Решения экспоненциально устойчивые

Поучительно доказать то же самое аналитическим путем, исходя из дифференциальных уравнений (26.4). Можно показать (см. задачу IV.2), что боковые слагающие угловой скорости вращения (появление которых вызвано небольшим возмущением) удовлетворяют системе двух линейных дифференциальных уравнений, имеющих в случаях Аи В решения тригонометрического вида, а в случае Б — решение экспоненциального вида (метод малых колебаний в качестве критерия устойчивости). [c.197]

Следовательно, периодическое решение Г=Т ( р) уравнения движения (1. 35) экспоненциально устойчиво в целом при tp -> + оо. Поэтому оно является асимптотически устойчивым предельным режимом движения машинного агрегата. [c.38]

Решение х (<) = О называют экспоненциально устойчивым по математическому ожиданию нормы х , если существуют такие постоянные С > О и а > О, что при любом t > ta [c.300]

Вторые моменты являются экспоненциально затухающими, а тривиальное решение асимптотически устойчиво по Ляпунову с вероятностью единица. [c.138]

Практические методы расчета тонких оболочек из вязкоупругих материалов на устойчивость [1] основаны иа полуэмпирических зависимостях, не учитывающих вязкоупругие свойства материалов, а следовательно, и зависимость критической нагрузки от времени t. Более обоснованным подходом к решению этой проблемы является применение линейной наследственной теории. Однако известные решения, построенные на этой теории, например [2], основаны на использовании экспоненциального представления функций времени, недостаточно полно характеризующего вязкоупругие свойства материала. Кроме того, эти решения довольно громоздки и трудно применимы на практике. В данной работе предлагается решение задачи устойчивости изгибаемой замкнутой круговой цилиндрической оболочки из вязкоупругого материала методом параметров [3] при аппроксимаций функций ползучести II(f) и коэффициента поперечной деформации v(f) линейным сплайном. [c.43]

Из формулы (4.3) видно, что x(t) отличается экспоненциальным множителем ехр( л ) от я-периодической функции. Следовательно (см. 1), ехр(лц) является мультипликатором рассма.три-ваемого решения. Таким образом, периодическое решение неустойчиво (устойчиво), если ц является вещественным ([л=1а, aeR и аФ2) числом. [c.96]

Возможные значения С являются характеристическими скоростями, вычисленными для и = (см. (5.12)). Если среди этих значений С имеются комплексные, то соответствующие решения экспоненциально растут со временем. Конечно, как и в более простом линейном анализе устойчивости, это указывает только на то, что могут возникнуть значительные отклонения от однородного состояния, и волновой пакет необязательно становится хаотическим. В настоящем контексте устойчивость и возможные конечные состояния существенно зависят от членов высших порядков модуляционного приближения, как это будет показано в 15.5. [c.498]

Задача практически сводится к решению линейных диференциальных уравнений и-го порядка (3-го, 4-го и выше) с применением критерия устойчивости Гурвица или более нового, использующего применяемый в электротехнике метод частотных характеристик, критерия Найквиста [53, 55]. Эти критерии дают условия, при которых отдельные экспоненциальные функции, входящие в выражение для общего интеграла рассматриваемого диференциального уравнения, постепенно убывают до нуля. Тем самым процесс возвращается к устойчивому состоянию, которое определяется начальными условиями имевшегося переходного процесса. [c.31]

Если на краю 5 = 5 , примыкающему к участку оболочки с положительной кривизной, задано хотя бы одно закрепление и = 0, V = 0 или ш = О, этот край не может явиться источником потери устойчивости. При удовлетворении граничных условий на краю S = следует взять два решения (2) при и = считая приближенно, что в силу их экспоненциального убывания при S < они приближенно будут удовлетворять любым граничным условиям при 5 = Sy [c.231]

Нелинейная длина определена в уравнении (3.1.5). Из дисперсионного соотношения (5.1.7) видно, что устойчивость стационарного состояния существенно зависит от того, в области положительной (нормальной) или отрицательной дисперсии световода распространяется излучение. В случае положительной дисперсии групповых скоростей (Р2 > 0) волновое число К действительно при всех значениях Q и стационарное состояние устойчиво относительно малых возмущений. С другой стороны, в случае отрицательной дисперсии групповых скоростей (Р2 < 0) К становится мнимым при Q < и возмущение fl(z, Т) экспоненциально нарастает по г. В результате непрерывное решение (5.1.2) является неустойчивым в случае Р2 < 0. Данный вид неустойчивости называется модуляционной неустойчивостью, так как при этом возникает спонтанная модуляция стационарного состояния. Похожие виды неустойчивости встречаются во многих других нелинейных системах. Их часто называют неустойчивостями, вызванными самовоздействием [32, 33]. [c.106]

