Решение уравнения устойчивости

При этом характеристический показатель оказывается мнимым, а решение уравнения устойчиво. [c.65]

Получить точное аналитическое решение уравнения устойчивости пластин удается лишь в весьма ограниченном числе частных случаев. Простейший из них — длинная пластина, равномерно сжатая в поперечном направлении (рис. 7.10, а). Граничные условия на удлиненных сторонах произвольны, но неизменны вдоль пластины. [c.194]

В общем же случае точное решение уравнений устойчивости связано с непреодолимыми математическими трудностями. Поэтому большинство результатов в области устойчивости тонких оболочек получено различными приближенными методами. [c.77]

Решение уравнения устойчивости [c.249]

Решение уравнений устойчивости в этом случае можно получить, задавая смещения в виде [23.4] [c.287]

В работе [77] рассматривается задача определения критического перепада температуры для изотропной оболочки. Приведенное в ней выражение для функции усилий в срединной поверхности является решением приближенного дифференциального уравнения совместности, а критический перепад температуры находится из решения уравнения устойчивости в энергетической трактовке. [c.154]

Задача в этом случае сводится к решению уравнения устойчивости [c.65]

Покажем, что критические давления цилиндрической оболочки, безмоментной в основном состоянии, получаемые на основе соотношений а — w [96] и а < ш, совпадают. Для этого достаточно рассмотреть семейство решений уравнений устойчивости (V.10) в диапазоне изменения контактного и внешнего давлений от нуля до значений, определяющих критическую нагрузку [179], и доказать, что величина критической на- [c.86]

Условие существования ненулевого решения уравнений устойчивости служит для определения критической нагрузки. При решении задач устойчивости удобно считать, что нагрузка меняется пропорционально некоторому параметру Л > О — параметру нагружения. Тогда функции докритического состояния 7 , Л1 ,...) и коэффициенты уравнений устойчивости зависят от Л. Следовательно, задача устойчивости свелась к задаче на собственные значения. В качестве критического значения следует взять наименьшее (положительное) [c.43]

В пятой главе описаны слоистые упругие трансверсально изотропные пластинки, имеющие симметричное относительно срединной плоскости строение пакета слоев. Выбор срединной плоскости в качестве плоскости приведения позволил отделить уравнения плоской задачи теории упругости от уравнений изгиба пластинки, которые и явились предметом исследования. Найден широкий класс решений этих уравнений, что позволило, в частности, решить задачу изгиба круговой пластинки, несущей поперечную нагрузку. В качестве примера рассмотрена задача осесимметричного деформирования круговой пластинки. Выполненное исследование, включающее в себя вычисление разрушающей, интенсивности нагрузки, определение механизма возникновения разрушения и определение зоны его инициирования, выявило принципиальную необходимость учета влияния поперечных сдвиговых деформаций на расчетные характеристики напряженно-деформированного состояния для пластин с существенно различными жесткостями слоев. Решена задача устойчивости пластинки, нагруженной силами, действующими в ее плоскости. Составлены общие уравнения устойчивости и подробно исследован тот случай, когда тензор докритических усилий круговой. Для этого случая найден широкий класс решений уравнений устойчивости. В качестве примера дано решение задачи устойчивости круговой пластинки, нагруженной равномерно распределенным по контуру сжимающим радиальным усилием. Эта же задача решена еще и на основе других неклассических уравнений, приведенных в третьей главе, а также на основе уравнений трехмерной теории устойчивости. Выполнен параметрический анализ полученных решений, что позволило указать границы применимости рассматриваемых уточненных теорий, оценить характер и степень влияния поперечных сдвиговых деформаций и обжатия нормали на критические интенсивности сжимающего усилия. Полученные результаты приводят к выводу о пригодности разработанных в настоящей моно- [c.13]

Кроме того, подчиним решение уравнений устойчивости условию ограниченности. [c.152]

Решение уравнений устойчивости (6.4.9) строим в виде рядов Фурье [c.187]

