Уравнения Гамильтона Канонические уравнения и канонические преобразования

Значительная часть Второго очерка об общем методе в динамике посвящена построению теории возмущений на основе канонических уравнений и понятия главной функции. Гамильтон предлагает два метода в теории возмущений. Первый метод основан на введении поправок к начальным значениям переменных в невозмущенной задаче. Второй метод, который мы изложим, тесно связан с теорией канонических преобразований уравнений динамики. [c.14]

Книга представляет собой углубленный курс классической механики, написанный на современном уровне. Помимо краткого обзора элементарных принципов, в ней изложены вариационные принципы механики, задача двух тел, движение твердого тела, специальная теория относительности, уравнения Гамильтона, канонические преобразования, метод Гамильтона — Якоби, малые колебания и методы Лагранжа и Гамильтона для непрерывных систем и полей. Показывается связь между классическим развитием механики и его квантовым продолжением. Книга содержит большое число тщательно подобранных примеров и задач. [c.2]

В некоторых учебниках свойство сохранять канонический вид уравнений Гамильтона принято за определение канонических преобразований. В действительности это определение не эквивалентно общепринятому и приведенному выше. Например, не каноническое в нашем смысле преобразование Р = 2р, Q — д сохраняет гамильтонов вид уравнений движения. [c.212]

Рассмотрим, далее, произвольную систему канонических уравнений Гамильтона с некоторым фиксированным гамильтонианом Н и применим к ней преобразование (ИЗ). Может случиться, что полученные уравнения окажутся уравнениями Гамильтона с некоторым гамильтонианом Н. Но может случиться и так, что уравнения, полученные в результате преобразования, уже не будут иметь вид уравнений Гамильтона. [c.312]

Наконец, в лагранжевой механике не существует какого-либо общего метода упрощения функции Лагранжа. Не существует никакого систематического приема для получения циклических переменных и их можно получить лишь путем удачной догадки. В гамильтоновой механике может быть предложен определенный метод получения циклических переменных и упрощения функции Гамильтона. Этот метод сводит всю задачу интегрирования к нахождению одной фундаментальной функции, являющейся производящей функцией некоторого преобразования. Он играет центральную роль в теории канонических уравнений и, как будет показано в следующей главе, предоставляет широкие возможности для различных обобщений. [c.226]

Предположим, что мы сумели найти такое преобразование. Тогда канонические уравнения в новой системе координат легко проинтегрировать. Поскольку функция Гамильтона Н инвариантна относительно канонического преобразования, в новой системе функция Гамильтона Н равна Qn- Это означает, что в новой системе координат все переменные циклические - и можно произвести полное интегрирование уравнений движения. [c.266]

В дальнейшем мы встретимся с ковариантностью дифференциальных уравнений, составленных в форме уравнений Лагранжа, по отношению к любым заменам обобщенных координат и с ковариантностью уравнений, составленных в форме Гамильтона по отношению к каноническим преобразованиям. И в этих случаях речь идет об инвариантности правила составления дифференциальных уравнений, а не об инвариантности самих составленных уравнений . [c.13]

Класс замен фазовых переменных, для которых ковариантность уравнений Гамильтона имеет место, и представляет собой канонические преобразования. [c.292]

Поэтому обобщенные координаты следует выбирать так, чтобы возможно большее их число было циклическим, или находить такое преобразование канонических переменных qj и р,-, при котором уравнения (132.5) сохранят форму уравнений Гамильтона, но возможно большее число координат станет циклическим. [c.376]

Естественно возникает вопрос по отношению к какому классу преобразований q и р ковариантны уравнения Гамильтона Класс преобразований q, р, по отношению к которым уравнения Гамильтона ковариантны, называется классом канонических преобразований. Разъясним это определение подробнее. [c.311]

Из этого выражения, как только что было показано, получаются уравнения Гамильтона для переменных qm и р х. Для того чтобы обратимое преобразование (5.32) было каноническим, т. е. чтобы новые переменные Р т удовлетворяли уравнениям Гамильтона, должно выполняться условие [c.221]

Переход от системы уравнений второго порядка к системе уравнений первого порядка можно осуществлять разными способами, и в результате будут получаться, вообще говоря, различные эквивалентные системы. Среди них особенно простую и симметричную структуру имеет система канонических уравнений Гамильтона. Свойства этих уравнений лежат в основе метода Гамильтона-Якоби исследования движений механических систем, а также современной теории возмущений. Канонические уравнения получаются с помощью преобразования Лежандра. [c.626]

