Функция Гамильтона характеристическая

Вместо главной функции Гамильтона введем характеристическую функцию Якоби. Характеристическая функция связана с главной функцией некоторым соотношением. Это соотношение совпадает с соотношением между механическим действием согласно Гамильтону и Остроградскому и механическим действием согласно Эйлеру и Лагранжу. Рассмотрим снова функцию [c.372]

Характеристическая функция Гамильтона. В случае простого гармонического колебания мы смогли найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. В основном это удалось сделать потому, что S можно было разбить на две части, одна из которых содержала только q, а другая — только /. Мы сейчас увидим, что если старый гамильтониан не содержит явно t, то такое разделение всегда возможно. [c.308]

S.31 характеристическая функция ГАМИЛЬТОНА 309 [c.309]

Функция W известна как характеристическая функция Гамильтона. Мы видим, что она осуществляет каноническое преобразование, в котором все новые координаты являются циклическими. В предыдущей главе мы говорили, что в случае постоянного И такое преобразование, в сущности, целиком решает задачу, так как интегрирование новых уравнений движения становится при этом тривиальным. Канонические уравнения для Р,-фактически снова подтверждают, что импульсы, соответствующие циклическим координатам, являются постоянными [c.309]

Мы рассмотрели два метода решения задач механики один с помощью главной функции Гамильтона, другой с помощью характеристической функции Гамильтона. Полученные результаты можно записать теперь в виде следующей сравнительной схемы. [c.310]

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ГАМИЛЬТОНА [c.311]

Аналогичное разделение переменных в характеристической функции Гамильтона можно произвести в том случае, когда все координаты, кроме одной, являются циклическими. Рассмотрим, например, тот случай, когда единственной нециклической координатой является q. Будем искать W в виде [c.314]

W характеристическая функция Гамильтона, [c.409]

Wi характеристическая функция Гамильтона в задаче о разделении переменных, WI угол (в переменных действие — угол), [c.409]

Функциональная производная лагранжиана 383 Функция Гамильтона главная 302 -- характеристическая 308 [c.414]

В ТО время как в уравнениях Лагранжа независимыми переменными являлись обобщенные координаты и обобщенные скорости в уравнениях Гамильтона которые мы теперь выведем двумя различными способами, независимыми переменными являются обобщенные координаты qk и обобщенные импульсы р/., причем последние определяются выражением (36.9а). Далее, в то время как в уравнениях Лагранжа характеристической функцией была свободная энергия Т — У, рассматриваемая как функция qk и qk, в уравнениях Гамильтона роль такой характеристической функции играет полная энергия Т + V, рассматриваемая как функция qk и pk- Назовем ее функцией Гамильтона и обозначим через H q, р), подобно тому, как мы называли свободную энергию функцией Лагранжа и обозначали ее через L q, q). Функции Н и L связаны соотношением (34.16), которое, учитывая определение р/., можно переписать в виде [c.288]

Это и есть, по существу, преобразование Гамильтона системы (1). Остается еще установить одно особенно важное обстоятельство, заключающееся в том, что правые части уравнений (1 ), (2 ) можно выразить посредством одной единственной функции от р, q, t, называемой функцией Гамильтона i) или характеристической функцией, так что система первого порядка (1 ), (2 ) с формальной точки зрения будет столь же простой, как и первоначальная лагранжева система, зависящая от одной только функции 2 ). Функция Гамиль- [c.240]

Добавлена новая глава XII Теория импульсивных движений и 6 главы XI Переменные действие-угол , расширен п. 95, посвященный эллиптическим интегралам и функциям, в 4 главы XI добавлено несколько новых примеров канонических преобразований, а в 5 этой же главы — новый п. 178, в котором рассматривается характеристическая функция Гамильтона. [c.14]

Характеристическая функция Гамильтона. Функцию У, входящую в правую часть равенства (14), называют характеристической функцией Гамильтона. Она удовлетворяет уравнению (13) и была введена в п. 177 как не зависящая от времени часть производящей функции 5, задающей свободное каноническое преобразование, приводящее функцию Гамильтона f( i,..., pi,..., рп) консервативной или обобщенно консервативной системы к функции % = 0. [c.361]

