КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Канонические уравнения Гамильтона

Эта замечательная система уравнении впервые появилась в одной из статей Лагранжа (1809), в которой шла речь о теории возмущений для механических систем. Лагранж не заметил глубокой связи между этими уравнениями и уравнениями движения. Первый указал на истинное значение этих уравнений 1<оши(в неопубликованном мемуаре в 1831 г.). Гамильтон положил эти уравнения в основу своих выдающихся исследований а области механики. Поэтому название канонические уравнения Гамильтона вполне оправдано, хотя работа Гамильтона появилась лишь в 1835 г. [c.196]

Это — уравнения движения в форме Гамильтона их называют также каноническими уравнениями. Переход от лагранжевых уравнений к уравнениям Гамильтона — чисто математический процесс, не имеющий никакого отношения к исходной динамической системе. Для любой системы, описываемой уравнениями Лагранжа в форме (46.18), будут иметь место уравнения Гамильтона в [c.129]

Уравнения (67) называются каноническими уравнениями Гамильтона, а функция Я, зависящая от 25 канонических переменных gi, 72, -.д , Ри. - р времени t, называется функцией Гамильтона. Для механической системы с 5 степенями свободы будет 2s канонических уравнений (67). Уравнения Гамильтона представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка . Интегрирование этих уравнений дает 25 величин Qi,. . gs, pi, ps в функции времени и 25 произвольных постоянных. [c.513]

Интегралы движения, преобразование Рауса, канонические уравнения Гамильтона, уравнения Якоби— Гамильтона, принцип Гамильтона — Остроградского [c.372]

Рассмотрим метод, предложенный Гамильтоном , позволяющий S уравнений Лагранжа вида (126.3) преобразовать в систему 2s обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, называемых каноническими уравнениями Гамильтона. [c.366]

Если движение механической системы с s степенями свободы определяется 2s каноническими уравнениями Гамильтона (132.5) [c.374]

Какому условию должен удовлетворять интеграл канонических уравнений Гамильтона [c.390]

Полученные уравнения являются каноническими уравнениям Гамильтона (132.5). [c.407]

Заменяя в этом равенстве qj и pj их выражениями из канонических уравнений Гамильтона, получаем [c.304]

Рассмотрим, далее, произвольную систему канонических уравнений Гамильтона с некоторым фиксированным гамильтонианом Н и применим к ней преобразование (ИЗ). Может случиться, что полученные уравнения окажутся уравнениями Гамильтона с некоторым гамильтонианом Н. Но может случиться и так, что уравнения, полученные в результате преобразования, уже не будут иметь вид уравнений Гамильтона. [c.312]

Итак, мы реализовали намеченную в начале этого параграфа программу и определили движение системы, обходя интегрирование канонических уравнений Гамильтона. Правда, при этом нам понадобилось найти полный интеграл уравнения в частных производных. [c.324]

Уравнение Гамильтона — Якоби в классической механике используется, главным образом, в тех случаях, когда по каким-либо причинам легче найти полный интеграл этого уравнения, чем проинтегрировать канонические уравнения. Примеры такого рода будут приведены в следующем параграфе. Роль уравнения Гамильтона — Якоби для теоретической физики состоит в том, что уравнение Шредингера, являющееся основным уравнением квантовой механики, в пределе переходит в уравнение Гамильтона — Якоби классической механики. Именно через уравнение Гамильтона—Якоби устанавливается контакт между классической и квантовой механикой. [c.325]

Таким образом, поставленная задача полностью решена —при исследовании консервативных и обобщенно консервативных систем выписаны уравнения типа канонических уравнений Гамильтона (или типа Лагранжа), но порядок систем этих уравнений уменьшен на два за счет использования интеграла энергии и введения независимой квадратуры (147). [c.330]

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА [c.119]

Канонические уравнения Гамильтона [c.122]

Г КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА 123 [c.123]

Полученная система 2s уравнений первого порядка называется системой канонических уравнений Гамильтона. [c.124]

Пример 39. Составить канонические уравнения Гамильтона для примера, рассмотренного в предыдущем параграфе. [c.125]

Пример 41. Составить канонические уравнения Гамильтона для плоского движения материальной точки М массы т, притягиваемой к двум неподвижным центрам силами, обратно пропорциональными расстояниям от точки до притягивающих центров Afi и М2 ). [c.127]

Пример 42. Составить канонические уравнения Гамильтона для гироскопического маятника ( ис. 5.4). Груз В имеет массу тз и [c.130]

Если для всех значений q-m и р , являющихся решением канонических уравнений Гамильтона [c.132]

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА 1ГЛ, 5 [c.140]

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА [ГЛ, б [c.152]

Из принципа Гамильтона — Остроградского можно получить и канонические уравнения Гамильтона. Действительно, из выражения (5.6) для функции Гамильтона [c.218]