На примере циклических координа.т мы видели (см. 8.4), что успех интегрирования систем дифференциальных уравнений, описывающих движение механических систем, в значительной мере зависит от удачного выбора лагранжевых координат. При переходе от одних лагранжевых координат к другим будут по определенному закону изменяться и обобщенные импульсы, так что в новых фазовых переменных уравнения движения вновь примут вид канонических уравнений Гамильтона. Произвольные преобразования фазовых координат таким свойством, вообще говоря, обладать не будут. Интегральный инвариант Пуанкаре (определение 9.5,1) позволяет, подходя с единых позиций как к преобразованию лагранжевых координат, так и обобщенных импульсов, выделить специальный класс преобразований фазовых переменных, не нарушающих структуру канонических уравнений движения. [c.680]

Замечание 9.7.4. Пусть система с п степенями свободы описывается уравнениями Гамильтона и име ет п первых интегралов. Если можно указать такое каноническое преобразование, что эти первые интегралы входят в набор новых канонических переменных, то по теореме 9.7.6 рассматриваемые уравнения Гамильтона можно проинтегрировать аналитически. Это — еще один способ построения переменных действие-угол. [c.692]

Ясно, что если е = О, то величины Qi и Д в силу уравнений движения будут постоянными. Тем самым мы еще раз доказали теорему 9.4.2 Якоби. Закон движения, соответствующий функции Гамильтона Но, имеет вид преобразования координат, в котором изменяется только 1, а величины а,-, Д, г = 1,..., 71 принимаются постоянными. Закон движения с функцией Гамильтона Я дается точно такими же формулами, что и закон движения с функцией Гамильтона Но, но координаты 1,..., о , Д,..., Д заменяются решением системы канонических уравнений с функцией Гамильтона еНх. [c.696]

Канонические преобразования. Уравнение и теорема Остроградского — Гамильтона — Якоби [c.352]

Лекции дают достаточно глубокий фундамент для изучения специальной теории относительности, квантовой механики и других разделов теоретической физики. В них подробно освещаются вариационные принципы и интегральные инварианты механики, канонические преобразования и уравнение Гамильтона — Якоби. [c.2]

Курс аналитической механики является фундаментом, на который опирается изучение таких разделов теоретической физики, как квантовая механика, специальная и общая теория относительности и др. Поэтому в книге подробно освещаются вариационные принципы и интегральные инварианты механики, канонические преобразования, уравнение Гамильтона — Якоби, системы с циклическими координатами (главы И, III, IV и VII). Следуя идеям А. Пуанкаре и Э. Картана, автор кладет в основу изложения материала интегральные инварианты механики, которые здесь являются не декоративным украшением теории, а ее рабочим аппаратом. [c.9]

Углубленный курс классической механики долгое время считался обязательной частью учебных планов по физике. Однако в настоящее время целесообразность такого курса может показаться сомнительной, так как студентам старших курсов или аспирантам он не дает новых физических понятий, не вводит их непосредственно в современные физические исследования и не оказывает им заметной помощи при решении тех практических задач механики, с которыми им приходится встречаться в лабораторной практике. Но, несмотря на это, классическая механика все же остается неотъемлемой частью физического образования. При подготовке студентов, изучающих современную физику, она играет двоякую роль. Во-первых, в углубленном изложении она может быть использована при переходе к различным областям современной физики. Примером могут служить переменные действие— угол, нужные при построении старой квантовой механики, а также уравнение Гамильтона — Якоби и принцип наименьшего действия, обеспечивающие переход к волновой механике, или скобки Пуассона и канонические преобразования, которые весьма ценны при переходе к новейшей квантовой механике. Во-вторых, классическая механика позволяет студенту, не выходя за пределы понятий классической физики, изучить многие математические методы, необходимые в квантовой механике. [c.7]

Желая сохранить структуру исходных уравнений движения, мы будем интересоваться лишь такими преобразованиями, при которых новые переменные Q, Р являются каноническими. Следовательно, мы требуем, чтобы новые уравнения имели ту же форму, что и уравнения Гамильтона, т. е. записывались в виде [c.265]

Функция W известна как характеристическая функция Гамильтона. Мы видим, что она осуществляет каноническое преобразование, в котором все новые координаты являются циклическими. В предыдущей главе мы говорили, что в случае постоянного И такое преобразование, в сущности, целиком решает задачу, так как интегрирование новых уравнений движения становится при этом тривиальным. Канонические уравнения для Р,-фактически снова подтверждают, что импульсы, соответствующие циклическим координатам, являются постоянными [c.309]