Таким образом, характеристическая функция Гамильтона задает каноническое преобразование, приводящее функцию ..., [c.362]

Замечание 3. Выбор величин входящих в характеристическую функцию Гамильтона, в качестве новых импульсов является в некоторой степени произвольным. Постоянные o i, 2,..., Oin-i имеют, вообще говоря, определенного физического смысла, а просто представляют собой набор постоянных, появляющихся в процессе нахождения полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. [c.362]

Случай одной степени свободы. Продолжим начатое в п. п. 177-179 изучение некоторых вопросов, связанных с интегрированием консервативных и обобщенно консервативных систем. Будем изучать системы, движения которых обладают описанным ниже свойством периодичности. Для таких систем Делонэ предложил специальный выбор постоянных импульсов а (г = 1, 2,..., п) в характеристической функции Гамильтона п. 178. Эти новые импульсы представляют собой п независимых функций от набора величин появляющихся при нахождении полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Они называются действиями (точные определения см. далее) и ниже чаще всего будут обозначаться /. Канонически сопряженные к ним координаты wi называются угловыми переменными. Переменные действие-угол wi весьма удобны для описания движений, обладающих свойством периодичности. Они находят широкое применение в теории возмущений. [c.371]

НЬЮ свободы, причем ф 0. Тогда, согласно п. 177-179, характеристическая функция Гамильтона V = V q ), где а = h — постоянная [c.371]

О переменных действие-угол для системы с п степенями свободы. Ограничимся лишь случаем, когда уравнение (13) п. 177, определяющее характеристическую функцию Гамильтона F, является уравнением с разделяющимися переменными. Тогда [c.379]

Пусть характеристическое уравнение, соответствующее линеаризованной системе уравнений движения, задаваемой функцией Гамильтона Я2, имеет только простые чисто мнимые корни (/с = 1, 2,..., п). Тогда, как показано в предыдущем пункте, подходящим выбором канонически сопряженных переменных функцию Н2 можно представить в виде правой части равенства (32). Если еще сделать каноническую замену переменных [c.399]

Задача о параметрическом резонансе. Линейные гамильтоновы системы, содержащие малый параметр. В приложениях матрица Н( ) системы (3) обычно зависит от одного или нескольких параметров. Задача о параметрическом резонансе дли системы (3) состоит в определении тех значений параметров, при которых ее характеристическое уравнение (14) имеет корни (мультипликаторы) с модулями, большими единицы. Иными словами, эта задача состоит в нахождении тех значений параметров, при которых система (3) неустойчива. Ограничимся рассмотрением того частного случая, когда функция Гамильтона соответствующая системе (3), представляется в виде сходящегося ряда по степеням малого параметра е [c.550]

Функция Гамильтона 285, 343, 353 --характеристическая 361 [c.569]

Определим характеристическую функцию Гамильтона. Эта функция определяется интегралом действия К, взятым вдоль действительного пути и выраженным через начальные и конечные координаты и постоянную энергии h. Обозначим характеристическую функцию через К ( ю, 920> Qno> qii, Q2i,. . ., Qni, h). Основное уравнение (27.1.5) определяет вариацию характеристической функции при произвольных вариациях ее 2ге -f 1 аргументов. Это соотношение аналогично классической формуле (15.5.11) для [c.553]

Здесь V — характеристическая функция Гамильтона, при помощи которой можно вывести все свойства системы лучей, если нам известен вид функции V. Заметив, что 2 / = из уравнения (3) легко получить [c.811]

Подробное изложение принципа Даламбера, уравнений Лагранжа, вариационных принципов, вариации произвольных постоянных, оптики Гамильтона, характеристической функции, уравнений Гамильтона — Якоби, разделения переменных, интегральных инвариантов, систематическое интегрирование систем канонических уравнений, канонические преобразования, подстановки или производящие функции, эквивалентные системы. [c.442]

Характеристическая функция Гамильтона. Положим, что данная материальная система консервативна тогда по формуле (33.25) на стр. 347 одним из интегралов уравнений движения служит интеграл энергии [c.454]

