Отображение гамильтониан

Перейдем к доказательству теоремы 1. Выполним каноническое преобразование ж, у — х, у по формулам у = В ) у, х = Вх, где В — целочисленная унимодулярная матрица. В новых переменных гамильтониан Но + Нх будет иметь тот же вид, а множество Д перейдет в множество Д = ш , т = ( ) m. Целочисленные векторы ш преобразуются так же, как и импульсы у, поэтому выполнение условия интегрируемости (5.3) можно проверять в исходных переменных. Действительно, пусть а,Ь — векторы из 2", и а, Ь — их образы при отображении т — (В ) т. Тогда а, Ь У = ВАВ а, Ь ) = Аа,Ь) = а,Ь). [c.210]

Пусть D W — W — невырожденный линейный оператор, а D W — W —оператор, сопряженный с D. Отображение W х xW —у W xW, задаваемое формулами х = Dx, xj = D ) y, является каноническим. В частности, в новых переменных х[,.. , у[.....уравнения Гамильтона (4.3) будут снова иметь канонический вид с тем же гамильтонианом. Подходящим выбором оператора D кинетическую энергию можно привести к сумме квадратов Т = (у +. .. + у1)/2. [c.386]

Отображение Ад включается в поток оно является преобразованием за время 6л в фазовом потоке с гамильтонианом Н . [c.361]

Численный анализ движения, определяемого этим гамильтонианом, был проведен с помощью отображений Пуанкаре следующим образом. На плоскости (у, у) при х = 0 отмечались точки траектории при определенном значении энергии Н = Е. При достаточно малых Е эти точки группировались в семейство замкнутых кривых (ряс. 5.4, а), что соответствует существованию дополнительного (к энергии) интеграла движения. При >1/12 часть замкнутых кривых начинает распадаться. На рис. 5.4, б приведены отображения траекторий при = 0,125. Часть траекторий становится стохастической, а область островков устойчивости еще достаточно велика. С дальнейшем увеличением Е [c.96]

Выражения (1.8) и (1.23) решают задачу о построении квантовых отображений для гамильтонианов типа (1.17). То обстоятельство, что в качестве начального состояния было выбрано когерентное состояние, не является существенным. Действительно, любое другое начальное состояние может быть разложено по базису когерентных состояний в силу полноты этого базиса. [c.183]

Ускорение Ферми. Как уже было отмечено в 1.2, существует тесная связь между гамильтоновыми системами с двумя степенями свободы и сохраняющими площадь отображениями двумерной поверхности на себя. Преобразование, задающее последовательные пересечения траектории с некоторой поверхностью, является именно таким отображением. И обратно, динамическую систему, заданную отображением, можно описать и гамильтонианом, который получается разложением отображения в ряд Фурье ). [c.68]

Отметим, что гамильтониан Н этой системы с одной степенью свободы явно зависит от времени ). Описанный метод легко обобщается и на случай явного отображения поворота с N степенями свободы. Мы используем гамильтониан (3.1.35) для отображения Улама в 3.4. [c.184]

Произведение инволюций. Существует важный класс отображений, периодические точки которых можно найти из уравнения с одним неизвестным. Если отображение (или соответствующий гамильтониан) обладает симметрией определенного типа, то его можно представить в виде произведения двух инволюций [104, 166] [c.213]

Гамильтониан. Аналогично отображению Улама (п. 3.4д) гамильтониан стандартного отображения получается с помощью периодической б-функции и имеет вид [c.255]

В этом параграфе, следуя работе Чирикова [70], мы получим весьма эфс )ективный количественный критерий перехода к глобальной стохастичности. Сначала, используя гамильтониан стандартного отображения, мы найдем условие касания сепаратрис целых резонансов, что приведет к простейшему критерию перекрытия /С л /4 2,47. Далее, учтем полуцелый резонанс и найдем более точное критическое значение К 1,46. Это уже гораздо ближе к численному результату [70], но все еще остается завышенным. Наконец, учтем ширину стохастического слоя вблизи сепаратрисы. (Чириков нашел, что резонансы третьей гармоники несущественны )). Для этого исследуем перекрытие вторичных резонансов вблизи сепаратрисы целого резонанса. Это может быть сделано либо путем перехода от сепаратрисного отображения ( 3.5) к новому стандартному отображению, как в п. 4.16 выше, либо путем непосредственного вычисления размера вторичных резонансов вблизи сепаратрисы, как в п. 4.36 ниже. Однако для получения точного условия перекрытия вторичных резонансов необходимо ввести те же поправки, что и для первичных и т. д. Можно ожидать, что такой процесс сходится и дает правильный ответ. Вместо проведения соответствующих довольно утомительных выкладок Чириков замыкает процедуру, вводя в отображение для вторичных резонансов некоторый корректирующий множитель ). Это позволяет согласовать аналитические и численные результаты. [c.257]

