Оператор производства энтропии

В этом параграфе мы получили два представления (2.3.10) и (2.3.72) для неравновесного статистического распределения. Возникает естественный вопрос — эквивалентны ли они друг другу Этот вопрос подробно обсуждается в приложении 2Д. Здесь мы докажем эквивалентность двух представлений, предполагая для простоты, что потоки Pjn базисных переменных — малые величины и поэтому достаточно найти статистическое распределение (2.3.72) в первом приближении по оператору производства энтропии. Мы рассмотрим более общее квантовое описание, когда оператор энтропии не коммутирует с интегральным членом в (2.3.63). [c.117]

Чтобы найти распределение(2.3.72) в линейном приближении по оператору производства энтропии, воспользуемся тождеством, которое доказано в приложении 2Б [c.117]

Если подставить это выражение в (2.3.74), то в первом приближении по потокам базисных переменных оператор производства энтропии запишется в виде [c.118]

ЯСНО, что они тоже являются величинами второго порядка. В дальнейшем мы ограничимся членами второго порядка в выражении для скорости реакции (2.5.57). Тогда сам неравновесный статистический оператор достаточно найти в первом приближении по малому параметру. Это означает, что в операторе производства энтропии (2.3.74) можно пренебречь производными химических потенциалов по времени и использовать более простое выражение [c.146]

Теперь оператор производства энтропии (2.5.64) нужно подставить в выражение (2.3.72) для неравновесного статистического оператора. Чтобы найти среднюю скорость реакции во втором приближении по малому параметру, в неравновесном статистическом операторе следует оставить только члены, линейные по оператору производства энтропии. Заметим также, что мы можем положить = A t) поскольку химическое сродство зависит от времени только через медленные переменные — химические потенциалы Далее, эволюция в интегральном члене выражения (2.3.77) должна описываться оператором Лиувилля L , т. е. гамильтонианом Я , куда не входит возмущение (2.5.51). И, наконец, в квазиравновесном статистическом операторе (2.5.58) полный гамильтониан следует заменить оператором Я , чтобы приближение было самосогласованным ). С учетом всех этих замечаний средняя скорость реакции должна вычисляться со статистическим оператором [c.146]

Очевидно, что оператор производства энтропии (7.1.12) равен нулю, если подсистемы не взаимодействуют друг с другом. [c.92]

Остается вычислить только последние члены в уравнениях (7.1.14). Из выражения (7.1.10) ясно, что отклонение неравновесного статистического оператора от квази-равновесного определяется интегралом, который линеен по гамильтониану взаимодействия Н. Отсюда следует, что правые части уравнений (7.1.14) имеют, по крайней мере, второй порядок по Н. Отбрасывая в уравнениях баланса поправки более высокого порядка, мы можем линеаризовать статистический оператор (7.1.10) по интегральному члену. В этом приближении можно также пренебречь производными по времени (t) и / 2( ) операторе производства энтропии (7.1.12), так как они дают в выражение для потока энергии вклад второго порядка ). Итак, в первом приближении по взаимодействию, неравновесный статистический оператор (7.1.10) имеет вид [c.93]

Производные d Hj)/dt имеют второй порядок по взаимодействию, поэтому первые два члена в операторе производства энтропии (7.1.12) малы по сравнению с последним членом, линейным по взаимодействию. [c.93]

А. Оператор производства энтропии в теории горячих электронов [c.140]

Покажем, что в первом приближении оператор производства энтропии может быть представлен в форме (7.1.74). С этой целью запишем оператор энтропии (7.1.73) в [c.140]

С помощью термодинамических соотношений дФ Ь)/dFm t) = — РтУ для оператора производства энтропии (7.1.11) получаем выражение [c.141]

Теперь оператор производства энтропии (7А.4) записывается как [c.141]

Члены в уравнениях движения (7А.5), зависящие от поля, не дают вклада в оператор производства энтропии [c.142]

Если в уравнениях баланса (7.1.71) и (7.1.72) ограничиться членами второго порядка по взаимодействию Я, то для оператора производства энтропии можно взять выражение [c.142]

Как и в случае обычной жидкости, оператор производства энтропии должен быть пропорционален градиентам термодинамических переменных. В дальнейшем будем считать, что эти градиенты малы. Тогда для неравновесного статистического оператора (8.4.79) можно взять приближенное выражение [c.201]

Оператор производства энтропии (8.4.81) нужно записать в линейном приближении по градиентам и опустить слагаемые, явно зависящие от скоростей и v . Математические выкладки приведены в приложении 8В. Здесь мы выпишем окончательное выражение [c.202]

Из структуры оператора производства энтропии (8.4.87) видно, что в гидродинамике сверхтекучести имеют место два скалярных диссипативных процесса. В нормальном состоянии жидкости вектор [см. (8.4.56)] равен нулю, и, следовательно, остается только один скалярный процесс. [c.203]

Тогда, используя еще раз формулу (8.4.97) и вспоминая явное выражение (8.4.87) для оператора производства энтропии, получаем [c.206]

В. Оператор производства энтропии для сверхтекучей жидкости [c.212]