Перейдя к механике, Гамильтон показал значение в ней своего нового вариационного принципа, а его характеристическая функция для задач механики ( функция Гамильтона Н) оказалась, при довольно широких условиях, совпадающей с энергией механической системы. Зная, как выражается функция Н через координаты и импульсы составляющих систему материальных точек, можно сразу составить дифференциальные уравнения, определяющие координаты и импульсы. Получающаяся система дифференциальных уравнений ( канонические уравнения ) равносильна системе уравнений движения, в частности — системе уравнений Лагранжа второго рода, но обладает некоторыми особыми свойствами, облегчающими ее исследование. [c.208]

Рассмотрим сначала нерезонансный случай. Решая в целых числах систему уравнений i, + v, = ц, — v, = tj. = О, получаем-fi, = V, = 1./2, т. е. все компоненты характеристического вектора гармоники I в этом случае могут быть только четными. Отсюда,, в частности, следует, что в нерезонансном случае все члены нечетного порядка т в новой функции Гамильтона можно уничтожить полностью. Из членов четного порядка в Кт останутся только члены вида [c.223]

Действие в роли одноточечной и двухточечной характеристических функций, главной функции Гамильтона, производящей функции для канонических преобразований, описано в работах [25, 137]. Например Определим двухточечную характеристическую, или главную, функцию как лагранжево или гамильтоново действие (они равны) от точки В до точки В вдоль луча... (см. [137], с. 235). Эта функция двух точек расширенного координатного пространства (пространства [c.60]

Методом нормальных форм Биркгофа в окрестности возмущенных неустойчивых периодических решений + 0 е) можно найти периодическую по t формальную каноническую замену переменных Z и, приводящую функцию Гамильтона H z,t,e) к функции Н и,е), не зависящей от t. Из-за соизмеримости характеристических показателей это преобразование Биркгофа может расходиться. Однако в случае одной степени свободы (п= 1) формальные ряды замены переменных z — и всегда сходятся и аналитически зависят от параметра е (Ю. Мозер [217]). [c.265]

Функция Гамильтона Н в аноничеоких уравнениях играет роль подобную функции Лагранжа в уравнениях Лагранжа. Ее задание равносильно по становке задачи, в связи с этим функция Гамильтона является характеристической функцией механической системы. [c.91]

Координата ср циклическая. Поэтому = а,р = onst, а характеристическая функция Гамильтона имеет вид [c.382]

Сравнение характеристической функции Гамильтона с главной функцией показывает, что последняя обладает большей простотой. Поясним это на простом примере. Рассмотрим плоское движение частицы в однородном поле. Если задать начальную точку Xq, г/о и конечную точку х , у , а также начальный и конечный моменты времени to и ti, то движение частицы тем самым будет полностью определено. Отсюда следует, что функция S будет однозначной функцией пяти аргументов Хд, г/д, Xi, 1/1, ti — — и будет определена для всех значений аргументов. (В 15.9 мы ее вычисляли.) Если же мы зададим точки Xq, ti х , и постоянную энергии h, то можем получить либо две траектории, либо одну, либо ни одной. Таким образом, функция Z будет л мдгозкачкой функцией своих пяти аргументов Xq, i/q, Xi, yi, h, и определена она будет лишь для некоторых значений аргументов. Выражение для для рассматриваемой задачи будет дано позже ( 27.10). [c.553]

XLII. ГЛАВНАЯ ФУНКЦИЯ ГАМИЛЬТОНА В НЕЗАВИСИМЫХ КООРДИНАТАХ. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 237. Главная функция Гамильтона в независимых координатах. [c.446]

Это привело его к мысли ввести новую функцию S, которая была бы связана с F и из которой был а бы исключена упомянутая константа. В итоге исключения, посредством которых (Гамильтон.— Л. П.). .. я был вынужден избавиться от этой вспомогательной константы и ввести взамен ее время, сделали метод более обширным, чем он был В дальнейшем функция S taHOBHT fl основной функцией Гамильтона. Уже в конце своей первой статьи Гамильтон помещает краткую главу под названием Введение времени в общем виде в выражение характеристической функции в любой задаче динамики . [c.212]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...