Гамильтониан

Основной гамильтониан твердого тела. В определенном приближении твердое кристаллическое тело можно считать состоящим из отдельных самостоятельных частей — ансамблей электронов и ионов, следовательно, модель твердого тела может быть представле на как совокупность взаимодействующих между собой частиц. Основной гамильтониан, описывающий модель твердого тела, будет [c.41]

Обратим теперь внимание на выражение, стоящее в левой части этого равенства под знаком полного дифференциала. Выражение, союзное к этому, является функцией гамильтоновых переменных, обозначается буквой Н и называется функцией Гамильтона или гамильтонианом системы [c.262]

Равенство (19), полученное нами дополнительно, устанавливает важные свойства гамильтониана частные производные гамильтониана и лагранжиана по времени отличаются лишь знаком. Отсюда сразу следует, что в том случае, когда лагранжиан не зависит явно от времени, гамильтониан также не зависит явно от времени. [c.263]

Рассмотрим теперь произвольную систему, натуральную либо ненатуральную ), у которой гамильтониан не зависит явно от [c.264]

В тех случаях, когда система не консервативна, но имеет место равенство (24) i), формула (25) устанавливает интеграл уравнений движения, подобный интегралу энергии в натуральных консервативных системах. Поэтому при выполнении условия (24) гамильтониан называется обобщенной энергией, а утверждение (25) — обобщенным законом сохранения энергии. Системы, удовлетворяющие условию (24), далее называются обобщенно консервативными системами. [c.265]

Координата qj называется циклической, если лагранжиан (а значит, и гамильтониан) системы не зависит явно от этой координаты, т. е. для циклических координат имеют место равенства (3L/ 5 y = О, и поэтому уравнение Лагранжа принимает вид d dL . [c.269]

I] Р/ 9/ - Yi Р)я) а (а) -1- (а) Представив гамильтониан Н в виде (21), это можно записать так [c.277]

Обратим теперь внимание на следующую особенность интегрального инварианта Пуанкаре — Картана. Если в дифференциальных уравнениях движения —все равно в уравнениях Лагранжа или Гамильтона — время t было выделено и входило иначе, чем координаты, так как по времени велось дифференцирование, то в контурный интеграл (85) дифференциал dt входит совершенно так же, как дифференциалы dqj. Если бы мы рассматривали время как дополнительную координату <7 +i, а в качестве импульса, соответствующего зтой координате, взяли гамильтониан с обратным знаком 1), то контурный интеграл (85) можно было бы переписать так [c.296]

Для консервативных систем, когда гамильтониан совпадает с полной энергией, это означало бы, что в качестве импульса, соответствующего координате Ь, берется полная энергия с обратным знаком. [c.296]

Особенность интегрального инварианта, взятого в такой форме, состоит в том, что в подынтегральное выражение уже не входит гамильтониан, и следовательно, этот интегральный инвариант оказывается одинаковым для всех динамических систем, движущихся в произвольных потенциальных полях. Последнее утверждение имеет следующий смысл. Рассмотрим какой-либо контур, лежащий [c.297]

Если гамильтониан Н (д, р, t) и начальный контур [c.306]

Рассмотрим, далее, произвольную систему канонических уравнений Гамильтона с некоторым фиксированным гамильтонианом Н и применим к ней преобразование (ИЗ). Может случиться, что полученные уравнения окажутся уравнениями Гамильтона с некоторым гамильтонианом Н. Но может случиться и так, что уравнения, полученные в результате преобразования, уже не будут иметь вид уравнений Гамильтона. [c.312]

Разумеется, новый гамильтониан Н как функция новых переменных q, р может отличаться от старого гамильтониана Н как функции старых переменных q, р—именно поэтому речь идет [c.312]

Задано преобразование (ИЗ) и известно, что оно каноническое. Задана также гамильтонова система с гамильтонианом Н д, р, t). Определить гамильтониан H q, р, t) преобразованной системы. [c.312]

Приступим теперь к решению второй из сформулированных выше задач, т, е. задачи об определении гамильтониана Н по заданному гамильтониану Н. [c.316]

