Канонические преобразования уравнения

Канонические преобразования. Уравнение и теорема Остроградского — Гамильтона — Якоби [c.352]

Курс аналитической механики является фундаментом, на который опирается изучение таких разделов теоретической физики, как квантовая механика, специальная и общая теория относительности и др. Поэтому в книге подробно освещаются вариационные принципы и интегральные инварианты механики, канонические преобразования, уравнение Гамильтона — Якоби, системы с циклическими координатами (главы И, III, IV и VII). Следуя идеям А. Пуанкаре и Э. Картана, автор кладет в основу изложения материала интегральные инварианты механики, которые здесь являются не декоративным украшением теории, а ее рабочим аппаратом. [c.9]

Именно в силу этой инвариантности относительно канонических преобразований, уравнения Гамильтона имеют особое значение в астрономической теории возмущений. Равным образом, уравнения Гамильтона играют важную роль и в общей статистике Гиббса. [c.294]

Значительная часть Второго очерка об общем методе в динамике посвящена построению теории возмущений на основе канонических уравнений и понятия главной функции. Гамильтон предлагает два метода в теории возмущений. Первый метод основан на введении поправок к начальным значениям переменных в невозмущенной задаче. Второй метод, который мы изложим, тесно связан с теорией канонических преобразований уравнений динамики. [c.14]

Пусть теперь к = г1. Поскольку переход от переменных р, д к переменным I, ф совершается теперь зависящим от времени каноническим преобразованием, уравнения движения в новых переменных /, ф имеют гамильтонов вид, но с функцией Гамильтона (см. 45, А, стр. 213) [c.264]

Иными словами, соотношения ( ) надо будет для этого рассматривать как вводящие каноническое преобразование уравнения (65). Поскольку эти уравнения явно содержат время, то новая функция Гамильтона Н не будет более совпадать со старой, ее надо будет искать из уравнений (71), которые примут вид [c.137]

Естественно возникает вопрос по отношению к какому классу преобразований q и р ковариантны уравнения Гамильтона Класс преобразований q, р, по отношению к которым уравнения Гамильтона ковариантны, называется классом канонических преобразований. Разъясним это определение подробнее. [c.311]

Канонические преобразования могут быть использованы для того, чтобы упростить систему уравнений Гамильтона, сделать ее более удобной для интегрирования. Далее канонические преобразования будут использованы для того, чтобы получить из уравнений Гамильтона иную форму уравнений движения — уравнение в частных производных Гамильтона — Якоби. [c.312]

В случае свободных канонических преобразований можно задаваться произвольными старыми и новыми обобщенными координатами <7 и и определить по ним старые и новые импульсы р и р. Старые импульсы находятся из первой группы уравнений (123), а новые импульсы —из второй группы этих уравнений (при подстановке вместо р выражений, полученных ранее из первой группы уравнений). [c.318]

Перейдем к рассмотрению канонических преобразований. В общем случае канонических преобразований при переходе от переменных qm, Рт, t к переменным Р т канонические уравнения [c.141]

Теорема 9.7.3. Пусть IV есть производящая функция в смысле определения 9.7.2. Тогда каноническое преобразование можно задать с помощью следующих уравнений [c.683]

Следствие 9.7.6. Движение, описываемое каноническими уравнениями Гамильтона, можно интерпретировать как каноническое преобразование, в котором роль параметра играет время 1, а производящей функцией служит функция 5 действия по Гамильтону. [c.687]

Замечание 9.7.4. Пусть система с п степенями свободы описывается уравнениями Гамильтона и име ет п первых интегралов. Если можно указать такое каноническое преобразование, что эти первые интегралы входят в набор новых канонических переменных, то по теореме 9.7.6 рассматриваемые уравнения Гамильтона можно проинтегрировать аналитически. Это — еще один способ построения переменных действие-угол. [c.692]

Теорема 9.7.9. (Теорема Лиувилля об интегралах в инволюции). Пусть имеется п независимых, находящихся в инволюции первых интегралов /ь...,/ системы уравнений Гамильтона. Тогда существует каноническое преобразование, приводящее уравнения движ.ения к форме [c.694]

Вариант 2. Предположим, что функция Но допускает введение переменных действие-угол. Это значит, что существует каноническое преобразование q,p) —> , п) с производящей функцией [V, удовлетворяющей уравнению типа уравнения Гамильтона-Якоби [c.700]

Преобразование канонических переменных, сохраняющее инвариантными канонические уравнения движения, называется каноническим преобразованием. [c.353]

Для нахождения канонических преобразований вида (Ь) заметим, что система канонических уравнений (а) эквивалентна вариационному равенству [c.353]

Решение этого уравнения сводится к квадратурам. Тогда получим формулы искомого канонического преобразования [c.356]

Доказанная теорема позволяет сделать вывод, аналогичный приведенному в 127. Переход от одной точки в многообразии изображающих точек, соответствующих системе канонических уравнений динамики, к другой точке Этого многообразия можно рассматривать как результат бесконечной последовательности бесконечно малых канонических преобразований, определенных формулами (II. 388). [c.388]