Анализ устойчивости стационарного решения уравнения (5.1.1) в линейном приближении показывает, что малые возмущения первоначально будут нарастать по экспоненциальному закону, определяемому уравнением (5.1.9). Ясно, что экспоненциальный рост не может продолжаться до бесконечности, поскольку спектральные компоненты на частотах Oq + Q растут за счет излучения накачки на частоте сОр истощение накачки в конце концов замедляет скорость роста [26]. Динамика модулированного состояния определяется уравнением [c.110]

Из уравнения (19) ясно, каким должен быть характер движения в процессе выпучивания. При отрицательных значениях коэффициента при fn решения определяются гиперболическими функциями, и величина fn возрастает с течением времени по экспоненциальному закону. Задав начальные значения р и у равными единице и заметив, что в начале движения а = 1, убедимся, что формы выпучивания при л2<5 вначале являются неустойчивыми. По мере развития процесса разрушения оболочки происходит уменьшение величины параметра а, поэтому в какой-то момент коэффициент при fn становится положительным и первоначально неустойчивые формы выпучивания становятся устойчивыми, т. е. движение по этим формам приобретает колебательный характер. Однако если в процессе разрушения параметр а уменьшается, то величина у, вообще говоря, увеличивается, а р уменьшается. Таким образом, степень нарастания выпучивания за период неустойчивости зависит не только от скорости разрушения, но и от формы кривой напряжение—деформация. [c.56]

Для построение трансформанты ядра интегрального уравнения, функции L(a), использовался численный алгоритм метода моделирующих функций [2, 7]. Устойчивость алгоритма достигалась за счет выделения в явном виде экспоненциальной составляющей в определяемом численно фундаментальном решении системы обыкновенных дифференциальных уравнений соответствующей краевой задачи. При этом [c.200]

В частности, пусть силы, действующие на систему, зависят лишь от времени и скоростей, т.е. X(i,x,x) = X(i,x). Тогда анализ экспоненциальной асимптотической устойчивости по отношению к х невозмущенного движения системы (1.1.17) сводится к анализу экспоненциальной асимптотической устойчивости по отношению ко всем переменным нулевого решения w = О системы w = X t, w). [c.39]

Доказательство. Рассмотрим линейную подсистему, описывающую поведение у-переменных линейной части системы (3.2.3). При ВфС эта подсистема полностью управляема на основании теоремы 2.5.1. Поэтому коэффициенты вектора Ь в (3.2.4) можно выбрать так, что нулевое решение у = О, г, = О линейной части системы (3.2.3) равномерно устойчиво по Ляпунову и (одновременно) экспоненциально асимптотически у-устойчиво. [c.180]

Линейная теория устойчивости исходит из предположения о том, что возникающие возмущения основного состояния малы. Эта теория позволяет определить границу устойчивости и проследить за судьбой малых возмущений. В линейном приближении возмущения равновесия в области неустойчивости пара стают со временем по экспоненциальному закону. Ясно, однако, что в действительности неограниченного возрастания возмущений нет. Экспоненциальный рост имеет место лишь на начальном этапе очень скоро возмущения перестают быть малыми и не подчиняются более линейным уравнениям движения. Эволюция конечных возмущений, а также форма и амплитуда установившегося движения (если оно существует) могут быть определены лишь на основе полных нелинейных уравнений. Нелинейная теория устойчивости находится в стадии интенсивного развития и привлекает к себе внимание все более широкого круга исследователей. Возникающие в этой области проблемы связаны со значительными математическими трудностями. Хотя до цх полного решения еще далеко, значительный прогресс, достигнутый в последние годы, представляется несомненным. [c.137]

Решения линейной системы оказываются ограниченными и, в силу теоремы 2 из 36, сама система является устойчивой, а в силу экспоненциального затухания решений — и асимптотически устойчивой. Теорема доказана. [c.159]

