Линейные гидродинамические уравнения

Линейные гидродинамические уравнения. Рассмотрим теперь другой важный класс линейных уравнений переноса, а именно, — линейные гидродинамические процессы. Исторически гидродинамика развивалась как наука о макроскопических движениях в газах и жидкостях. Феноменологическая гидродинамика основана на локальных законах сохранения массы, энергии и импульса, а также на равновесных термодинамических соотношениях, которые применяются к малым, но макроскопическим объемам среды ). В настоящее время термин гидродинамика используется в более широком смысле, так как многие процессы в самых различных системах описываются уравнениями, структура которых аналогична уравнениям гидродинамического переноса в жидкостях и газах. [c.390]

Из параметров, характеризующих самую жидкость, в гидродинамические уравнения (уравнение Навье — Стокса) входит только кинематическая вязкость v = ii/p неизвестными же функциями, которые должны быть определены решением уравнений, являются при этом скорость V и отношение р/р давления р к постоянной р. Кроме того, течение жидкости зависит посредством граничных условий от формы и размеров движущегося в жидкости тела и от его скорости. Поскольку форма тела считается заданной, то его геометрические свойства определяются всего одним каким-нибудь линейным размером, который мы обозначим посредством I. Скорость же натекающего потока пусть будет и. [c.87]

Допустим, что линейная гидродинамическая задача устойчива. Тогда уравнение энергии (3.58) в линейном случае Я = О, = О имеет устойчивое решение, если 9/j°Pe + 22 , <25. Значит, при прочих равных условиях, тепловая устойчивость либо неустойчивость зависят не от монотонной функции а от ее производной dq ldT. Для источника массы при [c.110]

Возникает вопрос, имеют ли вообще гидродинамические силы большое значение при возникающих в кипящих жидкостях перегревах, даже в начальной стадии процесса роста пузыря. Ответить на этот вопрос можно, лишь проведя исследование относительно того, влечет ли за собой пренебрежение гидродинамическими силами появление больших начальных скоростей роста для пузырей малого радиуса. Точнее говоря, пренебрежение гидродинамическими силами эквивалентно предположению об исчезновении сил инерции в жидкости. Имеет ли такое допущение своим следствием появление больших или бесконечных скоростей роста пузыря Если дело обстоит иначе (впоследствии будет показано, что это действительно так) и если пузырь растет медленно даже при пренебрежении гидродинамическими силами, то, следовательно, в этом случае гидродинамические силы существенной роли не играют. Пока разность (г—1) <С 1, необходимо учитывать только линейный член уравнения (11) это дает следующее соотношение [c.219]

Эти соотношения указывают на то, что и при линейном уравнении состояния среды все-таки нелинейные искажения, обусловленные нелинейностью остальных гидродинамических уравнений, имеют место эти искажения естественно меньше, чем в случае адиабатического распространения звука. Подчеркнем здесь еще раз, что основными причинами нелинейных искажений волны являются, во-первых, нелинейность адиабаты, приводящая к тому, что местная скорость звука по (2.32) отличается от скорости звука в невозмущенной среде, и, во-вторых, нелинейность остальных гидродинамических уравнений (эту вторую причину нелинейных искажений иногда вслед за Лайтхиллом называют конвекцией звука). В газах конвекция звука вносит несколько больший вклад в нелинейные искажения, чем в жидкостях. [c.64]

При обсуждении формализма функций памяти мы отметили, что в рамках теории линейной реакции уравнения (5.3.16) и (5.3.18) являются точными и, кроме того, они справедливы для произвольного набора базисных динамических переменных. Мы теперь применим эти уравнения к анализу линейных кинетических и гидродинамических процессов. Хотя по своей сути формализм функций памяти предназначен лишь для исследования состояний, которые близки к тепловому равновесию, в этой области он имеет преимущества перед стандартной кинетической теорией и гидродинамикой. Во-первых, многие аспекты теории переноса удается исследовать на строгом уровне, в отличие от сильно неравновесных ситуаций, где приходится использовать разложения по малой плотности (в кинетической теории) или по градиентам (в гидродинамике). Во-вторых, функции памяти, через которые выражаются линеаризованные интегралы столкновений и коэффициенты переноса, можно, в принципе, вычислить методами равновесной статистической механики. [c.386]