Уравнение (9.3), определяющее функцию S, было получено нами с помощью канонического преобразования, осуществляющего переход от канонических координат q, р) к постоянным (а, Р). Покажите, что верно и обратное, т. е. если S qi,ai,t) есть любой полный интеграл уравнения (9.3), то определяемые равенствами (9.6) и (9.7) переменные (qi, pi) будут каноническими и, следовательно, будут удовлетворять уравнениям Гамильтона. [c.343]

Так как при столь общих преобразованиях, как (41.9), величины утрачивают свое первоначальное значение обобщенных импульсов, то величины Р/г, Qk лучше назвать каноническими переменными в этом случае говорят, что и Qk являются канонически сопряженными . Уравнения Гамильтона, вследствие их инвариантности относительно этих преобразований, называются также каноническими дифференциальными уравнениями . [c.294]

Именно в силу этой инвариантности относительно канонических преобразований, уравнения Гамильтона имеют особое значение в астрономической теории возмущений. Равным образом, уравнения Гамильтона играют важную роль и в общей статистике Гиббса. [c.294]

Введение. Принцип наименьшего действия и его обобщение, произведенное Гамильтоном, переводят задачу механики в область вариационного исчисления. Уравнения движения Лагранжа, вытекающие из стационарности некоторого определенного интеграла, являются основными дифференциальными уравнениями теоретической механики. И тем не менее мы еще не достигли конца пути. Функция Лагранжа квадратична по скоростям. Гамильтон обнаружил замечательное преобразование, делающее функцию Лагранжа линейной по скоростям при одновременном удвоении числа механических переменных. Это преобразование применимо не только к специальному виду функции Лагранжа, встречающемуся в механике. Преобразование Гамильтона сводит все лагранжевы задачи к особенно простой форме, названной Якоби канонической формой. Первоначальные п дифференциальных лагранжевых уравнений второго порядка заменяются при этом 2га дифференциальными уравнениями первого порядка, так называемыми каноническими уравнениями , которые замечательны своей простой и симметричной структурой. Открытие этих дифференциальных уравнений ознаменовало собой начало новой эры в развитии теоретической механики. [c.190]

Общая параметрическая формулировка канонических уравнений в форме (6.10.15) с теоретической точки зрения обладает серьезными преимуществами по сравнению с другими формулировками. Ее можно считать наиболее выразительной формой канонических уравнений. Она совсем по-новому освещает роль консервативных систем. Заметим, что после преобразования времени t в одну из механических переменных любая система становится консервативной. Обобщенная функция Гамильтона К не зависит явно от независимой переменной т, и поэтому наша система в расширенном фазовом пространстве становится консервативной. Движение фазовой жидкости является установившимся, и каждая частица жидкости все время находится на какой-то определенной поверхности [c.221]

Отсюда видно, что канонические уравнения сохраняются и что функция Гамильтона Я в новой системе координат, после того как qt,pi выразятся через новые переменные Q,-. Pi, будет иметь тот же вид, что и функция Н в старой системе. Можно сказать, что функция Гамильтона Н инвариантна относительно точечного преобразования (7.2.3). [c.229]

Сопоставим в заключение методы Гамильтона и Лагранжа. В гамильтоновом формализме основными величинами являются , р, и Н. Гамильтониан можно построить с помощью функции Лагранжа и q и р,. Отсюда непосредственно получаются канонические уравнения и динамические переменные. Однако в гамильтоновом формализме время все же играет особую роль по сравнению с пространственными координатами, являясь, по существу говоря, единственной независимой переменной. С одной стороны, это дает возможность провести далеко идущую аналогию с классической механикой, но, с другой стороны, именно поэтому теория оказывается релятивистски неинвариантной. Напротив, в лагранжевом формализме не вводят функции р,-, Н (хотя это и возможно). В лагранжевом методе исходят из вариационного принципа для лагранжиана системы. Из условий для его экстремума получают уравнения движения, а динамические переменные (энергия — импульс, заряд и т. п.) определяются как инварианты, соответствующие различным преобразованиям системы координат и, в случае теории полей, функций поля. В лагранжевом формализме время входит совершенно симметрично с пространством и теория с самого начала релятивистски ковариантна, но зато аналогия с механикой системы точек оказывается гораздо менее отчетливой. [c.878]

Задаем вид преобразования переменных, коэффициентами которого являются неизвестные функции, подлежащие определению. Затем, предполагая, что канонические уравнения движения непотенциальной системы в новых переменных имеют гамильтонову форму, находим обобщенный гамильтониан, зависящий от искомых функций. Эти функции определяем из системы дифференциальных уравнений, полученных при отождествлении канонических уравнений движения рассматриваемой непотенциальной системы и канонических уравнений движения, соответствующих построенной функции Гамильтона, после перехода в этих уравнениях к старым переменным. Таким образом находим явный вид преобразования, обобщенную функцию Гамильтона, которая позволяет привести канонические уравнения движения непотенциальной системы к гамильтоновой форме, и обобщенную функцию Лагранжа, которая дает возможность привести уравнения движения непотенциаль- [c.159]