В пространстве q, p, t выберем произвольный замкнутый контур С и выпустим из него трубку прямых путей гамильтоновой системы с гамильтонианом Н. Пусть преобразования (ИЗ) переводят эту гамильтонову систему в некоторую новую систему гамильтоновых уравнений (по условию теоремы преобразование каноническое ), трубку прямых путей старой — в трубку прямых путей новой гамильтоновой системы, а замкнутый контур С — ъ замкнутый же контур С. [c.316]

Для системы с гамильтонианом Я имеет место интегральный инвариант Пуанкаре — Картана. Поэтому интеграл в правой части выписанного равенства не зависит от выбора контура С на трубке прямых путей этой системы. Значит, не зависит от выбора этого контура и интеграл в левой части равенства [c.317]

Это равенство устанавливает интегральный инвариант Пуанкаре—Картана для новой гамильтоновой системы, и в силу обратной теоремы теории интегральных инвариантов функция р, t) является гамильтонианом этой системы. Теорема доказана. [c.317]

Равенства (128) и (123) совпадают. Из этого следует, что выбор функции 5 (<7, q, t) однозначно определяет свободное преобразование (123), и равенство (127) позволяет по заданному старому гамильтониану Н определить новый гамильтониан Н. Однако определенный так гамильтониан Н является функцией смешанных переменных q, р, q, t, ибо Н зависит от q, р, t, а dS/dt является функцией от q, q, t. Чтобы найти Н как функцию только от q, р и t, надо выразить q р через новые переменные q и р. Это можно сделать при помощи равенств (128), но только в том случае, когда первые п из этих равенств можно разрешить относительно q, т. е. когда [c.319]

Наоборот, если задаются старый гамильтониан Н и новый гамильтониан Н, то равенство (127) служит для определения производящей функции S. Поэтому в случае свободных преобразований можно, задав гамильтониан непреобразованной системы и желаемый гамильтониан преобразованной системы, найти производящую функцию S и, зная ее, восстановить соответствующее каноническое преобразование. [c.319]

Новый гамильтониан Н вычисляется так [c.321]

Непосредственно видно, что любая гамильтонова система с гамильтонианом Н q, р, t) в силу этого преобразования переходит Б гамильтонову систему с гамильтонианом Я = — Н (р, q, t) [c.321]

В предыдущем параграфе было установлено, каким образом можно заданную систему с некоторым гамильтонианом Н преобразовать в другую систему с наперед заданным гамильтонианом /У —для этого надо старый и новый гамильтонианы подставить в уравнение (127), найти из него производящую функцию [c.322]

S и при помощи этой функции определить (так, как это было указано в предыдущем параграфе) преобразование, переводящее систему со старым гамильтонианом в систему, имеющую новый гамильтониан. [c.322]

Попробуем воспользоваться теперь этой возможностью, чтобы выработать единый метод, позволяющий заменить систему с некоторым гамильтонианом системой с наиболее простым возможным гамильтонианом, а именно с гамильтонианом, тождественно равным нулю. Если бы это оказалось возможным, то в новых переменных движение описывалось бы гамильтоновой системой [c.322]

В этом уравнении старый гамильтониан является функцией старых гамильтоновых переменных q, р и t. Однако, используя первую группу равенств (126), можно все р, входящие в функцию Н, заменить через dS/dq. Тогда уравнение (131) примет вид [c.323]

При изучении консервативных и обобщенно консервативных систем иногда легко найти полный интеграл уравнения в частных производных (154). Такая возможность возникает в тех случаях, когда гамильтониан Н (q, р) имеет специальный вид, допускающий разделение переменных. Будем говорить, что переменные разделяются, если полный интеграл уравнения (154) можно представить в виде [c.333]

Наличие заряженных частиц (протонов и электронов) создает иотенциальн ое силовое поле. Ядра являются центрами поля, а эле1 троны действуют в поле этих силовых центров. Пространственное расположение центров-ионов определяет конфигурацию системы (молекулы, кристалла), и гамильтониан Ниоп зависит только от расстояния между ионами т. е., [c.41]

Таким образом, у натуральной системы при стационарных преобразованиях координат в любой момент врежни гамильтониан численно совпадает с полной энергией системы. [c.264]

