весьма точные предсказания для границы стохастичности. Критерий перекрытия резонансов и связанные с ним другие критерии перехода к стохастичности для некоторого класса типичных возмущений будут подробно рассмотрены в гл. 4. [c.195]

Приведенное выше описание показывает, как могут выглядеть отдельные эргодические компоненты стандартного ото бра-жения. При малых X инвариантные кривые Г/,я, образуют мно- жество положительной меры и поэтому Т имеет инвариантные множества положительной меры, на которых оно не эргодично. С другой стороны, при больших X численный счет и качественные соображения на физическом уровне строгости (критерий перекрытия резонансов Чирикова) показывают, что у Т есть-инвариантные множества большой меры, на которых оно обладает определенными свойствами стохастичности. Однако, соответствующего математически строгого результата не существует. [c.121]

Наконец, полезно также отметить, что критерий стохастичности (2.26) может быть получен из условия перекрытия резонансов, подобно тому, как это делалось в 7.1 для задачи Ферми — Паста — Улама. [c.136]

Первый критерий перехода к глобальной стохастичности, предложенный Чириковым [67] и позднее усовершенствованный им [70], известен сейчас как критерий перекрытия. В своей простейшей форме он постулирует, что последняя инвариантная поверхность между двумя резонансами разрушается, когда невозмущенные сепаратрисы этих резонансов касаются друг друга. Действительно, интуитивно ясно, что касание стохастических слоев, которые, как мы знаем, окружают сепаратрисы, должно приводить к разрушению всех инвариантных поверхностей в этой области. Строго говоря, критерий перекрытия не является ни необходимым, ни достаточным. С одной стороны, последняя инвариантная поверхность может разрушаться значительно раньше перекрытия рассматриваемых резонансов за счет взаимодействия других резонансов между ними. С другой стороны, возмущение может так исказить сепаратрисы, что они фактически не будут перекрываться вопреки предсказаниям по первому приближению. Фактически численное моделирование показывает, что критерий перекрытия является [c.246]

В этом параграфе, следуя работе Чирикова [70], мы получим весьма эфс )ективный количественный критерий перехода к глобальной стохастичности. Сначала, используя гамильтониан стандартного отображения, мы найдем условие касания сепаратрис целых резонансов, что приведет к простейшему критерию перекрытия /С л /4 2,47. Далее, учтем полуцелый резонанс и найдем более точное критическое значение К 1,46. Это уже гораздо ближе к численному результату [70], но все еще остается завышенным. Наконец, учтем ширину стохастического слоя вблизи сепаратрисы. (Чириков нашел, что резонансы третьей гармоники несущественны )). Для этого исследуем перекрытие вторичных резонансов вблизи сепаратрисы целого резонанса. Это может быть сделано либо путем перехода от сепаратрисного отображения ( 3.5) к новому стандартному отображению, как в п. 4.16 выше, либо путем непосредственного вычисления размера вторичных резонансов вблизи сепаратрисы, как в п. 4.36 ниже. Однако для получения точного условия перекрытия вторичных резонансов необходимо ввести те же поправки, что и для первичных и т. д. Можно ожидать, что такой процесс сходится и дает правильный ответ. Вместо проведения соответствующих довольно утомительных выкладок Чириков замыкает процедуру, вводя в отображение для вторичных резонансов некоторый корректирующий множитель ). Это позволяет согласовать аналитические и численные результаты. [c.257]

Заключение. С ростом числа степеней свободы наблюдаются две конкурирующие тенденции. С одной стороны, сетка резонансов в фазовом пространстве становится все более плотной. С другой стороны, ширина резонансов обычно уменьшается. В зависимости от поведения усредненного параметра перекрытия движение системы при N- 00 может быть как полностью стохастическим, так и полностью регулярным. Примером систем первого типа является газ Леннарда-Джонса, а второго — непрерывные системы, такие, как нелинейная струна ). Хотя строгого критерия разделения систем на эти два типа не существует, оценка перекрытия резонансов позволяет, по-видимому, сделать правдоподобные заключения о поведении системы при больших N. [c.409]

КРИТЕРИЙ ЧИРИКОВА ПЕРЕКРЫТИЯ РЕЗОНАНСОВ ДЛЯ КОНСЕРВАТИВНОГО ХАОСА [c.189]

Простое перекрытие. Простейший критерий, как видно из рис. 4.5, а, состоит в том, чтобы удвоенное значение А/ акс, вычисленное по (4.1.29), было равно расстоянию между целыми резонансами б/ = 2я, откуда [c.257]

В табл. 4.2 сравниваются различные критерии перехода от локальной к глобальной стохастичности для стандартного отображения. Критерии расположены в порядке возрастания их эффективности. Поскольку не существует полной аналитической теории перехода к стохастичности, то чем эффективнее критерий, тем более существен в нем элемент численного анализа, необходимого для получения критического значения К- Поэтому все критерии представлены также через более физическую характеристику — число вращения о = lQй для целого резонанса ), которое легко определяется как численно, так и аналитически. Тот факт, что переход к глобальной стохастичности почти точно совпадает с о = 1/6, может помочь более глубокому пониманию этого явления. Для стандартного отображения критерий ао = 1/6 приводит с помощью (4.1.31) к критическому значению параметра перекрытия [c.288]