Все дальнейшие рассуждения будут аналогичны рассуждениям предыдущего пункта. Инвариантность дифференциальной формы гарантирует инвариантность канонических уравнений и снова функция Гамильтона Н оказывается инвариантом преобразования. Более того, мы снова можем включить время t в число позиционных координат. .., qn в качестве дополнительной переменной, перейдя к параметрической форме канонических уравнений. В результате получим реономиую форму преобразований Матье, характеризуемую инвариантностью дифференциальной формы [c.236]

Эти уравнения снова показывают, что два положения движу-щейся фазовой охидкости связаны друг с другом при помош и канонического преобразования. Теперь, однако, можно сказать больше роль W в уравнениях (7.9.10) показывает, что главная функция Гамильтона является производяш,ей функцией того канонического преобразования, которое переводит движущуюся фазовую жидкость из одного состояния в другое, более позднееЧ [c.259]

Есть русский перевод Г. Голдстейн, Классическая механика, Гостехиздат, Москва, 1957.— Изложение, имеющее целью дать методы, требующиеся в квантовой механике. Используются матричный и векторный аппарат. Специальная теория относительности. Уравнения Гамильтона, канонические преобразования, малые колебания, знакомство с лагран-жевой и гамильтоновой формулировками задач для непрерывных систем и полей. [c.440]

ПРАВИЛО (Стокса длина волны фотолюминесценции обычно больше, чем длина волны возбуждающего света фаз Гиббса в гетерогенной системе, находящейся в термодинамическом равновесии, число фаз не может превышать число компонентов больше чем на два ) ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [Галилея — уравнения классической механики, связывающие координаты и время движущейся материальной точки в движущихся друг относительно друга инерциальных системах отсчета с малой скоростью калибровочные — зависящие от координат в пространстве — времени преобразования, переводящие одну суперпозицию волновых функций частиц в другую каноническое в уравнениях Гамильтона состоит в их инвариантности по отношению к выбору обобщенных координат Лоренца описывают переход от одной инерци-альной системы отсчета к другой при любых возможных скоростях их относительного движения] ПРЕЦЕССИЯ — движение оси собственного вращения твердого тела, вращающегося около неподвижной точки, при котором эта ось описывает круговую коническую поверхность ПРИВЕДЕНИЕ системы <к двум силам всякая система действующих на абсолютно твердое тело сил, для которой произведение главного вектора на главный момент не равно нулю, приводится к динаме к дниаме (винту) — совокупность силы и пары, лежащей в плоскости, перпендикулярной к силе скользящих векторов (лемма) всякий скользящий вектор, приложенный в точке А, можно, не изменяя его действия, перенести в любую точку В, прибавив при этом пару с моментом, равным моменту вектора, приложенного в точку А скользящего вектора относительно точки В ) ПРИНЦИП (есть утверждение, оправданное практикой и применяемое без доказательства Бабине при фраунгоферовой дифракции на каком-либо экране интенсивность диафрагмированного света в любом направлении должна быть такой, как и на дополнительном экране ) [c.263]

Н. Н. Бухгольца, И. М. Воронкова, А. П. Минакова и др. Поэтому в данном сборнике задачи по традиционным разделам механики представлены сравнительно слабо и основное внимание уделяется тем ее разделам, которые еще не нашли достаточно полного отражения в учебной литературе, в частности электромеханическим аналогиям, вариационным принципам, интегральным инвариантам, уравнениям Гамильтона, каноническим преобразованиям, методу Якоби и т. д. [c.6]

Она отличается от болыней части ранее изданных курсов теоретической и аналитической механики систематически проведенным подходом, опирающимся на инвариантность и ковариантность законов и уравнений механики по отношению к преобразованиям систем отсчета. На этой идее базируется как и,зложение основных понятий механики, так п обоснование лагранжева и гамильтонова формализма. Большое внимание уделяется leopeMe Э. Нетер и интегральным инвариантам, которые положены в основу изложения теории канонических преобразований и формализма Гамильтона — Якоби. [c.2]

Пример 9.5.3. Преобразование, описываемое системой канонических уравнений Гамильтона, сохраняет объем. Если система автономна дН1д1 = 0), то это преобразование обладает групповыми свойствами. Пусть, кроме того, система склерономна (справедлив интеграл энергии), и потенциал П растет на бесконечности. Тогда теорема Пуанкаре о возвращении применима для области О, выделяемой неравенством [c.671]