В частном случае обобщенно консервативной системы гамильтониан Н является интегралом уравнений движения поэтому если некоторая функция f(q, р, 4 —интеграл уравнений движения, то ее первая, вторая и т. д. частные производные по времени также являются интегралами этих уравнений. Действительно, для таких систем в силу теоремы Якоби — Пуассона (/, Я) = = onst и из условия (30) следует, что [c.269]

Непосредственно видно, что преобразование (78) удовлетворяет условиям 1° и 2°. Лагранжиан (так же как и гамильтониан) консервативной системы не зависит явно от времени, а dt = dt, т. е. функция d jdt в данном случае равна единице. Поэтому преобразование (66) заведомо не меняет вид лагранжиана (и, разумеется, гамильтониана) и из теоремы Нётер следует, что консервативная система должна иметь первый интеграл вида (69). Но в данном случае все функции qiy в силу преобразования (78) тождественно равны qj, т. е. не зависят от а, и, следовательно, производные от них по параметру а равны нулю, а д- 1да= и формула (69) принимает вид [c.290]

Непосредственно видно, что это преобразование удовлетворяет условиям 1° и 2°. Лагранжиан (а значит, и гамильтониан) системы не зависит от циклических координат, и следовательно, вид этих функций не меняется при преобразовании (79). Следовательно, в силу теоремы Нётер имеет место первый интеграл вида (69). Но при преобразовании (79) d(pjda=l, остальные d(pj/da = 0 (/ = 2,..., п) и di )/da = 0. Следовательно, в данном случае формула (69) принимает вид [c.291]

В связи с тем, что при сдвиге начала координат вдоль какой-либо оси расстояние между точками системы не меняется, не меняется и потенциальная энергия системы, а значит, и функция Лагранжа. Очевидно, преобразование (80) удовлетворяет условиям 1° и 2°. Таким образом, все условия, которые теорема Нётер накладывает на однопараметрическое семейство преобразований, выполнены. В силу этой теоремы имеет место первый интеграл (69). В данном случае все d fi/da для координат у и г, так же как и д 1да, равны нулю, а функции ф, для координат х таковы, что дц>11да—. Поэтому в формуле (69) член, содержащий гамильтониан, обращается в нуль, а оставшаяся в правой части [c.291]

Интегральный инвариант Пуанкаре — Картана. Рассмотрим динамическую систему, движущуюся в потенциальном поле и имеющую гамильтониан Н. В (2п1)-мерном расширенном фазовом пространстве q, р, t этой системы выберем произвольный замкнутый несамопересекающийся контур и выберем какую-либо точку на этом контуре, скажем, точку А. Эта точка полностью определяет систему гамильтоновых переменных q , рд и может быть принята за начальную. Тогда при заданной функции Н движение определяется однозначно и, следовательно, однозначно определяется соответствующий прямой путь в рассматриваемом расширенном фазовом пространстве. Теперь возьмем [c.294]

Благодаря тому, что гамильтониан Н вообще не входит в выражение для иннарианта Пуанкаре, этот нивариант не зависит от Н, какова бы ни была эта функция от q, р и t. В частности, она может не удовлетворять условию [c.298]

Пуанкаре установил интегральный инвариант именно в такой универсальной форме, и лишь затем Картан, рассмотрев контуры, не расположенные в плоскости ( = oBst, добавил член, содержащий гамильтониан. Поэтому интегральный инвариант (85) и носит название инварианта Пуанкаре —Картана. [c.298]

Теорема. Пусть преобразование (113) является каноническим, причем с и F q, р, t), при которых удовлетворяется тождество (114), известны. Тогда новый гамильтониан Н определяется по ста-ромуъ гамильтониану Н, если в функции [c.316]

Во всех предыдущих параграфах данной главы мы рассматривали движение системы в потенциальном поле, но не требовали, чтобы поле это было стационарным. Именно поэтому мы предполагали, что лагранжиан, гамильтониан и иные функции, встречавшиеся нам по ходу изложения, могут зависеть явно от времени. В этом смысле изложенный выше материал охватывал движения в нестационарных потенциальных полях и, в частности, движение в потенциальном поле системы, имеющей механические реономпые связи. Для случая, когда система натуральна, связи склерономны и поле стационарно, т. е. когда потенциальная функция не зависит явно от времени, выше было установлено лишь то, что гамильтониан совпадает с полной энергией системы. Отправляясь от этого факта, мы ввели понятие обобщенно консервативной системы как такой гамильтоновой системы, в которой гамильтониан не зависит явно от времени, а сам гамиль- [c.325]