Безразмерный критический параметр mt определяют решением уравнений устойчивости пластинки в зависимости от условий опирания нагруженных кромок 7, 2 (см. рис. 1) [c.271]

Задача сводится к решению уравнения устойчивости [c.74]

Коэффициенты г , у = О, 1,... в (6.1.1) изменяются вместе с координатой X. Прежде чем перейти к построению решений уравнений устойчивости, оценим значения коэффициентов Xj, rj в зависимости от числа Маха и температурных краевых условий на стенке. В случае несжимаемой жидкости [c.114]

Действительно, результат решения уравнений устойчивости в виде (9.27) (кривая 3 на рис. 9.78) в четыре с лишним раза отличается от значения, полученного при точном решении. При 2>б величина критического параметра перепада температуры [c.250]

В столбце I приведены результаты определения параметра внешнего давления u) , когда докритическое состояние определялось из уравнения нелинейного краевого эффекта, а решение уравнений устойчивости проводилось с учетом докритического искривления образующей оболочки. В столбце II — значения параметра внешнего давления < при нелинейном докритическом состоянии, но бе< учета докритического искривления образующей оболочки. В столбце III — значения при линейном докритическом состоянии, но с учетом докритического искривления образующей оболочки. [c.274]

В отечественных и зарубежных работах по устойчивости изотропных цилиндрических оболочек указывается на то, что наименьшее значение критической нагрузки дает осесимметричная форма потери устойчивости [2 . Воспользуемся этим указанием при решении уравнений устойчивости цилиндрической стеклопластиковой оболочки при осевом сжатии равномерно распределенными усилиями [c.6]

Расчетные длины колонн, являющихся стойками поперечных рам зданий, определяются решением уравнений устойчивости, которые в общем виде решения не имеют, но их численные решения могут быть выражены через параметры рамы и представлены в виде таблиц. [c.151]

Система уравнений (4.56) для последовательных /Схем имеет столько решений, сколько устойчивых состояний при заданном U имеет моделируемая схема. Как правило, для анализа синхронных моделей используют методы, позволяющие получить то решение, которое соответствует исходному значению вектора V и заданному входному набору и. Получение такого решения называют синхронным моделированием. [c.192]

Показать, что если силовая функция позиционной линейной системы удовлетворяет условию теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия, то все решения уравнения частот положительны. [c.624]

Для всякой задачи о движении вязкой жидкости в заданных стационарных условиях должно, в принципе, существовать точное стационарное решение уравнений гидродинамики. Эти решения формально существуют при любых числах Рейнольдса. Но не всякое решение уравнений движения, даже если оно является точным, может реально осуществиться в природе. Осуществляющиеся в природе движения должны не только удовлетворять гидродинамическим уравнениям, но должны еще быть устойчивыми малые возмущения, раз возникнув, должны затухать со временем. Если же, напротив, неизбежно возникающие в потоке жидкости сколь угодно малые возмущения стремятся возрасти со временем, то движение неустойчиво и фактически существовать не может ). [c.137]

При таком рассмотрении остается, конечно, в стороне вопрос о влиянии, которое может иметь на устойчивость пограничного слоя кривизна обтекаемой поверхности Имеется также и определенная непоследовательность, связанная с делаемыми пренебрежениями. Дело в том, что единственными плоско-параллельными течениями (с профилем скорости, зависящим только от одной координаты), удовлетворяющими уравнению Навье — Стокса, являются течения с линейным (17,1) и параболическим (17,4) профилями (в то время как уравнение Эйлера удовлетворяется плоско-параллельным течением с произвольным профилем). Поэтому рассматриваемое в теории устойчивости пограничного слоя основное течение не является, строго говоря, решением уравнений движения. [c.238]

