Степенная зависимость в теории упругости

СТЕПЕННАЯ ЗАВИСИМОСТЬ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [c.279]

При длительном действии нагрузок в материале балок появляются деформации ползучести, которые с течением времени нарастают и могут оказаться существенно большими упругих и упругопластических деформаций. Это чаще бывает при длительном действии нагрузок в условиях повышенных температур. Наиболее простой и употребительной в этих случаях является теория установившейся ползучести, в которой пренебрегают упругими и упругопластическими деформациями, а скорость деформации ползучести связывают с действующим напряжением степенной зависимостью [c.280]

Определение зависимости между напряжением и деформацией в пластической области имеет большое теоретическое и практическое значение при проектировании конструкций, работаюш,их при знакопеременном нагружении. К настоящему времени в литературе известны в основном два подхода к решению этой задачи. Один из них базируется на феноменологических представлениях с использованием классической теории упругости и пластичности, например [1—4], другой — на статистической теории дислокаций [5, 6]. На основании статистической теории дислокаций были получены зависимости между деформацией и напряжением начальной кривой деформации, нисходящей и восходящей ветвей симметричной петли механического гистерезиса. Эти зависимости представлены в виде бесконечных степенных рядов по величине приложенного напряжения, для которого можно считать плотность дислокаций постоянной. При достаточно больших напряжениях (деформациях) экспериментальные данные показывают, что плотность дислокаций изменяется, петли механического гистерезиса несимметричны и разомкнуты. [c.159]

Использование в теории пластичности.деформационной теории, уравнения которой, в сущности, описывают нелинейную упругость, обосновано только при нагружениях, близких к простым. Можно показать, что пропорциональное возрастание внешних нагрузок — объемных f, = pFf и поверхностных /, = p/f — приводит к простому нагружению (т. е. к пропорциональному возрастанию компонентов тензора напряжений Qij = pa j), если при малых деформациях и несжимаемости материала интенсивности напряжений и деформаций связаны степенной зависимостью [c.746]

Если зависимость ё = /(ст) более сложная (отличная от степенной), то точное решение задачи в аналитической форме затруднительно. В этом случае используют методы последовательных приближений, которые совпадают с различными модификациями метода упругих решений в теории пластичности при замене в ее соотношениях деформации е ее скоростью ё (см. п. 8.7.3). Тогда при установившейся ползучести распределение напряжений в поперечном сечении балки совпадает с распределением Напряжений в упругопластической балке при законе деформирования е=/(а). [c.67]

Точнее, линейной теории упругости (зависимость деформаций от первых степеней напряжений (15) в математике называется линейной). [c.54]

Следует указать еще на одно счастливое обстоятельство в случае степенной зависимости переменные в соответствующих уравнениях нелинейной теории упругости разделяются, по крайней мере, в декартовых и полярных координатах. Это позволяет найти эффективное решение некоторых конкретных задач для рассматриваемого тела. [c.111]

И пусть особенность такова, что в пятимерном пространстве девиатора напряжений имеют место пять независимых функций Д = = 0. Пусть решение этой алгебраической системы уравнений будет равенство нулю всех пяти инвариантов (3.7). В силу независимости a j и e Pj следует, что Xij = О, т. е. согласно (3.6) имеют место соотношения теории малых упруго-пластических деформаций. При подобном обосновании соотношений теории малых упруго-пластических деформаций нет необходимости требовать пропорциональности нагружения, несжимаемости материала, степенной зависимости и т. д. [c.145]

Степенная модель принята из следующих соображений. Упругая деформация Лд и измеряемая величина в малом линейно зависят от сил резания, которые согласно теории резания представляются именно степенными моделями. Скорость размерного износа, связанная с периодом стойкости, также многочисленными исследованиями представляется степенными зависимостями. [c.477]

Основные соотношения. Расчет упрочняющихся пластин по теории пластического течения требует большой вычислительной работы. Поэтому, как правило, используют уравнения теории упруго-пласти-ческих деформаций. Для упрощения задачи принимают условие несжимаемости. Уравнения изгиба пластин при общей зависимости между интенсивностями напряжений и деформаций приведены в работе [4]. Эти зависимости существенно упрощаются для случая степенного закона [c.621]

