Функция Гамильтона построение

На основании соотношений (Ь) можно полагать, что функция 5 зависит от 7 — ti , начальных координат Угй и начальных скоростей уго. Но, как и при построении главной функции Гамильтона, можно определить начальные обобщенные скорости из соотношений (Н) [c.373]

При помощи S-функции Якоби производится преобразование изоэнергетических поверхностей Н = Е в плоскости Qn = Е. Смысл уравнения в частных производных заключается здесь в том, что в одну из новых переменных Q преобразуется функция Гамильтона. В гамильтоновом случае ситуация совершенно иная. Построение Гамильтона вовсе не преобразует изоэнергетические поверхности в плоскости оно целиком развертывается на изоэнергетической поверхности Я = , не выходя за ее пределы. В случае Якоби мы имеем регулярное преобразование, разрешимое как относительно Qk, Pk, так и относительно Qk, Pk- Здесь нет тождества, которому бы удовлетворяли координаты, так как уравнение в частных производных устанавливает некоторое соотношение не между одними qk, pt, а между q , Pk и Q . [c.293]

Построение главном функции Гамильтона 299 [c.299]

Построение главной функции Гамильтона при помощи полного интеграла Якоби. Несмотря на различие подходов, характеризующих теории Гамильтона и Якоби, между W -функцией и 5-функцией имеется определенная связь. Тео- [c.299]

Построение главной функции Гамильтона 301 [c.301]

Мы рассмотрели весьма частные случаи, когда специальная структура функции Гамильтона позволяет дать общий конструктивный способ построения общего интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Следует, однако, отметить, что указанные способы разделения переменных применимы к таким важным задачам механики, как задача о гармоническом осцилляторе, задача о движении физического маятника, задача двух тел, задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае Лагранжа и др. [c.365]

Значительная часть Второго очерка об общем методе в динамике посвящена построению теории возмущений на основе канонических уравнений и понятия главной функции. Гамильтон предлагает два метода в теории возмущений. Первый метод основан на введении поправок к начальным значениям переменных в невозмущенной задаче. Второй метод, который мы изложим, тесно связан с теорией канонических преобразований уравнений динамики. [c.14]

Для составления Л-функции Гамильтона привлечем стандартную схему ее построения. Имеем [c.240]

Поскольку функция Гамильтона д, р) сама является первым интегралом, то она либо совпадает с одним из Ик д, р)) либо является их функцией 71 = Р( 1,. ..,Ип)- Построенная каноническая замена переводит исходный гамильтониан в новый так 71 71= рк, либо так 71 71 = Р р, . .., р ). Система с подобным гамильтонианом в обоих случаях легко интегрируется. Теорема доказана. [c.302]

При этом предполагается, что система п уравнений (1.5) разрешена относительно ди и эти выражения подставлены в функцию Лагранжа и первую сумму формулы (1.6). В случае декартовых координат построение функции Гамильтона системы является элементарным. Криволинейные координаты часто более удобны для анализа динамики систем. [c.10]

Построение функции Гамильтона. Функция Лагранжа Ь — д, уже выражена через координаты и скорости ф. Назовем обобщенным импульсом, соответствующим координате величину (1.5) [c.11]

При построении функции Гамильтона Н переменные р1 принимаются за новые независимые между собой искомые функции времени (2п функций от /). По определению Н (р, д, 1) и свойству однородных квадратичных форм с учетом (1.9) получим функцию Гамильтона системы, выраженную через обобщенные координаты, импульсы и время [c.11]

Важно подчеркнуть, что при построении возмущенной функции Гамильтона мы варьировали только коэффициенты вида ксш,. [c.316]

Из (9) видно, что для построения характеристической функции Гамильтона можно также идти другим путем подставив в выражение [c.740]

Б. Построение переменных действие—угол в случае одной степени свободы. Система с одной степенью свободы на фазовой плоскости (р, q) задается функцией Гамильтона Н (р, q). [c.246]

В. Построение переменных действие — угол в Перейдем теперь к системе с п степенями свободы, заданной в = р, q) функцией Гамильтона Н (р, q) и имеющей п первых интегралов в инволюции Fi = Н, F ,. . ., F . Не будем повторять рассуждений, которые привели нас к выбору 2я/ = dg в одномерном случае, и сразу определим п переменных действия Z. [c.248]

Пример. Пусть V — гладкое многообразие, С — группа Ли, действующая на V как группа диффеоморфизмов, М = Т У — кокасательное расслоение, На — функция Гамильтона пуассоновского действия С на М, построенная выше (см. (1)). [c.340]

Построение, исходя из функции Гамильтона Н 1,д,р), функции Лагранжа возможно, если для Н 1,д,р), выполняется [c.79]