Содержащиеся в книге методы анализа систем канонических уравнений Гамильтона включают метод Якоби-Гамильтона, теорию последнего множителя Якоби [70], интегральные инварианты, переменные действие-угол [21, 49, 55]. Для иллюстрации эффективности приложений всего этого арсенала методов в книге даются элементы теории возмущений. [c.13]

Переход от системы уравнений второго порядка к системе уравнений первого порядка можно осуществлять разными способами, и в результате будут получаться, вообще говоря, различные эквивалентные системы. Среди них особенно простую и симметричную структуру имеет система канонических уравнений Гамильтона. Свойства этих уравнений лежат в основе метода Гамильтона-Якоби исследования движений механических систем, а также современной теории возмущений. Канонические уравнения получаются с помощью преобразования Лежандра. [c.626]

Пусть переменные р,-, qi удовлетворяют каноническим уравнениям Гамильтона. Тогда [c.633]

Другими словами, полная производная от Н по времени в силу канонических уравнений Гамильтона совпадает с частной производной от Н по времени. [c.633]

Следствие 9.2.4. Обобщенный импульс р , соответствующий циклической координате д,, сохраняет в силу канонических уравнений Гамильтона во все время движения постоянное значение. [c.634]

Пример 9.2.1. Треугольная призма массы М может скользить по гладкой горизонтальной плоскости (рис. 9.2.1). Однородный цилиндр радиуса г и массы т может катиться без проскальзывания под действием силы тяжести по боковой грани призмы, образующей угол а с горизонтом. Ось цилиндра в процессе движения горизонтальна. Составить канонические уравнения Гамильтона. [c.634]

Видим, что координата 91 циклическая. Это — проявление возможности поступательного перемещения всей системы по горизонтальному направлению. Импульс pi есть постоянный параметр, вычисляемый по начальным условиям. Система канонических уравнений Гамильтона принимает вид [c.636]

Записанный так интегральный инвариант Пуанкаре — Картана для консервативных систем отличается от интегрального И11ва-рианта в общем случае движения в потенциальном поле в трех отношениях во-первых, суммирование в первом члене ведется не от единицы до л, а от двух до п во-вторых, вместо гамильтониана Я в этом выражении стоит функция К, которая получилась, когда интеграл энергии (136) был разрешен относительно импульса Pi (см. выражение (138)) в-третьнх, роль t играет теперь <7i. Таким образом, воспользовавшись тем, что для консервативных и обобщенно консервативных систем гамильтониан не зависит явно от времени, мы исключили время из выражения интегрального инварианта Пуанкаре — Картана. Теперь совершенно так же, как в общих случаях движения систем в потенциальном поле из интегрального инварианта Пуанкаре — Картана следуют канонические уравнения Гамильтона, для консервативных и обобщенно консервативных систем из интегрального инварианта (139) следуют уравнения [c.328]

При составлении уравнений Лагранжа или канонических уравнений Гамильтона выбор обобщенных координат был ироизволен в том смысле, что за такие координаты можно было выбрать любые s независимых между собой величин, однозначно определяющих положение рассматриваемой динамической системы. Формальный вид этих уравнений не зависит от той системы обобщенных координат, которая выбирается. Это значит, что если от каких-либо обобщенных координат Q, Q2,. ... Qs перейти к новым обобщенным координатам q, q i,. . по формулам [c.137]

Пусть движение голоыомной системы описывается каноническими уравнениями Гамильтона [c.153]

Как инструмент для изучения произвольных голономных систем материальных точек получены уравнения Лагранжа второго рода и канонические уравнения Гамильтона [66]. Дается понятие о лагран-жевом формализме [1, 36]. Изучается поведение полной энергии системы в зависимости от структуры обобщенных сил и кинетической энергии. Дается метод циклических координат [5, 58]. Устанавливается, что для голономных систем интегргипы количества движения, кинетического момента и обобщенный интегргия энергии Якоби [70] всегда могут быть представлены как следствие существования соответствующих циклических координат. Указывается на возможность использования аппарата теории групп для поиска интегралов движения [5]. Изложение вариационных принципов Гамильтона и Мопертюи-Лагранжа-Якоби [17, 38, 70] выполнено в соответствии с современной теорией оптимальных процессов [2, 5, 13]. Геометрически наглядная трактовка придана теории малых колеба- [c.12]

Следствие 9.2.3. Система канонических уравнений Гамильтона имеет первый интеграл вида Н = к, где к — постоянная инте-грирования, тогда и только тогда, когда функция Гамильтона Н не зависит явно от времени дH/дt = 0. Для систем материальных точек этот интеграл эквивалентен обобщенному интегралу энергии Якоби, для склерономных систем с потенциальными силами — интегралу полной механической энергии. [c.634]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...