В настоящее время конструирование и изготовление ответственных элементов конструкций из полимеров нередко ведется эмпирическими методами — путем последовательного усовершенствования опытных образцов используются также приближенные расчеты на основе теории упругости или теории ползучести, при этом нередко исходные гипотезы принимаются без достаточно экспериментального обоснования. Недостаточные знания деформационных и прочностных свойств полимерных материалов и отсутствие надежных методов расчета с учетом временной зависимости прочности в значительной степени сдерживают широкое применение их в технике. [c.18]

В смешанных задачах теории упругости, где имеются линии и точки раздела граничных условий, нельзя рассчитывать на существование гладких решений даже при весьма гладких исходных данных задачи. Возможно поэтому методы теории потенциала использовались здесь значительно реже. В плоской задаче эффективным средством анализа смешанных трехмерных краевых задач оказались методы теории функций комплексного переменного [176, 177, 208, 226, 227, 377]. Более приспособленными для исследования существенно смешанных задач оказались функциональные методы. Они дают возможность вначале доказать разрешимость основных задач в классе слабых решений, а затем установить степень гладкости решения в зависимости от исходных данных и внутренней структуры решения. [c.88]

В рамках теории малых деформаций отклонения от закона Гука нри достаточно больших деформациях приводят к перераспределению напряжений и деформаций в окрестности вершины трещины. Пусть рассматриваемый нелинейно упругий материал несжимаем и связь между напряжениями п деформациями описывается степенной зависимостью. Будем искать решение для полубесконечной трещины в неограниченной плоскости в условиях плоского напряженного состояния (или плоской деформации). Данная задача впервые была решена в работах [ ], [ [c.304]

При решении простейших задач на растяжение и сжатие мы уже встретились с необходимостью иметь некоторые исходные экспериментальные данные, на основе которых можно было бы построить теорию и внести тем самым некоторые обобщения в анализ конкретных конструкций. К числу таких исходных экспериментальных данных относится в первую очередь уже знакомый нам закон Гука. Основными характеристиками материалов при этом являются модуль упругости Е и коэффициент Пуассона р.. Понятно, что в зависимости от свойств материала эти величины меняются. В первую очередь Е и р зависят от типа материала и в некоторой степени от условий термической и механической обработки. [c.48]

Здесь I — длина трещины, АК = — амплитуда изменения коэффициента интенсивности, который определяется методами теории упругости. Для функции 1 А.К) обычно применяют степенную аппроксимацию /(A/sT) = АХ X onst. Показатель т в зависимости от материала принимает значения от т = 2 до m = 6. [c.682]

Разработка и внедрение пространственно-армированных материалов связаны не только с технологическими трудностями, но и с развитием нового раздела теории армированных сред. Поэтому в справочнике приведены и систематизированы зависимости для прогнозирования упругих свойств материалов с привлечением дополнительных структурных параметров угла искривления армирующих волокон, количества арматуры в третьем направлении, объема и степени вискери-зации, пористости матрицы. [c.3]

Для исследования напряженного состояния на поверхности раздела были разработаны аналитические методы. К ним относятся методы механики материалов, классической теории упругости и метод конечных элементов. Метод конечных элементов является наиболее универсальным и охватывает разнообразные граничные условия. Предполагаемая величина концентрации напряжений определяется условиями на поверхности раздела. Теоретические данные показывают, что концентрация касательных напряжений на концах волокон зависит от объемной доли волокна и геометрии его конца. Из этих данных также следует, что радиальное напряжение на поверхности раздела изменяется по окружности волокна и может быть растягивающим или сжимающим в зависимости от характера термических напряжений, а также от вида и направления приложенной механической нагрузки. Следовательно, в обеспечении требуемой адгезионной прочности, соответствующей конкретным конструкциям, существует определенная степень свободы. Наличие пор и влаги на поверхности раздела, так же как и повышение температуры, ослабляют адгезионную прочность, в результате чего снижаются жесткость и прочность композитов. Циклическое нагружение почти не сказывается на онижении адгезионной прочности. Показатель расслоения является критерием увеличения локальных сдвиговых деформаций в матрице и модуля сдвига композита. Этот параметр может быть использован при выборе компонентов материалов с заданной адгезионной прочностью на поверхности раздела, И наконец, следует отметить, что состояние данной области материаловедения [c.83]