Это оказывается возможным, если воспользоваться тем обстоятельством, что лаграь жиан (или гамильтониан) системы не зависит явно от времени, и поэтому из уравнений можно исключить время. Это значит, что роль времени тогда должна играть какая-либо из координат q, например, Qi. В результате интегрирования таких уравнений остальные координаты должны быть выражены как функции этой специально выделенной координаты, а их зависимость от времени вводится затем отдельно при помощи одной квадратуры, определяющей зависимость выделенной координаты <7i от t. Далее будет показано, как, используя этот прием, можно понизить порядок системы дифференциальных уравнений, описывающих движение консервативной и обобщенно консервативной систем, на два и ввести независимую квадратуру. [c.326]

Интегральные инварианты и уравнения движения консервативных и обобщенно консервативных систем. В связи с тем, что для консервативных и обобщенно консервативных систем имеет место интеграл энергии (обобщенной энергии), гамильтониан, совпадающий с энергией (обобщенной гнергией) системы, не изме- [c.326]

Записанный так интегральный инвариант Пуанкаре — Картана для консервативных систем отличается от интегрального И11ва-рианта в общем случае движения в потенциальном поле в трех отношениях во-первых, суммирование в первом члене ведется не от единицы до л, а от двух до п во-вторых, вместо гамильтониана Я в этом выражении стоит функция К, которая получилась, когда интеграл энергии (136) был разрешен относительно импульса Pi (см. выражение (138)) в-третьнх, роль t играет теперь <7i. Таким образом, воспользовавшись тем, что для консервативных и обобщенно консервативных систем гамильтониан не зависит явно от времени, мы исключили время из выражения интегрального инварианта Пуанкаре — Картана. Теперь совершенно так же, как в общих случаях движения систем в потенциальном поле из интегрального инварианта Пуанкаре — Картана следуют канонические уравнения Гамильтона, для консервативных и обобщенно консервативных систем из интегрального инварианта (139) следуют уравнения [c.328]

Классическая механика (1980) -- [ c.262 ]

Основы теоретической механики (2000) -- [ c.609 ]

Физические величины (1990) -- [ c.266 ]

Атомная физика (1989) -- [ c.193 ]

Классическая механика (1975) -- [ c.242 ]

Классическая динамика (1963) -- [ c.129 , c.192 , c.201 , c.219 , c.221 , c.226 , c.231 , c.300 , c.334 , c.337 , c.340 , c.340 , c.348 , c.348 , c.349 , c.349 , c.356 , c.356 , c.369 , c.369 , c.378 , c.378 , c.384 , c.388 , c.401 , c.405 , c.407 , c.409 , c.417 , c.426 ]

Динамика управляемых машинных агрегатов (1984) -- [ c.318 ]

Лазеры сверхкоротких световых импульсов (1986) -- [ c.43 ]

Равновесная и неравновесная статистическая механика Т.2 (1978) -- [ c.18 , c.29 ]

Динамическая оптимизация обтекания (2002) -- [ c.37 ]

Курс лекций по теоретической механике (2001) -- [ c.296 ]

Введение в нелинейную оптику Часть2 Квантофизическое рассмотрение (1979) -- [ c.80 ]

Физическая теория газовой динамики (1968) -- [ c.0 ]

Динамика твёрдого тела (2001) -- [ c.28 , c.30 , c.86 ]

Хаотические колебания (1990) -- [ c.183 ]

Теория твёрдого тела (1972) -- [ c.83 , c.141 ]

Общая теория вихрей (1998) -- [ c.25 , c.46 ]

Движение по орбитам (1981) -- [ c.216 , c.327 ]

Основные принципы классической механики и классической теории поля (1976) -- [ c.0 ]

Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля (0) -- [ c.14 ]

Акустика слоистых сред (1989) -- [ c.353 , c.356 ]

Статистическая механика (0) -- [ c.14 , c.15 ]

Теоретическая механика (1981) -- [ c.286 ]

Лазерное дистанционное зондирование (1987) -- [ c.74 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...