Он построен по образцу механической функции Гамильтона [c.118]

Напомним, что формулы (4.29), (4.30) получены на основе линеаризованной гамильтоновой системы уравнений (2.16). Используя решения системы (2.16) в качестве первого приближения, можно по стандартной схеме теории возмущения последовательно учитывать следующие члены в разложении (2.11) функции Гамильтона, если фд и 2п линейно независимы над кольцом целых чисел (ср. результаты 8 гл. 8). Эта процедура осуществляется путем построения формальных рядов, так называемых рядов Биркгофа ). [c.286]

Наконец, построение формального аналога функции Гамильтона [c.176]

Чтобы закончить это краткое предварительное рассмотрение, заметим еще, что принятая нами концепция разложения системы на компоненты приводит, как это неоднократно отмечалось, к своеобразному методологическому парадоксу. Как мы указывали уже в самом начале главы I, при всей общности и отвлеченности предпосылок статистической механики построение этого учения все же неизменно предполагает, что составляющие материю частицы находятся в состоянии интенсивного взаимодействия, которое прежде всего мыслится как взаимодействие энергетическое, т. е. как передача энергии от одной частицы к другой (например, посредством столкновений) как мы более подробно увидим далее, именно на возможности такого обмена энергетическими ресурсами между частицами вещества статистическая механика и основывает свой метод. Между тем, принимая частицы, составляющие данную физическую систему, за компоненты ее в определенном нами смысле, мы тем самым исключаем возможность какого бы то ни было энергетического взаимодействия между ними. В самом деле, если функция Гамильтона, выражающая энергию нашей системы, является суммой таких функций, каждая из которых зависит от динамических координат только одной частицы (и служит гамильтоновой функцией этой частицы), то, очевидно, и вся система уравнений (1) распадается на системы, каждая из которых описывает движение одной какой-нибудь частицы и никак не связана с прочими частицами поэтому энергия каждой частицы, выражаемая ее гамильтоновой функцией, служит интегралом уравнений движения и, следовательно, не может подвергаться никаким изменениям. [c.31]

Рассмотрим движение материальной системы с конечным числом степеней свободы относительно инерциальной системы отсчета. Предположим, что связи голономные, идеальные и стационарные, активные силы потенциальные, и что функция Лагранжа, построенная для системы, не зависит явно от времени. Следовательно, рассматриваемая система консервативная (может быть, обобщенно-консервативная). Требование консервативности системы свидетельствует о том, что область применимости принципа наименьшего действия значительно уже области, в пределах которой справедлив принцип Гамильтона. [c.252]

При этом предполагается, что система п уравнений (1.11) разрешена относительно и эти выражения подставлены в функцию Лагранжа и первую сумму формулы (1.12). В случае декартовых координат построение функции Гамильтона системы является элементарным. [c.11]

Построение функции Гамильтона. Функция Лагранжа Ь Ь д, д, 1) уже выражена через координаты д и скорости ди Назовем обобщенным импульсом, соответствующим координате <7,-, величину [c.12]

Мы видим, что Гамильтон рассматривает вводимую им функцию как результат индукции в оптической науке. Эта функция охватывает всю геометрическую оптику. Но важно и другое. Гамильтон уже здесь отмечает в общем виде родство принципа Ферма и принципа наименьшего действия. Конечно, отсюда еще довольно далеко до построения такой математической схемы, в которой оптика лучей совпала бы с механикой материальной точки. Здесь еще нет ничего принципиально нового, ибо родство принципа Ферма и принципа наименьшего действия отмечалось и ранее. Лишь в последующее время, когда в разработанной Гамильтоном математической теории совпадут формы уравнений лучевой оптики и механики, определится то, что мы называем оптико-механической аналогией. Но уже в 1827 г. Гамильтон прекрасно [c.810]

Отметим еще одну возможность упрощения задачи интегрирования канонической системы уравнений. Пусть функция Гамильтона Н не зависит явно от времени. Тогда, отбрасывая в уравнениях (40) последнюю дробь, содержащую dt получим систему из 2п — 1 уравнений, которая по-прежнему имеет множитель М = 1. Поэтому для построения ее общего интеграла достаточно знать 2п — 2 первых интеграла. Но так как в рассматриваемом случае материальная система является обобщенно консервативной, то один интеграл нам известен заранее. Это обобщенный интеграл энергии Н = h = onst (см. п. 151). Поэтому для построения общего интеграла достаточно знать еще 2п — 3 первых интеграла. Если, например, п = 2, то кроме интеграла энергии Н = h достаточно найти еще только один первый интеграл. [c.325]

Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости положения равновесия системы спутник — стабилизатор сравнительно легко получаются в общем виде построением функции Ляпунова, роль которой выполняет функция Гамильтона системы. Единственная трудность связана с. тем, что производная от функции Ляпунова в силу уравнений движения является лишь знакопостоянной, а не знакоопределенной функцией, поэтому, теоремы второго метода Ляпунова в этом случае нельзя применить без дополнительного исследования. [c.297]

Д. Доказательство симплектичности построенных координат. Обозначим через Р, (г = 1,. . ., п) гамильтоновы потоки с функциями Гамильтона p , q , а через — соответствую- [c.203]

Следовательно, если нам удастся найти каноническое преобразование, приводящее функцию Гамильтона к такому виду, что канонические уравнения удастся проинтегрировать, то тем самым мы сумеем проинтегрировать и исходные канонические уравнения. Оказывается, задача построения такого канонического преобразования сводится к отысканию достаточно больнгого числа решений уравнения Гамильтона — Якоби в частных производных. Этому уравнению должна удовлетворять производящая функция искомого канонического преобразования. [c.226]

Если уравнения движения диссипативных систем свести к гамильтоновой форме, то можно воспользоваться известными методами для исследования диссипативных систем. Это, в частности, позволит указать один из способов обоснования построения кинетического уравнения для непотенциальных систем и построить континуальную модель двухкомпонентного потока. Для этого в первую очередь необходимо построить обобщенную функцию Гамильтона Н (соответственно обобщенную функцию Лагранжа L ), которая учитывала бы диссипативные 9илы и давала бы возможность представить канонические уравнения движения в гамильтоновой форме. [c.157]

Задаем вид преобразования переменных, коэффициентами которого являются неизвестные функции, подлежащие определению. Затем, предполагая, что канонические уравнения движения непотенциальной системы в новых переменных имеют гамильтонову форму, находим обобщенный гамильтониан, зависящий от искомых функций. Эти функции определяем из системы дифференциальных уравнений, полученных при отождествлении канонических уравнений движения рассматриваемой непотенциальной системы и канонических уравнений движения, соответствующих построенной функции Гамильтона, после перехода в этих уравнениях к старым переменным. Таким образом находим явный вид преобразования, обобщенную функцию Гамильтона, которая позволяет привести канонические уравнения движения непотенциальной системы к гамильтоновой форме, и обобщенную функцию Лагранжа, которая дает возможность привести уравнения движения непотенциаль- [c.159]

Построения, основанные на свободности нреобразования (29.1), т. е. на возможности пользоваться независимыми неременными q, q , привели к главной функции Гамильтона W t,q,q ) — производящей функции унивалентного канонического нреобразования (29.2). Аналогичные построения можно провести при выборе независимых переменных q, р (в данном случае q, р°) — полусвободных преобразований по определению 28.3. Условие полусвободности (28.13) нрн значениях t близких к I0 выполнено (в (29.2) при t = to q° = q° to,q,p) = [c.164]

Подобным же образом, как и в только что приведенном примере, можно также показать [8], что суш ествует каноническая система дифференциальных уравнений с аналитической функцией Гамильтона Н, для которой вообще нет никаких сходящихся интегралов д(х, у), кроме самой Н и сходящихся степенных рядов относительно Н. В случае п = 2 для построения такой функции Н можно исходить опять из формул (18) и (19), но нри этом 1/q нужно заменить еще более быстро стремящейся к нулю функцией от q. Точнее, любую функцию Гамильтона с квадратичной частью i xiy + РХ2У2) произвольно малым изменением коэффициентов членов высших порядков можно превратить в такую, которая уже обладает указанным свойством, т. е. у которой отсутствуют другие сходящиеся интегралы. В связи с этим можно упомянуть теорему Пуанкаре [9]. В ней рассматриваются функции Гамильтона H z, 11), которые, кроме z, . .., Z2n, зависят еще от параметра , причем аналитически около точки = 0. Тогда теорема гласит, что при некоторых предположениях относительно H z, 0) и производной H z, 0), которые в общем случае вьшолнены, не существует других сходящихся степенных рядов по 2п + 1 переменным, . .., Z2n и /i, являющихся интегралами системы Гамильтона, соответствующей функции H(z, 11), кроме степенных рядов по самим Н ъ л. Однако в теореме Пуанкаре ничего не говорится о фиксированных значениях параметра jjL. Мы уже упоминали выше, что система Гамильтона в случае линейно независимых собственных значений Ai,. .., Л может приводиться к нормальной форме подстановкой, задаваемой расходящимся степенным рядом, если не существует п независимых сходящихся интегралов здесь мы построили такой пример. Теперь можно было бы думать, что множество чисто мнимых корней (f = 1,. .., гг), для которых преобразование в нормальную форму представлено расходящимися рядами, имеет п-мерную меру Лебега, равную нулю, как это было [c.280]