Выбор области контактных давлений, охватывающей интервал Os < (/max НВ, обусловлен нреждв всего ее практической неизученностью. В настоящее время точное определение деформаций и напряжений в реальных условиях трения не представляется возможным как вследствие локальности процесса, так и из-за значительного их градиента по глубине. Аналитическое решение этой задачи, основанное на достижениях теории упругости и теории пластичности, получено соответственно только для областей упругого и пластического контактов [20, 22]. Область упругопластических деформаций пока не поддается аналитической оценке. Предложенные в Гб] критерии перехода от упругого контакта к пластическому через глубину относительного внедрения являются в достаточной степени условными, так как не учитывают сил трения. При трении, как и при статическом вдавливании индентора, до сих пор нет однозначного критерия пластичности, который указывал бы на условия наступления пластической деформации [96]. Если при одноосном нагружении пластическая деформация металла начинается при напряжениях, равных пределу текучести, то при трении вследствие сложного напряженного состояния несущая способность контакта повышается и пластическая деформация начинается при значениях q = ds, где Ts — предел текучести с — коэффициент, который в зависимости от формы индентора, упрочнения и т. д. может меняться в значительных пределах (от 1 до 10) [6, 97]. В связи с тем что структурные изменения являются комплексной характеристикой состояния поверхностного слоя, представляется целесообразным их исследование именно в унругопластической области, где они могут служить критерием степени развития пластической деформации, критерием перехода от упругого контакта к пластическому. [c.42]

Обсуждаемые в данной книге приложения будут относиться к случаю упругого материала, для которого зависимости напряжения от деформаций выражаются хорошо известным и относительно. простым законом Гука, который будет формально выписан в 3.1 при обсуждении задач, теории упругости. Реальные материалы не следуют этому закону в точности. Некоторые, подобно чугуну, обладают слабо, нелинейной зависимостью напряжения от деформаций. Но даже те, у которых на первый взгляд эта зависимость линейна вплоть до предела упругости, демонстрируют едва заметное различие в поведении при нагружении и разгрузке (упругий гистерезис, который имеет, по-видимому, существенное значение в связи с усталостью материалов) при этом обнаруживаются и температурные эффекты, проявляющиеся в различии температурных постоянных при изотермическом (при очень медленном изменении деформаций) и адиабатическом (при очень быстром изменении деформаций) нагружении, они до некоторой степени аналогичны электростатическим эффектам. Подобные отклйнения от закона Гука, как правило, не важны для практических задач и не будут рассматриваться здесь. [c.28]

Получено точное решение плоской задачи теории упругости о полосе с произвольной неоднородностью по одной координате при различных граничных условиях и на этих примерах выясняется вопрос о точности теории нулевого приближения. Рассматриваются произвольные регулярные слоистые структуры, для которых в явном виде выписываются эффективные характеристики. Как частный случай таких структур рассматривается слоистый пустотелый цилиндр. На примере задачи Гадолина (о слоистой трубе под давлением) оценивается зависимость теории нулевого приближения (а также первого и второго) от числа ячеек периодичности. На примере неосесимметричной задачи о трубе под действием локальных нагрузок выясняется характер зависимости точности теории нулевого приближения от степени локализации нагрузки. По теории нулевого приближения подсчитываются на- [c.143]

В конце XIX века устрашающие предсказания Баха, Мемке и других по поводу продолжавшегося использования линейной теории упругости в технике не смогли остановить тех, кто принимал участие в фантастическом росте огромного промышленного комплекса XX века, от использования линейного приближения в инженерных расчетах, соответствовавших малым деформациям. С точки зрения экспериментальной физики сплошной среды, однако, точно так же как и с позиций усилий по согласованию микроскопических и макроскопических концепций в терминах атомной физики, а, возможно, также и с точки зрения техники XXI века сохранение нелинейности вплоть до нулевого напряжения имеет немаловажное значение. Баху принадлежит, по-видимому, единственное изложение сопротивления материалов для инженеров, основанное на нелинейной зависимости между напряжением и деформацией. Его Упругость и прочность (Ba h [1902,1]), выдержавшая шесть изданий между 1889 и 19J1 гг., содержала большой раздел, основанный на его степенном законе ). [c.164]