Параметр перекрытия резонансов К был введен в 1959 г. Чириковым [74], который высказал гипотезу о том, что при условии (2.10) движение системы запутывается сложным образом в резонансах и должно быть похожим на стохастическое. Ипаче, при выполнении (2.9) движение должно быть устойчивым в соответствии с теоремой KAM, а прн 1 развивается локальная неустойчивость. Впоследствии критерий перекрытия резонансов, как критерий стохастичности, был подтвержден разнообразными численными и непосредственно экспериментальным анализами (ком. 2). [c.82]

Остановимся па некоторых обобщениях. Особенностью критерия перекрытия резонансов (2.10) является то, что для вычисления К достаточно пользоваться исследованием движения системы в окрестности только одного резонанса и в пренебрежении всеми другими. Технически такая задача достаточно просто решается, как было показано в 1.3, что делает критерий (2.10) практически очень удобным (ком. 3). Продемонстрируем это следующим образом. В правой части универсальной модели (1.5) стоит сумма эквидистантных импульсов. Разложение такой силы в ряд Фурье (2.1) имеет бесконечное число равноотстоящих на величину V гармоник с одинаковыми амплитудами. Ясно, что число гармоник может быть конечным, а амплитуды и расстояния по частоте между гармониками могут слегка варьироваться, и тем не менее критерий (2.10) сохранится. Конечно, описанная вариация задачи также позволяет построить преобразование и определить параметр растяжения, однако условие перекрытия резонансов в даннози случае быстрее приводит к цели. [c.83]

В этом месте следует сделать определенные предостережения. Как всякое качественное условие достаточно общего характера, оно имеет определенное число оговорок, которые не столь просто сформулировать. Это связано с тем, что отсзгтствие строгого вывода критерия перекрытия резонансов не дает возможности точно указать его пределы применимости. Приведем простой пример. Пусть два резонанса столь сильно перекрываются, что почти совпадают друг с другом (81т- -О, бшт- О). Тогда ясно, что мы имеем дело практически с одним резонансом, но удвоенной амплитуды, и никакой стохастичности не будет. Однако очевидно, что если резонансов не два, а УУ, и УУ > , т. е. общее число резонансов больше параметра перекрытия резонансов, то описанный эффект вырождения стохастичности отсутствует и критерий (2.10) работает. Различные особенности и уточнения критерия (2.10) содержатся в обзорах Чирикова [24, 25]. [c.86]

Рис. 5.24. Критерий перекрытия резонансов для задачи с потенциалом, имеющим много ям, на основе полуклассиче-ских методов анализа.

Во многих исследованиях критерий Чирикова (2.10) используется как очень эффективный способ обнаружения стохастичности в довольно сложных системах. Правильная физическая интуиции, которая привела к этому критерию, не основывалась на каких-либо строгих методах и ие была связана с использованием результатов эргоднческой теории. Численному анализу условия перекрытия резонансов посвящены работы [14, 15, 24, 25]. В частности, в работе [791 было исследовано появление стохастичиостп при перекрытии всего липп, двух ( ) резонансов. [c.86]

Взапмодействие нескольких резонансов возникает при их перекрытии. В классическом случае ( 4.2) перекрытие резонансов являлось одним из критериев появления стохастичности. Более сильное утверждение заключалось в том, что стохастичность возникает даже тогда, когда перекрываются всего лпшь два резонанса [25, 84]. В этом случае гамильтониан спстемы пмеет, на-нрнмер, вид [c.191]

Используя аналогичную методику, Егер и Лихтенберг [212] вычисляли размер вторичных резонансов между гармониками фазовых колебаний на основных резонансах и невозмущенными колебаниями. Они показали, что при перекрытии первичных резонансов параметр перекрытия вторичных резонансов, т. е. отношение их размера к расстоянию между ними, сравним с параметром перекрытия для первичных резонансов и по индукции это же справедливо и для резонансов более высоких порядков. При этом локальное число вращения для первичного резонанса вблизи его центра равно а = 1/4, т. е. здесь возникает вторичный резонанс четвертой гармоники. Изучение резонансной структуры со всей очевидностью показывает, что простой критерий перекрытия является слишком жестким. Численно было найдено, что когда параметр перекрытия для первичных резонансов достигает 2/3 (при этом появляется вторичный резонанс шестой гармоники), то этого достаточно,чтобы разрушить последнюю инвариантную поверхность между первичными резонансами. Такой критерий применялся для многих задач, как, например, ускорение Ферми [274] и циклотронный нагрев [212, 275]. Отметим, что усовершенствованный критерий перекрытия Чирикова также связан со вторичными резонансами, но не в центре первичного резонанса, а вблизи его сепаратрисы. Использование вторичных резонансов рассматривается в 4.3. Соответствующая техника разложения, основанная на резонансной теории возмущений, описана в 2.4. [c.247]

Фукуяма и др. [145] исследовали простой критерий перекрытия вторичных резонансов в задаче о взаимодействии частицы с волной, используя эллиптические интегралы с некоторыми упрощениями. На рис. 4.6 представлены их результаты для зависимости относительной доли г фазового пространства, где выполняется простой критерий перекрытия [параметр перекрытия (4.3.26) равен единице], от числа вращения [c.269]

В разд. 5.3 мы дадим обзор основных прогностических моделей, позволяющих предсказывать возникновение хаоса. К их числу относится критерий удвоения периода, критерий существования гомо-клииической траектории и критерий Чирикова перекрытия резонансов для консервативного хаоса, а также критерии перемежаемости я переходного хаоса. Кроме того, мы перечислим несколько частных критериев, которые были разработаны для определенных классов задач. [c.161]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...