Поскольку фурье-компоненты j q являются интегралами движения для данной системы, то средние значения медленно изменяются со временем, если волновые векторы к достаточно малы. Мы выберем динамические переменные с к / О в качестве базисных и выведем для средних значений систему уравнений переноса, которые и описывают линейные гидродинамические процессы в широком смысле. [c.391]

Уравнение диффузии. Рассмотрим более подробно диффузию как простой пример линейных гидродинамических процессов. Мы предположим, что система содержит примесные частицы и ее неравновесное состояние характеризуется неоднородным распределением примесей, в то время как другие макроскопические параметры (температура, давление и т. д.) имеют равновесные значения. Такое предположение вполне соответствует условиям реальных экспериментов, поскольку диффузия, как правило, является относительно медленным неравновесным процессом. [c.393]

Это уравнение встречается также в других областях физики, в частности, в электростатике — в учении об электростатическом потенциале, где оно выполняется в таких местах поля, в которых отсутствуют заряды и диэлектрическая постоянная имеет постоянное значение. Поэтому при решении гидродинамических задач могут быть непосредственно использованы решения уравнения (41), известные из электростатики, например, решения для точечного заряда, для диполя и т. д. Для практических приложений важное значение имеет следующее свойство уравнения Лапласа сумма или разность двух его решений также является решением, что непосредственно следует из линейности этого уравнения. При таком наложении двух потенциалов скорости складываются по закону параллелограма. Заметим, что уравнение Лапласа выполняется также для течения вязкой жидкости между двумя параллельными [c.91]

Эволюционное уравнение переноса энтропии многокомпонентной газовой смеси. Для того, чтобы можно было воспользоваться линейными соотношениями Онзагера (2.2.1), вначале необходимо найти конкретную форму уравнения баланса энтропии (2.2.5) для рассматриваемой модели многокомпонентной термодинамической системы. Исключая для этого с помощью гидродинамических уравнений смеси (2.1.6), (2.1.7) и (2.1.40) для величин е, V, 2 [c.90]

Этот поучительный пример хаотического потока возник из гидродинамических уравнений, описывающих конвекцию Рэлея—Бенара. Слой жидкости конечной толщины подогревается снизу таким образом, что между верхней холодной и нижней горячей поверхностями поддерживается постоянная разность температур. Движение жидкости описывается уравнением Навье—Стокса. Предполагая поток двумерным, его можно охарактеризовать двумя переменными функцией тока г ) и отклонением В распределения температуры от стационарного (линейного по вертикали). [c.76]

Ограниченность и несовершенство этих двух несвязанных точек зрения на один и тот же предмет изучения особенно четко проявились в 1860 г., когда Риман отыскал точное решение одномерной системы гидродинамических уравнений для идеальной среды в виде простых волн [24]. Оказалось, что профиль сколь угодно малого, но конечного возмущения ведет себя не так, как предсказывают уравнения линейной акустики. Области сжатия движутся быстрее областей разрежения. Происходит необратимое накапливающееся нелинейное искажение профиля волны вплоть до появления неоднозначности, после чего решение становится физически бессмысленным. [c.7]

Перейдем теперь к выводу полной системы гидродинамических уравнений. Указанные уравнения можно получить. исходя из законов сохранения, как это было сделано выше при выводе уравнений двухскоростной гидродинамики. Начнем с уравнения, определяющего функцию ф. Исходим из предположения, что состояние системы определяется заданием величины тр (так же как и других термодинамических величин), т. е. что гр удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению по I. По аналогии с квантовой механикой пишем [c.102]

Члены с N и в уравнениях движения выражают собой релаксационные процессы, возникающие вследствие термодинамической неравновесности среды эта неравновесность в свою очередь связана с отличными от нуля h и Vnt- В обычном гидродинамическом приближении неравновесность предполагается слабой, т. е. величины h, Ojh — в определенном смысле малыми. Тогда lk является их линейными функциями. [c.215]

В этих соотношениях чертой отмечены безразмерные величины проекций линейного перемещения жидкой частицы, ее скорость, величины гидродинамического давления и проекций единичных массовых сил индексом ноль — введенные в рассмотрение эталоны длин, скорости и т. д. Плотность и вязкость — величины, постоянные для несжимаемой жидкости постоянной температуры, сами по себе являются характерными физическими величинами. Тогда уравнения движения и неразрывно- [c.385]