Грюнайзена, значение этой работы состоит в том, что в ней Грю-найзен впервые рассмотрел круг вопросов, которые в свете обнаруженных противоречий должны были стимулировать более тщательный анализ и эксперимент. Что такого анализа и экспериментов не последовало, в большой степени обусловлено тем, что в течение следующих шестидесяти лет у физиков-экспериментаторов, либо интересовавшихся анизотропией и фотоупругостью, либо определявших зависимость от температуры постоянных упругости кристаллических тел с помощью ультразвука и т. п., не возникало серьезных вопросов по поводу применимости линейной теории упругости, которая лежит в основе интерпретации экспериментальных данных. [c.482]

В условиях практики обычно имеет место изгиб по сравнительно большому радиусу (г > 5s), когда применима теория линейного изгиба, и тогда изгибающий момент можно определить в более упрощенном виде. Примем, что кривая — эпюра распределения напряжений как в верхней части полосы, так и в нижней относительно нейтрального слоя напряжений имеет такой же вид, как и кривая растяжения при статическом испытании образца с учетом также и упрочнения металла по линейной аппроксимации или по степенной зависимости, при этом пренебрегая ввиду незначительной величины упругим участком кривой, составляющим неболее 1%. На рис. 56 показана подобная эпюра по прямой (а) и по кривой (б) упрочнения. [c.126]

Нелинейные эффекты при движении однородной жидкости. Экспериментальные исследования образцов насыщенных горных пород (Д. А. Антонов, 1957 Н- С. Гудок и М. М. Кусаков, 1958 Д. В. Кутовая, 1962 В. М. Добрынин, 1965) выявили существенно нелинейный характер зависимости деформаций скелета сцементированной породы (и ее пористости) от больших изменений напряженного состояния. Известны попытки учета нелинейного характера пористости в уравнении пьезопроводности (А. Н. Хованский, 1953). Однако определяющие отклонения от линейной теории упругого режима связаны с изменениями проницаемости, сопутствующими указанным деформациям. Эти изменения проницаемости особенно велики в трещиновато-пористых средах. В связи с этим была развита схема нелинейно-упругого режима фильтрации, учитывающая отклонения от линейной связи пористость — пластовое давление и сопутствующие изменения проницаемости. При этом сначала (А. Бан, К. С. Басниев и В. Н. Николаевский, 1961) использовалось приближение экспериментальных зависимостей степенными рядами. Результирующие уравнения были выписаны и для случаев фильтрации капельной жидкости в пористых (или чисто трещиноватых) и трещиновато-пористых пластах и фильтрации газа в пористых (чисто трещиноватых) пластах. Были построены стационарные решения (А. Бан и др., 1961, 1962), соответствующим образом обобщающие формулу Дюпюи. Полученные формулы использовались для обработки индикаторных линий скважин, т. е. зависимостей дебит— пластовая депрессия , получаемых при исследовании скважин на установившийся приток (А. Бан и др., 1961 К. С. Басниев, 1964). [c.633]