Далее естественно предположить, что Рп скп- Как следует из (18), для достаточно больших п допущение справедливо, поскольку ап п" , Рп п при п —) оо. Это позволяет применить методы теории возмущений и найти условия, при которых происходит потеря устойчивости нулевого (или любого) решения уравнений (19). В малой окрестности резонансных значений параметров отвечающих основной и более высоким резонансным зонам, условия экспоненциальной неустойчивости на плоскости параметров а , Рп имеют вид двусторонних неравенств [6]. Выпишем эти условия для первых четырех резонансных зон параметрических [c.50]

Если нас интересует лишь вопрос об устойчивости многообразия состояний равновесия, то нет необходимости отыскивать точное решение системы уравнений (2.14). Как следует из вышеизложенного, для этого достаточно исследовать поведение функций Vi (/) в малой окрестности поверхности Ощ- Но в первом приближении поведение этих функций определяется корнями характеристического уравнения (2.16). Если действительные части всех корней к = = 1,2,. .., 2 (/г — т)) отрицательны, то функции У/ (/) будут представлять или экспоненциальное затухание или колебательный процесс с убывающей амплитудой. Поэтому изображающая точка, находящаяся в малой окрестности поверхности От состояний равновесия, будет при / -> + оо стремиться к поверхности От- В этом случае многообразие состояний равновесия будем называть асимптотически устойчивым. Если же среди корней рк найдется хотя бы один с положительной действительной частью, то многообразие состояний равновесия будет неустойчивым. [c.272]

Когда характеристический показатель /х чисто действительный, функция х т) ограничена и, следовательно, движение устойчиво. Однако, если /X имеет мнимую часть, функция х т) содержит экспоненциально возрастаюш,ий вклад. Движение неустойчиво. Параметры а и д, то есть напряжения, приложенные к ловушке, и определяют, будет ли движение устойчивым, или нет. Если /х = О, решение х т) строго периодическое. [c.528]

Отмеченные различия в воздействии на дугу внешних и внутренних факторов могут с тужить ключом к пониманию физической сущности отдельных параметров (13) и интерпретации самого экспоненциального множителя. Вместе с тем мы получаем возможность сделать ряд предварительных заключений о свойствах дугового цикла и его устойчивости. При решении этой задачи удобно представить любые воздействия на разряд как наложение двух простых эффектов изменения устойчивости дуги в узком смысле этого термина и изменения эффективности определенного восстановительного механизма, вступающего в действие всякий раз при критическом состоянии или начале распада дуги и возвращающего разряд в его исходное состояние. О существовании подобного восстановительного механизма достаточно убедительно говорит сама зависимость продолжительности жизни дуги от таких параметров, как э. д. с. источника энергии и индуктивность цепи. Интерпретируемая таким образом устойчивость дуги может зависеть лишь от внутренних условий разряда. Что касается внешней цепи, то ее влияние может распространяться лишь на восстановительный механизм. Пока отметим только, что его основой являются кратковременные подъемы напряжения на электродах дуги, вызывающие активизацию катодных процессов дугового цикла. Очевидно, влияние [c.110]

Последнее указывает на то, что Т=1 ((f) является экспоненциально устойчивым [23] решением уравнения (1. 35). Но, как известно, из экспоненциальной устойчивости вытекает асимпто- [c.32]