Рассмотрим преобразования, приводящие оператор производства энтропии (8.4.81) к более простому виду (8.4.87). Напомним, что градиенты термодинамических величин а также скорости и считаются малыми, поэтому в операторе (8.4.81) нужно оставить только члены, которые линейны по градиентам и не зависят от скоростей. [c.212]

Займемся теперь производной dvn/dt в формуле (8В.1) для оператора производства энтропии. Чтобы записать ее через градиенты термодинамических величин, воспользуемся уравнением [c.213]

Теперь остается преобразовать последний член в операторе производства энтропии (8В.1). Из выражения (8.4.27) видно, что оператор явно зависит от времени через локально-равновесную волновую функцию конденсата = ( ) . Поэтому пишем [c.214]

Формулы (8В.5), (8В.6) и (8В.8) позволяют исключить производные по времени в операторе производства энтропии (8В.1). После этого, выполнив в последнем члене интегрирование по частям, получаем выражение (8.4.87). [c.214]

Поэтому микроскопический оператор энтропии М может не коммутировать с оператором L. Коммутатор и представляет собой ту величину, которая может быть названа микроскопическим производством энтропии . [c.149]

Прежде всего отметим, что в пределе г +0 производство энтропии не зависит от выбора базисных динамических переменных и полностью определяется вторым членом в (5А.18). Легко убедиться, что в этом случае выражение (5А. 18) получается из (5А.13) в рамках теории линейной реакции Кубо ). Для иллюстрации обратимся снова к электропроводности. Заменяя потоки Bj на проекции оператора тока а величины hj на проекции электрического поля и используя формулу Кубо (5.1.101) при а = О, из (5А.13) получим [c.399]

В заключение покажем, что в нелинейном процессе обмена энергией между подсистемами производство энтропии положительно. Согласно общему определению неравновесной термодинамической энтропии, в нашем случае она равна среднему значению оператора (7.1.9), т. е. [c.96]

Покажем, что среднее значение оператора dS t)/dt равно производству термодинамической энтропии. В самом деле, вычислив средние значения обеих частей (2.3.74) с неравновесным распределением g t) получаем [c.117]

Подставив оператор производства энтропии (8.4.87) в неравновесное распределение (8.4.82), можно, в принципе, вычислить средние значения в правых частях уравнений (8.4.61) и (8.4.62). Для не слишком быстрых процессов достаточно марковского приближения. Напомним, что обычно марковское приближение в гидродинамических уравнениях означает, что dS t 1 )/dt dS t)/dt. Иначе говоря, предполагается, что термодинамические параметры, описывающие неравновесное состояние, мало изменяются за время затухания корреляционных функций микроскопических потоков. Однако в случае сверхтекучей жидкости правило перехода к марковскому приближению нужно уточнить. Дело в том, что первый оператор в формуле (8.4.92) явно зависит от времени через локально-равновесную волновую функцию конденсата ФДг, ), которая быстро осциллирует. В приближении идеальной жидкости можно положить d4fi/dt = дф/dt)i, где локально-равновесное среднее определяется выражением (8.4.65). Опуская там все слагаемые, зависящие от и v , получаем [c.203]

В завершение нашего анализа сверхтекучей гидродинамики сделаем несколько замечаний. Во-первых, напомним, что диссипативные члены были получены в линейном приближении по скоростям и В принципе, исключая временные производные термодинамических параметров в операторе производства энтропии с помощью нелинейных гидродинамических уравнений идеальной сверхтекучей жидкости, можно получить более общие выражения для диссипативных членов, зависящие от относительной скорости Vs — п- Феноменологический вывод подобных членов приводится, например, в уже цитированной книге Паттермана [143]. Более серьезным ограничением изложенного здесь подхода является предположение о том, что ротор скорости сверхтекучего движения V х всюду равен нулю. Это предположение становится [c.206]

Система (1.36)... (1.43) записана таким образом, что в левой части каждого уравнения находятся дифференциальные операторы, а в правой — конечные выражения. В связи с этим при преобразованиях систем координат правые части этих уравнений не претерпевают изменения. Кроме того, в каждом из перечисленных уравнений в левой части содержится субстациональная производная (оператор d/dt), которая преобразуется единообразно. Эти замечания относятся и к приведенному ниже уравнению производства энтропии (1.44) и уравнению (1.45), полученному из (1.37) скалярным умножением на вектор W. Отметим, также, что формальная запись левых частей уравнений (1.36)...(1.38) одна и та же как для течений с физико-химическими превращениями, так и для течений, в которых такие превращения отсутствуют, Однако формулы для определения энтальпии h существенно различаются для этих классов течений. Очевидно также, что для течений с физико-химическими превращениями нельзя раздельно решать системы (1.36)... (1.38) и (1.39)...(1.43), поскольку они взаимосвязаны. [c.17]

Условие физической допустимости. Операторы (1.10) не могут быть произвольными. Они должны непротиворечить второму закону термодинамики, т. е. обеспечивать производство или хотя бы постоянство энтропии. В подавляющем большинстве важных случаев уравнения (1.10) указанному условию удовлетворяют автоматически. Следовательно, уравнения второго закона термодинамики не являются необходимыми для отыскания неизвестных р, р, Г, которыми [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...