При изучении вопроса о концентрации напряжений около щелей и трещин значительный интерес представляет решение смешанных задач теории упругости для неклассических областей типа полосы (слоя). В математическом отношении эти задачи очень трудны. Однако начатое около десяти лет назад систематическое исследование этого вопроса привело к созданию эффективных методов решения задач такого класса (В. М. Александров, И. И. Ворович, Н. Н. Лебедев, Я. С. Уфлянд и др.). Методами операционного исчисления эти задачи довольно легко сводятся к решению интегральных уравнений первого рода с нерегулярным ядром. Наибольший эффект в нахождении удобных для практического использования решений этих уравнений был достигнут при использовании специфичных асимптотических методов. Начало исследований вопроса равновесия трещин в полосе было положено И. А. Маркузоном (1963). В. М. Александров (1965) исследовал равновесные трещины вдоль полосы или слоя, где интегральное уравнение строится для функции, определяющей форму трещины. Им получено приближенное решение путем разложения ядра уравнения в ряд при больших отношениях толщины к размеру трещины и получены зависимости нагрузки от размеров трещины. Используя этот метод и решения уравнений Винера — Хопфа, В. М. Александров и Б. И. Сметанин (1965, 1966) получили выражение для коэффициента интенсивности напряжений на краях равновесной трещины в слое малой толщины. Для случая постоянной нагрузки определяется связь размера равновесной трещины с действующей нагрузкой. Аналогичное решение получено для дискообразной трещины в слое конечной толщины. В. М. Ентов и Р. Л. Салганик (1965) рассмотрели в балочном приближении задачу Ь полубесконечной трещине, проходящей по средней линии полосы, причем для нагрузок, приложенных к берегам трещины, задача сводится к рассмотрению расслаивания под действием нормальной или тангенциальной силы. В этой работе с помощью метода Винера — Хопфа получено выражение для коэффициента интенсивности напряжений для достаточно больших и достаточно малых значений отношения расстояния от конца трещины до точки приложения силы к полуширине полосы. Используя аналитический метод, развитый В. М. Александровым и И. И. Воровичем (1960) при исследовании контактных задач для слоя большой относительной толщины, Б. И. Сметанин (1968) рассмотрел задачу о продольной щели в клине, а также плоскую и осесимметричную задачи о продольной щели в слое при различных условиях на гранях клина и слоя. Для щели, расположенной симметрично относительно граней клина (слоя), и нормальной нагрузки, приложенной к поверхности щели, получены формулы для определения поверхности щели. Коэффициент интенсивности напряжений выражается в виде асимптотического ряда по степеням безразмерного параметра. [c.383]

Задачей, допускающей эффективное точное решение, является задача о расклинивании бесконечного тела неподвижным клином. Г. И. Баренблатт (1959) получил решение такой задачи для клина постоянной толщины. В отличие от этого случая, когда положение точек схода известно, для клина с закругленной передней кромкой требуется еще определение положения точек схода поверхности трещины с клина. Г. И. Баренблатт и Г. П. Черепанов (1960) исследовали вопрос распространения трещины перед клином с малым закруглением и клином, где форма закругления задается по степенному закону. Здесь проведено исследование случая куло-нова трения, действующего на щеках клина. И. А. Маркузон (1961) сделал дальнейший шаг в исследовании проблемы расклинивания хрупких тел. Он получил зависимость длины трещины от длины клина и исследовал влияние однородных сжимающих или растягивающих напряжений на бесконечности на длину свободной трещины в задаче о расклинивании бесконечного тела клином конечной длины. Задачи расклинивания рассматривались также в работе Г. П. Черепанова (1962) в качестве примера приложения полученного им решения одной линейной краевой задачи Римана для двух функций к смешанным задачам плоской теории упругости. [c.384]

Как следует из (3.1.9), при упругом потенциале, записанном в виде (3.1.4), вытекающем из рассмотрения гауссовых сеток, разность между главными нормальными напряжениями p должна быть пропорциональна разности квадратов соответствующих степеней удлинения а независимо от вида деформации. На рис. 3.1.2, а представлены экспериментальные данные [125], показывающие отклонения от теории, различные для разных видов деформации. Более близкую к экспериментальной теоретическую зависимость предсказывает теория Муни — Ривлина, по которой из (3.1.9) с учетом (3.1.5) получается С = д01д1[, = 0/5/a и деформационные кривые ti — /2) — (А.1 — Я2) неодинаковы при простом и двумерном растяжении и при сдвиге (рис. 3.1.2, б). [c.110]