В этой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. В предыдущих главах было показано, что корректный расчет таких оболочек и пластин в большинстве случаев требует привлечения неклассических дифференциальных уравнений повышенного порядка. Там же (см. параграфы 4.1, 4.4, 5.2, 6.2) отмечалась важная особенность таких уравнений — существование быстропеременных решений экспоненциального типа, имеющих ярко выраженный характер погранслоев и существенных лишь в малых окрестностях краевых закреплений, точек приложения сосредоточенных сил, мест резкого изменения геометрии конструкции и т.д. Стандартные схемы численного интегрирования краевых задач на таком классе дифференциальных уравнений малоэффективны — попытки их применения встречают принципиальные трудности, характер и формы проявления которых подробно обсуждались в параграфе 4.1 (см. также [136]). Добавим к этому замечание о закономерном характере данного явления — существование решений экспоненциального типа с чрезвычайно большим (по сравнению с длиной промежутка интегрирования) показателем изменяемости в неклассических математических моделях деформирования тонкостенных слоистых систем, дифференциальными уравнениями которых учитываются поперечные сдвиговые деформации, обжатие нормали и другие второстепенные" факторы, естественно и необходимо. Такие решения описывают краевые эффекты напряженного состояния, связанные с учетом этих факторов, и существуют не только у неклассических уравнений, установленных в настоящей монографии, но и в других вариантах неклассических уравнений повышенного порядка, что уже было показано (см. параграф 4.1) на конкретном примере. Болес того, подобные явления наблюдаются не только в теории оболочек, но и в других математических моделях механики и физики. Известным классическим примером такого рода может служить течение Навье—Стокса — при малой вязкости жидкости, как впервые было показано Л. Прандтлем (см., например, [330]), вблизи обтекаемого тела возникает зона пограничного слоя. Такие задачи согласно известной [56, 70 и др.] классификации относятся к классу сингулярно возмущенных, т.е. содержащих малый параметр и претерпевающих понижение порядка, если положить параметр равным нулю. Проблема сингулярных возмущений привлекала внимание многих авторов [56, 70, 173, 190 и др.]. Последние десятилетия отмечены значительными достижениями в ее разработке — в создании и обосновании методов асимптотического интегрирования для различных [c.195]

Следует отметить, что если рассматривается гидродинамическая задача в шаровом слое или какой-либо аналогичной осесимметричной области, то сходимость рядов (6) — (10) ставится под сомнение. Однако если иитенсивности мультиполей, соответствующих отрицательным показателям степени (л , N, экспоненциально быстро, как Но1Н1) 1 М ° , убывают с ростом М, то мы увидим, что полные ряды сходятся и в этом случае, но стационарные осесимметричные решения теряют устойчивость при весьма небольших числах Рейнольдса, поэтому представление решений в виде (6) — (10) уже при невысоких Ке может потерять физический смысл. [c.293]

Эти экспоненциальные решения будут устойчивы, если 1т со < О для обоих корней со. Легко проверить, что это требование эквивалентно (3.7), так что результат приближенных рассуждений подтверждается и обобш ается на волны произвольной длины. [c.79]

Таким образом, Vi удовлетворяет системе однородных линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами, являющимися функциями только от координат, но не от времени. Общее решение таких уравнений может быть представлено в внле суммы частных решений, в которых vi зависит от времени посредством множителей типа Сами частоты со возмущении не произвольны, а определяются в результате решений уравнений (26,4) с соответствующими предельным условиями. Эти частоты, вообще говоря, комплексны. Если имеются такие со, мнимая часть которых положительна, то будет неограниченно возрастать со временем. Другими словами, такие возмущения, раз возникнув, будут возрастать, т. е. движение будет неустойчиво по отношению к ним. Для устойчивости движения необ.хо-димо, чтобы у всех возможных частот со мнимая часть была отрицательна. Тогда возникающие возмущения будут экспоненциально затухать со временем. [c.138]

В течение последних 20 лет известные успехи были достигнуты в численном моделировании волн конечной амплитуды (нелинейная теория). Линейная теория способна ответить только на вопрос о границе устойчивого и неустойчивого состояний и не может предсказать реальную форму волн и их эволюцию во времени. Экспоненциальный рост амплитуды волн при возникновении неустойчивости, предсказываемый линейной теорией, сам по себе предполагает, что эта теория выходит за пределы своих возможностей, как только такой рост начинается. В реальном процессе восстанавливающие силы (поверхностного натяжения, инерции, массовые) быстро нарастают с увеличением амплитуды волн, которая всегда остается конечной в гравитационных пленках. На основании численных исследований в рамках нелинейной теории были получены некоторые практически полезные результаты [43], однако они, как правило, не могут быть представлены в виде прость(х аналитических соотношений основные тенденции, следующие из численных решений, описываются обычно качественно. В частности, важный качественный вывод делается Холпановым и Шкадовым [43] в отношении влияния трения со стороны газового потока (т " ) на форму волновой поверхности жидкой пленки. Оказывается, начиная с некоторого значения т" (при заданном расходе жидкости Fq), увеличение касательного напряжения приводит к уменьшению амплитуды волн, чего никак нельзя было бы предположить на основе анализа в рамках линейной теории Кельвина—Гельмгольца. [c.171]