Теорема. При каноническом преобразовании (А) любая гамильтонова система дифференциальных уравнений (1) переходит снова в гамильтонову систему [вообще говоря, с другой функцией Гамильтона t)) [c.290]

Переменный вектор , входящий в преобразованное уравнение (5.49) с матрицей коэффициентов (5.51), называется каноническим вектором, а его элементы z , Zj,. ... . ., z — каноническими переменными. [c.144]

Найти решение уравнения x=f xli) методом канонических преобразований. [c.316]

Уравнения (38.5) и (38.8) соответственно для и сходны с теми, которые выведены методом самосогласованного поля Хартри, а также с уравнением, выведенным путем канонического преобразования (см. ниже). [c.761]

Касательные, или канонические, преобразования обладают одним весьма полезным свойством, облегчающим интегрирование уравнений динамики. Вместо прежних переменных р.- введем новые переменные i, Pi, удовлетворяющие условию касательного преобразования [c.278]

Канонические преобразования уравнений Гамильтона выводятся из иринцппа наименьшего действия [c.230]

Она отличается от болыней части ранее изданных курсов теоретической и аналитической механики систематически проведенным подходом, опирающимся на инвариантность и ковариантность законов и уравнений механики по отношению к преобразованиям систем отсчета. На этой идее базируется как и,зложение основных понятий механики, так п обоснование лагранжева и гамильтонова формализма. Большое внимание уделяется leopeMe Э. Нетер и интегральным инвариантам, которые положены в основу изложения теории канонических преобразований и формализма Гамильтона — Якоби. [c.2]

Замена переменных, приводящая систему (2.92) к системе линейных уравнений с постоянными коэффициентами, определяется матрицей G(t) неоднозначно. Изложим алгоритм построения линейного вещественного, 2я-периодического по t, канонического преобразования, приводящего систему дифференциальных уравнений (2.92) к нормальной форме [18]. Будем предполагать,чтохараюеристические показатели Ху системы (2.92) чисто мнимые, Ху lOj, а все мультиштикаторы [c.129]

Канонические преобразования сохраняют все общие свойства систем уравнений Гамильтона. Изменяется только вид самой функции Гамильтона. Выще мы видели (теорема 9.4.3), что возможность интегрирования таких систем тесно связана именно со спецификой зависимости функции Гамильтона от фазовых переменных. Если удается найти каноническое преобразование, переводящее функцию Гамильтона к такому виду, что систему, полученную после преобразования, можно проинтегрировать, то тем самым проинтегрируются и исходные канонические уравнения. [c.687]

Теперь возвратимся к вопросу об интегрировании системы канонических уравнений. Предположим, что найдено каноническое преобразование, переводящее канонические переменные qj и Р] в циклические координаты Qj и идшульсы Р]. Тогда на основании предыдущего найдем [c.355]

Понятие канонического преобразования. Рассмотрим гамильтонову систему дифференциальных уравнений в векторно-мат-ричыой форме [c.285]

Практический смысл канопнческих преобразований состоит в упрощении уравнений движения, в выборе таких иовых координат в фазовом нространстве, которые более удобны для решения задачи о движении системы, нежели исходные старые координаты. Метод канонических преобразований является широко распространенным и эффективным методом последования гамильтоновых уравпеиий. [c.286]

В следующем пункте мы покажем, как, используя канонические преобразования, можно получить приближенное оиисаиие движения рассматриваемой системы вблизи ее положения равновесия. Для этого предварительно рассмотрим некоторые вопросы, связанные с линейными дифферепциальиымп уравнениями Гамильтона с постоянными коэффицпеитамн. [c.317]

Книга состоит из десяти глав. По охватываемому материалу I Vi главы соответствуют в целом традиционным курсам механики. Задачи остальных четырех глав связаны с тематикой спецкурса Методы интегрирования канонических систем . В отличие от лагранжева формализма гамильтонов подход позволяет в принципе найти решение как каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосредственно к уравнениям. В этом аспекте канонический формализм является мощным рабочим методом, позволяющим получить приближенное решение широкого круга физических и математических задач [1]. Рассмотрены проблемы, относящиеся к интегр ированию нелинейных уравнений, преобразованиям Дарбу и Фрелиха, ВКБ-приближению, определению собственных векторов и собственных значений, гамильтоновой теории специальных функций. Дополнительные преимущества дает метод удвоения переменных, позволяющий использовать канонический формализм для решения нового класса задач алгебраических и трансцендентных уравнений, сингулярио-возму-щенных уравнений, построению Паде-аппроксимантов, обращению интегралов и т. д. Широта диапазона рассматриваемых проблем обусловлена возможностью приведения к гамильтоновой форме нелинейных систем общего вида и универсальностью используемых методов интегрирования. [c.3]

Решение. Рассматриваемый интеграл является решением дифференциального уравнения x-=f x) с начальным условием л (0) = =0. Вводя фазовое л-, р-пространство и гамильтониан H=pf x), мы получи.м возможность использовать мощные методы теории канонических преобразований. Рассмотрим функцию Якоби. г= =sn(/, k) — эллиптический спиус. В этом случае f= [c.319]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...