В динамике пластин метод степенных рядов применял И. Т. Селезов [2.50] (1960). Он исходил из краевой задачи динамической теории упругости в перемешениях и рассматривал систему рекуррентных соотношений типа (20.9) и (20.10) и уравнения типа (20.11), вытекающие из граничных условий, как общую бесконечную систему дифференциальных уравнений, эквивалентную исходной краевой задаче (это справедливо при условии равномерной сходимости рядов). В дальнейшем требуется введение каких-либо ограничений, что можно сделать различным путем. Поэтому методом степенных рядов можно получить бесконечное множество аппроксимаций. Цель состояла в построении гиперболических аппроксимаций. Было показано, что при усечении системы до какого-либо порядка получается замкнутая система уравнений, которая может быть приведена к нескольким или одному дифференциальным уравнениям более высокого порядка. Если при этом сохранить все пространственно-временные дифференциальные операторы до определенного порядка включительно [2.52] (1961), то полученная система уравнений будет гиперболической. Это условие является достаточным для построения гиперболических аппроксимаций. Приведем краткое изложение этих результатов. Рассмотрим упругое поле, характеризуемое пространственными ортогональными координатами Хи Х2, Хз и временной координатой t. Причем ось Охз является прямой, а криволинейные ортогональные координаты Х и Х2 отсчитываются в плоскости Хз = 0. Выделим слой —оо<х1<°о, —оэ<х2<оэ, —к<Хз<к и положим, что изменение поля в зависимости от координат и Х2 характеризуется некоторым параметром I, который значительно больше толщины слоя 2к [c.137]

Детерминистические эффективные модели также исходят из определенных теоретических предпосылок, но в отличие от моделей границ диапазонов параметров, эффективные модели нацелены на получение определенного значения искомого параметра при заданных значениях остальных параметров модели. Степень строгости теоретических предпосылок, закладываемых в эффективную модель, варьирует в широких пределах от попытки дать логичное объяснение эмпирическим зависимостям (модель среднего времени , Wyllie, 1956 Rayraer, 1980) до моделей Био, Молоткова и др., выводимых непосредственно из фундаментальных уравнений теории упругости. Однако практическая ценность таких моделей определяется не столько степенью строгости физических предпосылок, сколько простотой и степенью соответствия результатов имеющимся экспериментальным данным примером может служить та же модель среднего времени . Сильной стороной эффективных моделей является возможность не только предсказания значений неизвестного параметра по известным параметрам (это обеспечивается и эмпирическими зависимостями), но отображения физических причин тех или иных вариаций искомого параметра при тех или иных вариациях известных параметров. Как правило, детерминистические эффективные модели требуют калибровки по экспериментальным данным. [c.123]

Наиболее существенные результаты в динамической механике разрушения получены в рамках линеаризованной теории, в которой предполагается, что зона проявления нелинейных эффектов мала по сравнению с длиной трещины, а поле напряжений вокруг пластической области оппсывается асимптотическими формулами, полученными из решения упругой задачи. Это поле напряжений сингулярно, и главный член его разложения по степеням расстояния от конца трещины г, как п в статике, имеет вид К/У г. Угловое же распределение напряжений и перемещений в окрестности вершины стационарной трещины одинаково при статическом и динамическом нагружении, а влияние инерционного эффекта заключается в том, что коэффициент интенсивности напряжений становится зависящим от времени. Кроме того, исследования показывают, что спустя некоторый период времени после приложения нагрузки характер зависимости коэффициентов интенсивности напряжений и импульсных нагрузок от времени идентичен. Однако в течение этого периода времени коэффициент интенсивности напряжений достигает своего пикового значения, иногда значительно превышающего статическое (аналогичный вывод можно сделать и в случае гармонического нагружения тела с трещиной). [c.407]

Изменение предела прочности углеродных материалов в зависимости от температуры их обработки, т. е. по мере повышения стецени упорядочения их кристаллической структуры так же как и модуля упругости, немонотонно. В интервале температуры 2100—2300° С наблюдается экстремум. БылО показано [60, с. 152], что для материалов, обработанных при темлературе >2300° С, усилие разрушения при сжатии а прямо пропорционально определенному . методами рентгеновской дифракции диаметру кристаллитов La в степени —1/2. Иными словами, разрушение графита объяснялось, в соответствии с теорией Гриффитса — Орована, спонтанным распространением трещин но кристаллиту. Справедливо соотношение [c.56]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...