По смыслу его вывода, критическое значение Мкр определяет границу устойчивости по отношению к бесконечно малым возмущениям. Но для задачи о конвективной устойчивости неподвижной жидкости оказывается, что это число является в тоже время границей устойчивости но отношению к любым конечным возмущениям ). Другими словами, при М < кр не существует никаких незатухающих со временем решений уравнений движения, за исключением состояния покоя. Покажем это В. С. Сорокин, 1954). [c.314]

Поэтому представляет инте)рес определить условия для й, А, Ь, В, при выполнении которых невозмущенное движение а = О, а = О будет асимптотически устойчиво при любых законах изменения функций а и Р в заданных границах. (Считая, что функции аир изменяются произвольным образом, мы предполагаем, конечно, что для всех t, X, X из области (7.24) они удовлетворяют условиям существования и единственности решения уравнения [c.225]

Теперь можно перейти к исследованию устойчивости движения. Будем считать, что за фундаментальную систему решений уравнения (7.45) принята система нормальных решений Xi (t),. . (t), удовлетворяющих условиям (7.65). Общее решение уравнения (7.45) запишем в форме (7.52) [c.236]

Устойчивость решений уравнений [c.239]

Решение уравнений устойчивости для оболочек с отношением У //г = 400 представлено на рис. 9.25 пунктирной линией. Рассматриваем вариант Г1 граничных уловий. Цифры на рис. 9.25 указывают на число волн, при котором реализуется минимальное значение критического давления. На этом же рисунке сплошной линией представлено решение для оболочки с отношением / //г = 800. Обе кривые имеют общую огибающую (кривая 1), являющуюся решением уравнений (9.27) при непрерывном п. Отклонение указанных решений от этой огибающей для оболочек с / //г = 400 и //г = 800 связано с дискретностью величины п. [c.219]

Если на оболочку действует несколько различных нагрузок го определение их критического значения из решения уравнени устойчивости представляется задачей весьма сложной, а иногд и почти неразрешимой. Поэтому желательно иметь оценки несу щей способности таких оболочек, не решая непосредственно диф ференциальные уравнения задач и используя результаты, кото рые можно получить при нагружении оболочки отдельно каж дой из действующих сил. Такой путь тем более целесообразен что многие задачи устойчивости оболочек уже решены. [c.387]

Проблема устойчивости течения жидкости хорошо известна в классической гидромеханике. В обш ем виде эту проблему можно сформулировать следующим образом. Пусть дана хорошо постаь-ленпая краевая задача. Может существовать (и даже быть получено в явном виде) точное решение уравнений движения, удовлетворяющее всем граничным условиям, которое является стационарным в эйлеровом смысле d dt = 0). Все же такое решение может быть неустойчивым в том смысле, что если в некоторый момент времени наложить на это решение малые возмущения, то эти возмущения самопроизвольно будут стремиться возрастать с течением времени, а не затухать. Это означает, что существует другое (возможно, нестационарное) решение уравнений движения и что практически наблюдаемый режим течения будет нестационарным, поскольку, конечно, в реальном случае невозможно избежать каких-либо возмущений. Типичным примером этого является турбулентное течение в трубе постоянного сечения, где имеется также стационарный, но неустойчивый режим течения, называемый ламинарным. [c.297]

Очевидно, что на точность получаемых результатов будут влиять такие факторы, как схема интегрирования, величина шага интегрирования Ат,-, количество КЭ в проскоке, число подынтервалов времени k, на которые разбит интервал Атс. Из рис. 4.20 видно, что при использовании уравнения (1.47) при k = 4 11 18 (кривые 1, 2, 3, 4) отличие результатов расчета от приближенной аналитической зависимости (4.79) составляет соответственно 0,19 0,14 0,08 0,01G (0) (при v = r). Таким образом, использование условия < 10 приводит к существенной погрешности расчетной схемы, что, в свою очередь, в задаче об определении СРТ приводит к необоснованному завышению скорости трещины, особенно в области ее высоких значений (o r). Следует отметить, что значению k = при v = r соответствует шаг интегрирования Ат, равный времени прохождения волны расширения через наименьший КЭ в вершине трещины. Попытки более адекватного описания зависимости G (y) с помощью более точного моделирования раскрытия трещины путем увеличения количества КЭ в проскоке не дали существенного изменения зависимости G (o) (кривая 6). При использовании уравнения (1.41) зависимость G v) отличается от аналитической (4.79) менее чем на 1 % (кривая 5). В то же время следует отметить, что ограничение на шаг интегрирования, обусловленное устойчивостью решения уравнения (1.41), делает применение данной схемы при и < Сд неэффективным, поскольку резко возрастает количество шагов Ат (при v = r /г = 18 при v = rI2 fe = 36 и т. д.). [c.250]

