Решение асимптотически экспоненциально устойчивое

Следовательно, периодическое решение Г=Т ( р) уравнения движения (1. 35) экспоненциально устойчиво в целом при tp -> + оо. Поэтому оно является асимптотически устойчивым предельным режимом движения машинного агрегата. [c.38]

Вторые моменты являются экспоненциально затухающими, а тривиальное решение асимптотически устойчиво по Ляпунову с вероятностью единица. [c.138]

Доказательство. Рассмотрим линейную подсистему, описывающую поведение у-переменных линейной части системы (3.2.3). При ВфС эта подсистема полностью управляема на основании теоремы 2.5.1. Поэтому коэффициенты вектора Ь в (3.2.4) можно выбрать так, что нулевое решение у = О, г, = О линейной части системы (3.2.3) равномерно устойчиво по Ляпунову и (одновременно) экспоненциально асимптотически у-устойчиво. [c.180]

В частности, пусть силы, действующие на систему, зависят лишь от времени и скоростей, т.е. X(i,x,x) = X(i,x). Тогда анализ экспоненциальной асимптотической устойчивости по отношению к х невозмущенного движения системы (1.1.17) сводится к анализу экспоненциальной асимптотической устойчивости по отношению ко всем переменным нулевого решения w = О системы w = X t, w). [c.39]

Решения линейной системы оказываются ограниченными и, в силу теоремы 2 из 36, сама система является устойчивой, а в силу экспоненциального затухания решений — и асимптотически устойчивой. Теорема доказана. [c.159]

Если нас интересует лишь вопрос об устойчивости многообразия состояний равновесия, то нет необходимости отыскивать точное решение системы уравнений (2.14). Как следует из вышеизложенного, для этого достаточно исследовать поведение функций Vi (/) в малой окрестности поверхности Ощ- Но в первом приближении поведение этих функций определяется корнями характеристического уравнения (2.16). Если действительные части всех корней к = = 1,2,. .., 2 (/г — т)) отрицательны, то функции У/ (/) будут представлять или экспоненциальное затухание или колебательный процесс с убывающей амплитудой. Поэтому изображающая точка, находящаяся в малой окрестности поверхности От состояний равновесия, будет при / -> + оо стремиться к поверхности От- В этом случае многообразие состояний равновесия будем называть асимптотически устойчивым. Если же среди корней рк найдется хотя бы один с положительной действительной частью, то многообразие состояний равновесия будет неустойчивым. [c.272]

Часто используют понятие орбитной (или орбитальной) устойчивости. Оно отличается от устойчивости по Ляпунову тем, что из условия (1 х 1о), Х Ьо)) < 6 должно следовать лишь (1 х 1) , Х 1)) < е, т. е. не требуется синхронности в движении по возмущенной и (невозмущенной траекториям. Здесь х 1) означает всю траекторию при t > Ьо-Нужно лишь, чтобы возмущенное решение (пусть с отставанием или опережением) не выходило за пределы е-окрестности невозмущенного. Если при 1 00 расстояние (1 между возмущенным и невозмущенным решениями стремится к нулю, то устойчивость называется асимптотической. Если же, кроме того, <1 ехр(— ) (а > 0), начиная с некоторого I > 1о, то она называется экспоненциальной. [c.131]

Как показано в разд. 1.14 и 1.16, линейные дифференциальные уравнения играют важную роль в анализе устойчивости решений нелинейных уравнений, поэтому и здесь, и далее мы будем рассматривать временную зависимость решений (2.1.5) при больших временах 1. Ясно, что при асимптотическое поведение решения (2.1.5) определяется знаком Не Я). Если Не Я)>0, то д возрастает экспоненциально. Если Не [Х] = О, то д (/) — постоянная. Наконец, если Ке Я <0, то д экспоненциально затухает. Число X называется характеристическим показателем. [c.92]

В этой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. В предыдущих главах было показано, что корректный расчет таких оболочек и пластин в большинстве случаев требует привлечения неклассических дифференциальных уравнений повышенного порядка. Там же (см. параграфы 4.1, 4.4, 5.2, 6.2) отмечалась важная особенность таких уравнений — существование быстропеременных решений экспоненциального типа, имеющих ярко выраженный характер погранслоев и существенных лишь в малых окрестностях краевых закреплений, точек приложения сосредоточенных сил, мест резкого изменения геометрии конструкции и т.д. Стандартные схемы численного интегрирования краевых задач на таком классе дифференциальных уравнений малоэффективны — попытки их применения встречают принципиальные трудности, характер и формы проявления которых подробно обсуждались в параграфе 4.1 (см. также [136]). Добавим к этому замечание о закономерном характере данного явления — существование решений экспоненциального типа с чрезвычайно большим (по сравнению с длиной промежутка интегрирования) показателем изменяемости в неклассических математических моделях деформирования тонкостенных слоистых систем, дифференциальными уравнениями которых учитываются поперечные сдвиговые деформации, обжатие нормали и другие второстепенные" факторы, естественно и необходимо. Такие решения описывают краевые эффекты напряженного состояния, связанные с учетом этих факторов, и существуют не только у неклассических уравнений, установленных в настоящей монографии, но и в других вариантах неклассических уравнений повышенного порядка, что уже было показано (см. параграф 4.1) на конкретном примере. Болес того, подобные явления наблюдаются не только в теории оболочек, но и в других математических моделях механики и физики. Известным классическим примером такого рода может служить течение Навье—Стокса — при малой вязкости жидкости, как впервые было показано Л. Прандтлем (см., например, [330]), вблизи обтекаемого тела возникает зона пограничного слоя. Такие задачи согласно известной [56, 70 и др.] классификации относятся к классу сингулярно возмущенных, т.е. содержащих малый параметр и претерпевающих понижение порядка, если положить параметр равным нулю. Проблема сингулярных возмущений привлекала внимание многих авторов [56, 70, 173, 190 и др.]. Последние десятилетия отмечены значительными достижениями в ее разработке — в создании и обосновании методов асимптотического интегрирования для различных [c.195]

Замечание. Стационарное решение неавтономного уравнения x=Ax+f t, х), x6R", для которого все собственные числа оператора А лежат строго в левой полуплоскости, асимптотически устойчиво, если (f(i, x)1 1j 1 при всех Стремление решений к нулю при этом экспоненциальное 1ф(0 I jKa(exp(—ai)) <Р(0) I при для любого а>0 та- [c.30]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...