Аэро- и гидродинамическое сопротивления среды (внещние сопротивления) имеют в достаточно большом диапазоне скоростей вязкий характер — они пропорциональны скорости перемещения при колебаниях. Только такие сопротивления, т. е. сопротивления, линейно зависящие от скорости, не вызывают нелинейностей в дифференциальных уравнениях колебаний. Однако это справедливо лишь при сравнительно небольших скоростях. При больших скоростях сила сопротивления внешней среды зависит от скорости в степени выше первой, и дифференциальные уравнения колебаний получаются нелинейными. [c.68]

При малых скоростях вынужденного движения жидкости значительную роль играют гравитационные силы. Рассмотрим одну из наиболее простых задач о суперпозиции ламинарной вынужденной и естественной конвекции — стабилизированное в тепловом и гидродинамическом отношении течение в вертикальной круглой трубе. Эта задача решалась разными авторами [18—21]. Результаты совместного решения дифференциальных уравнений движения и энергии получены при условии, что физические свойства (за исключением плотности) не зависят от температуры, зависимость плотности от температуры линейная, а градиент температуры по длине — постоянный. Возможны два случая [c.219]

При отсутствии гидродинамической нагрузки (С2 = 0) разрешающее уравнение (3) становится линейным его решение и анализ для этого случая общеизвестны и рассмотрены, например, в работах [1] и [2]. [c.347]

При отсутствии гидродинамической нагрузки особая точка соответствующего линейного уравнения есть устойчивый узел, если ц 1, и устойчивый фокус, если ц,<1, что совпадает с известным анализом [2]. [c.348]

Стохастические уравнения связи. При численных исследованиях откликов от геометрических и гидродинамических факторов (по квазистационарной модели) масштабы и параметры турбулентных гидроупругих колебаний потока во входных патрубках насосов аппроксимировались линейной модифицированной моделью [c.78]

Коэффициент теплоотдачи в сущности представляет собой гидродинамическую характеристику системы, тогда как разность температур — величина, несомненно, термодинамическая. Смысл применения уравнения (1-Г) состоит в том, что в большом числе технических приложений плотность теплового потока q"o почти прямо пропорциональна ( 1—4), что обусловливает линейность соответствующего дифференциального уравнения. Мы столкнемся и со многими нелинейными задачами, когда коэффициент теплоотдачи а сам зависит от разности температур. Важно отметить, что уравнение (1-1), служащее определением а, остается при этом справедливым, однако применение коэффициента теплоотдачи в этих случаях уже не столь целесообразно. [c.19]

В гл. 6 было показано, что при гидродинамически стабилизированном течении в трубе касательное напряжение изменяется линейно от некоторого значения на стенке до нуля у оси трубы. Можно показать, что и плотность теплового потока, по крайней мере при определенных условиях, изменяется таким же образом. Тогда обе части уравнения (9-3) должны быть равны постоянной, а касательное напряжение и плотность теплового потока можно заменить их значениями на стенке [c.188]

Упомянем, что гидродинамические уравнения несжимаемой вязкий жидкости для любого стационарного осесимметричного движения, в котором скорость убывает с расстоянием как /г, могут быть сведены к одному обыкновенному линейному дифференциальному уравнению второго порядка, м. Слезкин Н. А.— Уч. зап. МГУ, 1934, вып. И Прикл. мат, и мех., 1954, [c.121]

При выводе уравнений равновесия и уравнений движения нематиков наличие у них центра инверсии не использовалось. Поэтому те же уравнения в их общем виде справедливы и для холестериков. В то же время имеется и ряд отличий. Прежде всего, меняется выражение Fa, с которым должно вычисляться, согласно определению (36,5), молекулярное поле h. Далее, наличие линейного по производным члена в свободной энергии приводит к появлению различия между изотермическими и адиабатическими значениями модуля /Са (ср. конец 36). В сформулированной в 40, 41 системе гидродинамических уравнений основными термодинамическими переменными являются плотность и энтропия. Соответственно этому должны использоваться адиабатические значения (как функции р и S) модуля упругости. [c.225]