Исследование устойчивости упругих систем в большом mhoi о сложнее, чем в малом, поскольку в этом случае решение задачи сводится к исследованию нелинейных уравнений. Однако решение задач устойчивости в такой постановке дает возможность ответить на вопросы, которые с позиций малых перемсчцений не могут быть решены вовсе. [c.452]

Как видим, в уравнениях (16.66), (16.67) переменные разделяются и задача сводится к решению лишь одного дифференциального уравнения (16.66), которое обобщает известное в практике инженерных расчетов на устойчивость уравнение устойчивости пластин Ильюшина [7] на случай сложного нагружения. При 2 = onst оно позволяет решать задачи о бифуркации и устойчивости по всем частным теориям пластичности, которые не учитывают излом траектории в выражениях для Рт, Nm- В этих теориях граница раздела зон пластической догрузки и разгрузки находится из уравнения [c.348]

Таким образом, Vi удовлетворяет системе однородных линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами, являющимися функциями только от координат, но не от времени. Общее решение таких уравнений может быть представлено в внле суммы частных решений, в которых vi зависит от времени посредством множителей типа Сами частоты со возмущении не произвольны, а определяются в результате решений уравнений (26,4) с соответствующими предельным условиями. Эти частоты, вообще говоря, комплексны. Если имеются такие со, мнимая часть которых положительна, то будет неограниченно возрастать со временем. Другими словами, такие возмущения, раз возникнув, будут возрастать, т. е. движение будет неустойчиво по отношению к ним. Для устойчивости движения необ.хо-димо, чтобы у всех возможных частот со мнимая часть была отрицательна. Тогда возникающие возмущения будут экспоненциально затухать со временем. [c.138]

Так как при всех значениях Во, не равных О или я, коэффициент при положителен, то функция W имеет в ста1(ионарном движении минимум. Кроме того, для всех G , но равных О или п, решение уравнения (3.38) непрерывно зависит от постоянных тип интегралов (3.37) (корни алгебраического отноептельно os 0 уравнения (3.39) непрерывно зависят от коэффициентов уравнения). Поэтому на основании теоремы Рауса и допо.гаения Ляпунова регулярная прецессия устойчива относительно 0, 0, ij) и ф. [c.95]

Очевидно, что выбором параметров 6 и е невозмущенное движение д = О, j = О можно сделать устойчивым и неустойчивым. Так, например, при е = О и б > О, движение устойчиво, а при е = О и б < О это движение неустойчиво. Поэтому задачу об устойчивости решений уравнения Хилла можно поставить следующим образом в плоскости параметров 6 и е найти области устойчивости и неустойчивости невозмущенного движения а = О, т = 0. [c.240]

H i случаев 3 и 4 следует, что на границе области устойчивости, то есть для значений б и е, удовлетворяющих уравнениям (7.79), существуют периодические peujeHHH периода Т и 2Т. Эти выводы дают возможность определить границы области устойчивости из условия существования периодических решений уравнения Хилла. [c.242]

Прежде чем перейти к определению границ области устойчивости, рассмотрим аналитический вид решений уравнения Хилла (7.76). Пользуясь формулами (7.66) и (7.69), запишем общее решение в следующей форме [c.242]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...