Численные исследования структуры вторичных резонансов стандартного отображения отсутствуют. Однако они проделаны для большого числа гамильтонианов с двумя степенями свободы, поверхность сечения Пуанкаре которых похожа на фазовую плоскость стандартного отображения. Примером является задача о движении частицы в магнитном поле и поле косой волны [383, 385] (см. п. 2.26). Соответствующий гамильтониан в системе отсчета волны имеет вид [см. (2.2.67) ] [c.266]

Найдем прежде всего гамильтониан для отображения (6.1.12). Как и в п. 3.1в, преобразуем разностные уравнения (6.1.12) в дифференциальные с помощью б-функции. В результате получаем неавтономный гамильтониан с двумя степенями свободы [c.354]

Хотя локальный коэффициент диффузии представляет некоторый интерес и сам по себе, более важно знать среднюю скорость диффузии. Ее можно найти следующим образом. Если пренебречь диффузией вне резонанса (ср. п. 5.56) ), то средняя скорость диффузии пропорциональна доле времени, проводимого траекторией внутри резонанса, которая в свою очередь пропорциональна фазовой площади, занимаемой резонансом. Используя гамильтониан (6.3.29) и учитывая периодичность исходного отображения (6.3.21) по /, получаем для относительной фазовой площади резонанса [c.385]

В частном случае конформного отображения заданной односвязной области на единичный круг гамильтониан и уравнения движения имеют вид [c.166]

Типичным примером может служить модель Ван Хова. В пределе при р(к)->-1 полный гамильтониан Я(р(к) = 1) нельзя интерпретировать как оператор, действующий в пространстве Фока. Но (в этом и проявляется преимущество алгебраической формулировки модели) предел отображения а<(р), определенного нами выще, при р(к)->-1 существует в том смысле, что оператор = + — , р,)/, где р,(к) = 1, является вполне определенным элементом алгебры Я, поскольку условие существования предела сводится к неравенству [c.39]

Ур-ние Эйлера (для твёрдого тела). Если действие группы Ли G на С. м. М сохраняет симплектич. структуру, то алгебра М G-иввариантных ф-ций ва М замкнута относительно скобки Пуассона. Рассматривая М как алгебру ф-цнй на многообразия А, получаем разбиение А на симплектич. слои, а также проекцию М -> А, сохраняющую скобки Пуассона. На этой конструкции основано понижение порядка симметричных гамильтоновых систем траектории на М б-инвариант-ного поля Проектируются в траектории гамильтонова потока на слоях в. 4 с гамильтонианом И . Таким способом возникает, напр., ур-ние Эйлера, т = [тш], описывающее эволюцию вектора момента импульса во внутр. координатах твёрдого тела при его свободном вращении. Здесь G — группа вращений М = T G — её кокасательное расслоение, действие G на М зада-ётся сдвигами на группе, а проекция М А = MiG совпадает с отображением момента T G —> ф в двой- [c.522]

При доказательстве теорем существования используют принцип сжатых отображений для исследования сходимости ряда по норме [48] и его модификации — метод мажорантных рядов Коши [146] или метод аппроксимирующих гамильтонианов [200]. Сущность этих методов состоит в том, что удается получить решение в конечном виде, мажорирующее ряд (28.7). Выбор мажоранты определяется конкретными особенностями гамильтониана. [c.304]

Следствие. Симплектизация векторных полей является изоморфным отображением алгебры Ли контактных векторных полей на алгебру Ли всех локально гамильтоновых векторных полей с однородными гамильтонианами степени 1. [c.328]

Итак, по симплектическому действию труппы Ли С с однозначными на М гамильтонианами можно построить линейное отображение алгебры Ли группы С в алгебру Ли функций Гамильтона на М. При этом коммутатору двух элементов алгебры Ли сопоставляется функцияь], равная скобке Пуассона На, Н ) или же отличающаяся от этой скобки Пуассона на постоянную [c.338]

Гамильтониан взаимодействующих фононов. Раснадные спектры. Построение дискретного отображения. Условие устойчивости и условие стохастичности. Роль числа степеней свободы. Энтропия Колмогорова в многомерной системе [c.127]

Гамильтониан (2.16) приводит, согласно (2.13), к следующему отображению между двумя последовательными действиями б-функционных толчков [c.131]

Рассмотрим уравнения (2.15), которые задают квантовое Т-отображение для гейзенберговских операторов а Ш., аШ системы с гамильтонианом (2.9). Будем читать для определенности, что невозмущепный гампльтониан Но имеет форму (3.19). Тогда гамильтониан (2.9) с учетом (2.7) приобретает вид [c.171]

Неподвижная точка такого вида называется кратнгям (в нашем случае трехкратным) седлом. Поток, подобный этому, может быть получен как гамильтонов поток ро, индуцированный гамильтонианом Н х, у) = = ху х +у) х — у). Чтобы определить индекс нуля с помощью чертежа, обойдем единичную окружность в положительном направлении (О), следя за направлением касательного к потоку вектора. Чтобы найти степень этого отображения V. 5 —> 5, заметим, что V монотонно, и перечислим некоторое количество его значений, обозначая угол на 5 через 9 [c.329]