Канонические преобразования сохраняют все общие свойства систем уравнений Гамильтона. Изменяется только вид самой функции Гамильтона. Выще мы видели (теорема 9.4.3), что возможность интегрирования таких систем тесно связана именно со спецификой зависимости функции Гамильтона от фазовых переменных. Если удается найти каноническое преобразование, переводящее функцию Гамильтона к такому виду, что систему, полученную после преобразования, можно проинтегрировать, то тем самым проинтегрируются и исходные канонические уравнения. [c.687]

Книга состоит из десяти глав. По охватываемому материалу I Vi главы соответствуют в целом традиционным курсам механики. Задачи остальных четырех глав связаны с тематикой спецкурса Методы интегрирования канонических систем . В отличие от лагранжева формализма гамильтонов подход позволяет в принципе найти решение как каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосредственно к уравнениям. В этом аспекте канонический формализм является мощным рабочим методом, позволяющим получить приближенное решение широкого круга физических и математических задач [1]. Рассмотрены проблемы, относящиеся к интегр ированию нелинейных уравнений, преобразованиям Дарбу и Фрелиха, ВКБ-приближению, определению собственных векторов и собственных значений, гамильтоновой теории специальных функций. Дополнительные преимущества дает метод удвоения переменных, позволяющий использовать канонический формализм для решения нового класса задач алгебраических и трансцендентных уравнений, сингулярио-возму-щенных уравнений, построению Паде-аппроксимантов, обращению интегралов и т. д. Широта диапазона рассматриваемых проблем обусловлена возможностью приведения к гамильтоновой форме нелинейных систем общего вида и универсальностью используемых методов интегрирования. [c.3]

Эти соотношения в пределе при Д О переходят в канонические уравнения Гамильтона. Следовательно, канонические уравнения Гамильтона для механических систем, стесненных голоном-ными связями и находящихся под действием сил с силовой функцией, говорят о том, что движение есть непрерывная во времени последовательность канонических бесконечно малых преобразований переменных д, ps. [c.232]

Интегральные инварианты Пуанкаре. Каноническим11 преобразованиями мы называем такие преобразования, при которых уравнения Гамильтона сохраняют свою форму. Однако при канонических преобразованиях существуют и другие инварианты, в частности интегральные инварианты Пуанкаре. К рассмотрению их мы сейчас и перейдем. [c.274]

Интегрирование по частям интеграла (2.15.3) преобразует первый член подинтегрального выражения в —иу. Теперь мы имеем обычную лагранжеву задачу с переменными I/ и и, которая может быть преобразована в гамильтонову форму, что даст две пары канонических уравнений для четырех переменных у, и, pi, р , они заменяют собой одно первоначальное дифференциальное уравнение четвертого порядка для у. Показать эквивалентность канонической системы и первоначального дифференциального уравнения. Очевидно, что этот метод перехода от вторых производных к первым производным применим при любом количестве переменных. В общем случае при наличии производных m-ro порядка следует начать с выших производных, сводя их к производным т — 1)-го порядка затем процесс повторяется до тех пор, пока в подинтегральном выражении останутся одни лишь первые производные. Это и означает, что под-интегральное выражение приведено при помощи преобразования Гамильтона к каноническому виду. [c.200]

Введение. Мы привели дифференциальные уравнения движения к особенно удобному каноническому виду. Однако наша конечная цель будет достигнута только тогда, когда мы сможем решить эти уравнения. Поскольку нам неизвестен метод непосрественного интегрирования этих уравнений, то приходится идти косвенными путями. Одним из таких путей является метод преобразований координат. Мы пытаемся отыскать такую систему координат в фазовом пространстве, в которой входящая в канонические уравнения функция Гамильтона имела бы настолько простой вид, чтобы уравнения движения могли быть непосредственно проинтегрированы. Естественно, что с этой точки зрения желательно исследовать всю группу преобразований координат, связанных с каноническими уравнениями. Изучение этих канонических преобразований оказывает ценную помощь при интегрировании уравнений механики. Теория канонических преобразований в основном связана с именем Якоби. Хотя он, возможно, и не обладал воображением, присущим Гамильтону, и его усилия были в основном направлены на решение задачи интегрирования уравнений, однако открытие канонических преобразований явилось все же огромным достижением. Получившаяся в результате теория интегрирования сыграла важную рель в развитии современной атомной физики. В далеко идущих исследованиях Гамильтона проблема интегрирования являлась второстепенной задачей. [c.225]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...