Каждое из этих уравнений в прямой задаче теории гидродинамических решеток можно рассматривать как уравнение типа Фредгольма 2-го рода относительно неизвестной функции У (s). Это уравнение решается численно путем сведёния к системе линейных алгебраических уравнений или методом последовательных приближений, причем в каждой точке контура целесообразно использовать то из уравнений, в котором больше величина os а или sin а. [c.56]

Y = — 1 в этом случае нелинейность гидродинамических уравнений полностью компенсируется и зв5т овые возмущения не взаимодействуют, т. е. переход к линейной акустике в недиссипативной среде возможен для гипотетической среды, ибо реальные среды не имеют такого изэнтропяческого уравнения состояния. [c.38]

В линейном случае в неограниченной среде между этими модами нет никакого взаимодействия. Но если нелинейными членами в уравнениях гидродинамики пренебречь нельзя, взаимодействия между этими тремя модами возмущений имеются и возникают нелинейные явления, часть из которых была упомянута выше. Нелинейность системы гидродинамических уравнений можно интерпретировать как взаимодействия между тремя основными модами флут туаций. [c.39]

В завершение нашего анализа сверхтекучей гидродинамики сделаем несколько замечаний. Во-первых, напомним, что диссипативные члены были получены в линейном приближении по скоростям и В принципе, исключая временные производные термодинамических параметров в операторе производства энтропии с помощью нелинейных гидродинамических уравнений идеальной сверхтекучей жидкости, можно получить более общие выражения для диссипативных членов, зависящие от относительной скорости Vs — п- Феноменологический вывод подобных членов приводится, например, в уже цитированной книге Паттермана [143]. Более серьезным ограничением изложенного здесь подхода является предположение о том, что ротор скорости сверхтекучего движения V х всюду равен нулю. Это предположение становится [c.206]

В несколько иной форме формулы Грина-Кубо для коэффициентов переноса сверхтекучей бозе-жидкости были получены Хоэнбергом и Мартином [85], которые использовали метод линейной реакции. Следует, однако, отметить, что в этом методе структура гидродинамических уравнений заранее предполагается известной из феноменологической теории. [c.206]

Динамическую теорию крупномасштабных флуктуаций можно сформулировать на языке уравнений движения для гидродинамических нолей, рассматриваемых как случайные неременные. Этот подход является далеко идущим обобщением известного метода Ланжевена в теории броуновского движения [112]. Он был впервые использован Ландау и Лифшицем [23] для описания линейных гидродинамических флуктуаций вблизи равновесия, а затем применялся многими авторами к различным конкретным задачам. [c.237]

Папомним сначала метод Ландау и Лифшица в теории линейных гидродинамических флуктуаций вблизи равновесного состояния. Исходным пунктом этого метода служат обычные гидродинамические уравнения, выражающие законы сохранения массы, импульса и энергии [c.237]

Линеаризованные уравнения Ланжевена для простой жидкости, в качестве примера рассмотрим линейные гидродинамические флуктуации в неравновесной однокомнонентной жидкости. Будем исходить из стохастических уравнений (9.2.24) для локальных неременных а (г, ) = е(г, ), j (r), (г, ) . Поскольку нас интересуют лишь линейные флуктуации около детерминированного движения, в выражениях (9.2.31) и (9.2.33) затравочные коэффициенты переноса можно заменить на наблюдаемые (локально-равновесные) коэффициенты. [c.245]

Как известно Де Гроот, Мазур, 1964), в линейной неравновесной термодинамике в качестве определяющих реологическга) соотношений, которые дополняют систему гидродинамических уравнений сохранения, применяются феноменологические соотношения необратимых процессов соотношения Онзаге-ра) [c.86]

Представление (3Л) в применении к функциям ш (г), и z) или 1п г (2) на основном профиле решетки после отделения действительных и мнимых частей дает линейные интегральные уравнения относительно потенциала скорости <р, проекций иу или модуля скорости V как функций дуги профиля 8. в случае решеток из тонких профилей эти уравнения имеют указанное в 2 эффективное решение в виде квадратур для профилей произвольного вида уравнения решаются численно, путем сведения к системе линейных уравнений или последовательными приближениями. Такой способ решения прямой задачи называется обычно вихревым методом в связи с гидродинамической интерпретацией представления (3.1) при Р z) = = V z) и другим способом получения уравнений задачи в результате наложения однородного потока со скоростью иоо на поток от вихрей, распределенных по контурам профилей. Вихревой метод, как лринципиально самый простой, получил широкое распространение и применялся как для одиночных профилей (П. А. Вальтер, 1922 М. А. Лаврентьев, 1932 [c.115]