Следствие 1. Пусть гамильтониан Н и поверхности потери гладкости Пг= Р(=0 гладко зависят от параметра е Н=Н , Пг = П при е=0 существует последовательность попарно непересекающихся п—2)-мерных областей В, 1>тоСг Я°=/1 П(иП ), таких, что каждая пара В, В2 В2, Вз,. .. Вт, В удовлетворяет условиям леммы, причем 1,. .., От — диффеоморфизмы. Предположим также, что отображение От°... ОйВ - Вх интегрируемо и невырожденно, т. е. в некоторых координатах I, фmod2я на В1 оно имеет вид [c.153]

Отображения, сохраняюш,ие плои адь. Рассмотрим малое возмущение интегрируемой системы с двумя степенями свободы. При этом гамильтониан зависит от угловых переменных [c.180]

Сравнивая выражения (3.2.32) и (3.2.29), мы видим, что т соответствует величина 5/2, а 7 Как и в (3.2.29), сумма в (3.2.32) сходится при т>1. Как показал Мозер (см. [374]), этого хватает для существования инвариантных торов. Если учесть, что гамильтониан (3.2.11) является интегралом соответствующего отображения [см. (3.1.27)], то отсюда можно прийти к заключению, что для существования инвариантных кривых двумерных отображений достаточно двух непрерывных производных для самого отображения или трех производных для соответствующего гамильтониана. Мозер утверждает [310], что для доказательства существования инвариантных кривых достаточно потребовать ) 5>4, и высказывает предположение, что это условие можно фактически ослабить до 5>3. Приведенные в п. 3.46 численные данные указывают на существование инвариантных кривых ) при 5 > 2, аналогичный результат был получен Чириковым [70]. Однако при 5 = 0 это уже не так (п. 3.46). С другой стороны, Тэкенс [402] построил пример, в котором нет инвариантных кривых и при 5 = 2. Таким образом, как и Мозер [310], мы можем предположить, что условия 5>3 всегда достаточно для существования инвариантных кривых ). Можно также думать, что в некоторых слу- [c.193]

Приводим задачу к исследованию отображения, такого, например, как стандартное отображение, или отображение Улама. В общем случае для системы с двумя степенями свободы это люжет представлять некоторые трудности. По заданному гамильтониану отображение можно получить методами теории возмущений (см. п. 3.16) или же с помощью интегрирования уравнений движения на периоде отображения. В некоторых случаях удобно использовать внутреннюю симметрию системы, как это было сделано Грином [166] в задаче Хенона—Хейлеса. [c.274]

Интегральные многообразия, области возможности движения и бифуркационные множества. Пусть (М, Я, С) — гамильтонова система с пуассоиовской группой симметрий О. Поскольку гамильтониан Н являетч я первым интегралом, то эту функцию естественно присоединить к интегралам момента Р и рассмотреть гладкое отображение энергии-момен- [c.116]

Рассмотрим для наглядности гамильтонову систему с полутора (а не двумя) степенями свободы, гамильтониан которой H(p,q,t) имеет период 2л по времени t и кординате q. Предположим, что система имеет два инвариантных тора, задаваемых соотношениями р=ро и p=pi>po- Введем отображение последования для этой системы за время 2л [c.209]

Отметим, что система на сфере, определяемая гамильтонианом (8.15), в общем случае не является интегрируемой. На рис. 53 приведен фазовый портрет отображения Пуанкаре при N = 2,П ф 0. Наличие областей стоха-стичности свидетельствует об отсутствии дополнительного аналитического первого интеграла. [c.148]

В данной статье мы рассмотрим несколько задач о движении точечных вихрей внутри и вне кругового цилиндра в наиболее общей постановке, когда циркуляция вокруг цилиндра не равна нулю. В первой части статьи выводятся гамильтоновы уравнения движения вихрей внутри и вне круговой области с циркуляцией. Здесь же приводится единственный дополнительный (наряду с гамильтонианом) интеграл движения полученных уравнений, позволяющий полностью проинтегрировать задачу двух вихрей. Во второй части статьи для полученных уравнений движения рассматриваются аналоги томсоновских конфигураций вихрей, представляющие собой полигональные конфигураций вихрей равных интенсивностей. Для них получены аналитические условия устойчивости в зависимости от числа вихрей и отношения радиусов конфигурации и цилиндра. В третьей части статьи рассматривается движение точечных вихрей вблизи кругового цилиндра в набегающем потоке. С помощью численного исследования отображения Пуанкаре показана неинтегрируемость уравнений движения двух вихрей в потоке. Описано также решение Фёппля и условия его устойчивости. [c.416]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...