Из устойчивости для больпшнства начальных условий вовсе не следует устойчивость по Ляпунову. В статье Арнольда [5] построен пример гамильтоновой системы, устойчивой для большинства начальных условий, но неустойчивой по Ляпунову. Подобное- явление неустойчивости по Ляпунову впоследствии [27] получило название диффузии Арнольда. В построенном в статье [5] примере функция Гамильтона такова, что диффузия Арнольда очень слабая время, в течение которого г (i) находится вблизи г (0), экспоненциально растет при линейном убывании возмущений. [c.88]

Основные этапы построения периодических движений и анализа ихустойчивости состоят в следующем [144]. Сначала найдем полный интеграл S (х, у, а,, 2, т) уравнения Гамильтона — Якоби, соответствующего невозмущенному гамильтону Rq. Полный интеграл S и соотношения dSldai = ( , Рг — onst) дают решение X = Хо ( г. Pi, т), у = Уо ( г, Рг, т), р = р , (а,-, Рг, т), Ру = = Py (ai, Рг, т). Для исследования возмущенного движения (т. е. движения, описываемого полной функцией Гамильтона (2.1)) делаем замену переменных х, у, Рх Ру -> а . Pi, Рг при помощи рмул X = Хо, у = Уо, Рх = Рх,, Ру = Ру.- Новый гамильтониан Л имеет вид [c.256]

Решение последней задачи методами численного интегрирования строгих уравнений движения неэффективно. Однако, используя теорию возмущений, можно получить приближенное аналитическое описание многообразия условно-периодических траекторий. По-видимому, к настоящему времени с наибольшей полнотой поставленная задача рассмотрена в работе [133]. Этой же задаче посвящена и настоящая глава книги. Примененный метод построения условно-периодических (и всех возможных других) траекторий вблизи Ь.2 основан на проведении ряда последовательных канонических преобразований переменных, приводящих функцию Гамильтона задачи к нормальной форме, для которой начальные условия, обеспечивающие различные (например, условно-периодические) тразктории, находятся весьма просто. Проведенные в настоящей главе построения могут быть положены в основу теории пассивного движения КА вблизи Ь . [c.266]

Для упорядоченной сетки это были бы, разумеется, функции Блоха, отвечающие гамильтониану При малых величинах д они оказываются очень близкими по форме к собственным функциям гамильтониана неупорядоченной системы, построенным в локальном базисе, и они почти точно ортогональны друг другу (ср. с 11.2). Таким образом, вблизи центра зоны Бриллюэна ход плотности состояний, отвечающий блоховским волнам, приближенно воспроизводится в модели стеклообразной сетки. Подобным же образом промодулированные знакопеременные функции типа (11.39) соответствуют участку спектра вблизи другого края зоны однозонного гамильтониана те же соображения справедливы и при переходе к представлению орбиталей связей [25]. Не лишне заметить, что функции типа модулированных волн (11.40) делокализованы, амплитуды их почти постоянны в образце. Если они и в самом деле удовлетворительно аппроксимируют собственные функции гамильтониана, то можно сделать вывод, что электроны в состояниях вблизи краев зон в модели тетраэдрического стекла не локализованы. Итак, хвосты зон и пороги подвижности, возникающие в модели Андерсона ( 9.9), не должны появляться в этих материалах ). [c.532]

Книга состоит из десяти глав. По охватываемому материалу I Vi главы соответствуют в целом традиционным курсам механики. Задачи остальных четырех глав связаны с тематикой спецкурса Методы интегрирования канонических систем . В отличие от лагранжева формализма гамильтонов подход позволяет в принципе найти решение как каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосредственно к уравнениям. В этом аспекте канонический формализм является мощным рабочим методом, позволяющим получить приближенное решение широкого круга физических и математических задач [1]. Рассмотрены проблемы, относящиеся к интегр ированию нелинейных уравнений, преобразованиям Дарбу и Фрелиха, ВКБ-приближению, определению собственных векторов и собственных значений, гамильтоновой теории специальных функций. Дополнительные преимущества дает метод удвоения переменных, позволяющий использовать канонический формализм для решения нового класса задач алгебраических и трансцендентных уравнений, сингулярио-возму-щенных уравнений, построению Паде-аппроксимантов, обращению интегралов и т. д. Широта диапазона рассматриваемых проблем обусловлена возможностью приведения к гамильтоновой форме нелинейных систем общего вида и универсальностью используемых методов интегрирования. [c.3]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...