Основываясь на работе Арнольда [5] (см. также [8, Дополнение 2]), такие модели можно построить из теоретико-групповых соображений (см. [38, 190]). Подробное изложение этого вопроса содержится в Приложении 2 ( 2). Их можно вывести и из уравнений гидродинамики ме тодом Галеркина, решая задачи о движении идеальных жидкостей внутри разноосного эллипсоида. При определенных ограничениях получаются динамические системы, решения которых совпадают с точными частными решениями исходных уравнений движения. Разумеется, что такие случаи являются исключительными, поскольку, даже если базис, по которому ведется разложение, состоит из точных частных решений гидродинамических уравнений, то линейная комбинация их в силу нелинейности уравнений, вообще говоря, уже не относится к таковым (см. 1). [c.27]

Гидродинамические уравнения движения газа с учетом процессов теплопроводности и внутреннего трения содержат тепловой поток ц (диссипативная часть потока энергии ц) и тензор вязких напряжений айр (диссипативная часть потока импульса Пар). Эти уравнения приобретают реальный смысл после того, как ц и Оар выражены через градиенты температуры и скорости газа. Но обычные выражения, линейные по этим градиентам, представляют собой лишь первые члены разложения по степеням малого отношения // —длины свободного пробега к характерным размерам задачи (его называют числом (нудсенаК). Если это отношение не очень мало, может иметь смысл введение поправок, учитывающих члены следующего порядка малости по // . Такие поправки возникают как в самих уравнениях движения, так и в граничных условиях к ним на поверхности обтекаемых газом тел. [c.67]

Изучим м( тод Чепмена—Энскога на примере решгния этого уравнения. Введем характерные масштабы процессов. Пусть Тг — характерное гидродинамическое времн течения — характерная длина dgl, — характерные линейные размеры упругого и неупругого столкновения соответственно. Вообще говоря, скорости упругих и неупругих процессов могут различаться, что приводит к целому спектру характерных масштабов Однако мы будем предполагать здесь, что неупругим процессам можно сопоставить один характерный линейный масштаб Если частицы не стишком сильно различаются по массам и отсутствуют сильные внешние поля, влияющие на движение заряженных чгстиц в смеси газов, то можно использовать и один масштаб скорости V — среднюю тепловую скорость молекул. [c.104]

Явный разностный метод решения уравнений теплового и гидродинамического пограничного слоя был численно опробован при решении некоторых задач на ЦАМ БЭСМ-2М. В расчетах производилось варьирование величинами [х, Я, Q, Moo, причем динамическая вязкость fj, полагалась линейной функцией температуры, а плотность q — обратно пропорциональной температуре. Численное опробование показало, что необходимые условия сходимости (19), (20) близки к до- [c.155]

Когда давление р герметизируемой полости достигнет величины толщина пленки при обратном ходе контртела становится менее высоты неровностей его поверхности. Это означает, что практически жидкость перестает поступать в герметизируемую -полость, и уплотнение при обратном ходе как бы соскабливает пленку жидкости, выносимую при прямом ходе. При этом гидродинамическая смазка сменяется граничной и соответственно меняются зависимости утечек и трения от давления. Вместо параболы по уравнению (115) дальнейший рост утечек с давлением имеет линейный характер. На величину утечек существенно влияет состояние поверхности контртела. На рис. 115 показаны графики утечки через уплотнение кольцом круглого сечения (d = 4 мм] D = 50 мм р = 250 кПсм масло АМГ-10) в зависимости от класса обработки шлифованного или вибро-обкатанного штока, показывающие снижение утечек при повышении класса чистоты обработки до у9—VlO. Подводя итог вышеизложенному, констатируем существование нескольких режимов работы уплотнений с различными механизмами трения и утечки. На рис. 116 режимы I—IV схематично показаны графиками [c.233]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...