Ур-ние КП со знаком плюс описывает распространение магнитозвуковых волн с положит, дисперсией в холодной замагннченной плазме под углом к магн. полю. При этом Предполагается, что частота магнитозвуковых волн много меньше циклотронной частоты. Решения квазиодномёрных магнитозвуковых С. вида (2) неустойчивы, однако в двумерном случае есть устойчивое решение в виде т. и. л а МП о в (lumps) — движущихся и локализованных по всем направлениям двумерных G. В отличие от квазиодномерных С. (4), лампы характеризуются не экспоненциальным, а степенным убыванием на бесконечности [c.575]

Из требования конечности энергии, приходящейся на единицу длины вихря, выводится асимптотич. поведение ф-ций /(р) и В(р) на пространственной бесконечности /(р)- а-цехр(-р/4) B(p)- (iV/< p)+л ехр(-р/5), где ц, т) — константы, S,= / ao ) — длина когерентности, задающая масштаб изменений скалярного поля, Ь = еоо — глубина проникновения (характерный масштаб для магн. поля). Т. о., вне линии вихря /(р) и В р) экспоненциально убывают с увеличением расстояния. Помимо точного (чисто калибровочного) решения /(р) = яо, B(p) = (Nlep), известны лишь численные решения ур-ний (10). По величине безразмерного параметра Гинзбурга — Ландау к = = сверхпроводники можно разбить на два класса условием к < 1/ /2 выделяются сверхпроводники первого рода при к > 1 имеем сверхпроводники второго рода. Устойчивые вихри характерны лишь для сверхпроводников 2-го рода, т.к. при k< j между вихрями возникают силы притяжения, под действием к-рых они коллапсируют. Напротив, при >1/,у2 между вихрями возникают силы отталкивания, приводящие к образова- [c.139]

Рассмотрим далее задачу об устойчивости тривиального решения уравнения типа Матье—Хилла (5.1) при параметрическом воздействии в виде экспоненциально-коррелированного процесса [c.142]

Воспользуемся для решения стохастических задач устойчивости вариационным методом, который был изложен выше применительно к нелинейным системам. Рассмотрим вновь простой методический пример, соответствующий параметрическим колебаниям безмассоБой системы при экспоненциально-коррелированном воздействии. Стохастические уравнения движения имеют вид (5.14), система моментных соотношений — форму (5.16). [c.147]

Хотя групповая скорость одинакова для волны накачки и стоксовой волны, их относительная скорость равна 2v , так как они распространяются навстречу друг другу. Релаксационные колебания возникают как следствие этой эффективной расстройки групповых скоростей. Частоту и скорость затухания релаксационных колебаний можно получить, анализируя устойчивость стационарного решения уравнений (9.2.7) и (9.2.8) аналогично тому, как это делалось в разд. 5.1 в случае модуляционной неустойчивости. Действие внешней обратной связи можно учесть, взяв соответствующие граничные условия на концах световода [23]. Такой линейный анализ устойчивости дает также условия, при которых непрерывный сигнал становится неустойчивым. Расс.мотрим небольшое возмущение уровня непрерывного сигнала, затухающее как ехр(-Лг), где комплексный параметр Л можно определить, линеаризуя уравнения (9.2.12) и (9.2.13). Если действительная часть Л положительна, возмущение затухает экспоненциально с релаксационными колебаниями частотой = 1т(Л)/2л. Если же действительная часть h отрицательна, возмущение возрастает со временем и непрерывный сигнал становится неустойчивым. В этом случае ВРМБ ведет к модуляции интенсивностей накачки и стоксова излучения даже в случае непрерывной накачки. На рис. 9.4 показаны области устойчивости и неустойчивости при наличии обратной связи в зависимости от фактора усиления tj L, определенного [c.266]

Следует подчеркнуть, что неустойчивость течений идеальной жидкости понимается здесь иначе, чем в пункте К речь идет об экспоненциальной неустойчивости движения жидкости, а не его поля скоростей. Возможны случаи, когда стационарное течение является устойчивым по Ляпунову решением уравнения Эйлера, и тем не менее соответствующее движение жидкости экспоненциально неустойчиво. Дело в том, что малое изменение поля скоростей жидкости может вызывать экспоненциально растущее изменение движения жидкости. В таком случае (устойчивости решения уравнения Эйлера и отрицательности кривизны группы) можно 1фогнозировать поле скоростей, но невозможно прогнозировать без очень большой потери точности движение масс жидкости. [c.307]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...