Новые канонические переменные

Определение 9.7.2. Выберем из новых канонических переменных некоторый набор, содержащий п величин [c.682]

Замечание 9.7.4. Пусть система с п степенями свободы описывается уравнениями Гамильтона и име ет п первых интегралов. Если можно указать такое каноническое преобразование, что эти первые интегралы входят в набор новых канонических переменных, то по теореме 9.7.6 рассматриваемые уравнения Гамильтона можно проинтегрировать аналитически. Это — еще один способ построения переменных действие-угол. [c.692]

Здесь Я — функция Гамильтона в новых канонических переменных. Следовательно, искомое преобразование (Ь) должно переводить вариационное равенство (с) в равенство ((1) и наоборот. [c.354]

Говоря о применении канонических преобразований к решению задач механики, мы указывали на два метода. Один из них относится к тому случаю, когда гамильтониан системы остается постоянным. В этом случае существует такое преобразование, при котором новые канонические координаты являются циклическими, и тогда интегрирование новых уравнений движения становится тривиальным. Другой метод состоит в отыскании такого канонического преобразования, которое осуществляет переход от координат q t) и импульсов p t) к начальным координатам q to) и начальным импульсам p to). Уравнения преобразования, связывающие старые и новые канонические переменные, будут при этом иметь вид [c.301]

Мы придем таким образом к новым каноническим переменным IL G [c.354]

Введем вместо х, у новые канонические переменные по формулам [c.242]

Введем новые канонические переменные Х >, по формулам [c.243]

Следовательно, любая 2тг-периодическая по <р функция /(/, р, е) в новых канонических переменных J,ф будет 2тг-периодична по ф. [c.122]

В новых канонических переменных J, ф функции Г ,..., Рп зависят лишь от J и е. Эти функции — первые интегралы гамильтоновой системы (10.1) и независимы, поэтому то же самое справедливо для. .., Зп. Следовательно, функция Г амильтона Н не зависит от углов ф, т. е. дН/дф = —3 = 0. Теорема доказана. [c.126]

Здесь К — функция Гамильтона, зависящая от новых канонических переменных Q,viP,vi времени t,— выражается через функцию Гамильтона Н для старых переменных соотношением [c.525]

Для новых канонических переменных а, /3 согласно (7.3) получим уравнения движения в виде [183, 128] [c.77]

Эти функции (новые канонические переменные) определятся также системой канонических уравнений с характеристической функцией U, которую, разумеется, необходимо выразить через время и канонические элементы. [c.709]

Вместо прежних канонических переменных / ) с помощью производящей функции 4 и, к, Ь, Ь) введем такие новые канонические переменные Ьк /1 , чтобы в преобразованных уравнениях гамильтониан был бы функцией [c.427]

Соответствующие приближения получаются из (4.8.22), если разложить левую часть в ряд Тейлора и приравнять величины одинакового порядка малости. Связь между старыми и новыми каноническими переменными выражается равенствами [c.429]

От старых канонических переменных (эйлеровых углов и соответствующих им импульсов) можно перейти к новым каноническим переменным [c.758]

Допустим, что полный интеграл (37.3) уравнения (37.1) получен. Чтобы с его помощью найти решения уравнений движения, произведем каноническое преобразование от величин к новым каноническим переменным, используя в качестве производящей функции функцию f t, gi, д , д/, ti,. .., а,) и рассматривая постоянные i, а. . [c.207]

Можно определить производящие функции и от других пар смешанных (старой и новой) канонических переменных [c.23]

Если можно найти такое каноническое преобразование, что все новые импульсы оказываются постоянными, то решение в новых канонических переменных описывается соотношениями (1.2.22) и (1.2.24). Обратное преобразование в этом случае дает полное решение в исходных переменных. Производящей функцией такого преобразования служит решение уравнения Гамильтона—Якоби [c.25]

Связь между старыми и новыми каноническими переменными дается соотношением (1.2.13). Новый гамильтониан Я зависит только от импульсов а,-, и уравнения Гамильтона решаются тривиально. [c.35]

До сих пор мы не рассматривали область Gj. Здесь корни Рз и р4 комплексные, и следовало бы ожидать, что движение будет происходить между р и pj. Но формула (29) показывает, что pj отрицательно. Так как по своей природе величина z всегда положительна, то в этом случае pj не может служить границей для колебаний z. С другой стороны, кажется ), что внутри G имеется область, в которой р положительно, и где положительные значения Z совместимы с дифференциальными уравнениями. Как надо исследовать соответствующие движения, если они вообще существуют Дифференциальные уравнения (7) здесь непригодны. Проще всего вместо и Xi ввести новые канонические переменные (см. 1 гл. VI) [c.581]

Возвращаясь теперь к старым обозначениям, легко видеть, что результатом преобразования Делонэ является следующая система новых канонических переменных [c.469]

Поскольку гамильтониан Н системы, очевидно, находится среди первых п — к интегралов, то, согласно (2.6), в новых канонических переменных [c.191]

Исследуем сначала устойчивость в случаях (1) — (4). Введем новые канонические переменные р при помощи преобразования Биркгофа, задаваемого производящей функцией [c.98]

Здесь и в дальнейшем через p , 0 обозначаются новые канонические переменные, введенные преобразованием Биркгофа. В [c.157]

Обозначая через рх новые канонические переменные, вводимые преобразованием Биркгофа при уничтожении членов третьей степени, получаем, что функция Гамильтона в новых переменных будет иметь вид [c.177]

Теперь, согласно плану исследования, намеченному в начале этого параграфа, примем аг, Рг за новые канонические переменные. Гамильтониан Н, описывающий изменение переменных аг, Рг в возмущенной задаче, будет таким [c.258]

Наличие множителя /- -Р1 вызывает, очевидно, затруднение того же характера, что и уже встречавшееся при рассмотрении уравнения (6) 6.03 для элемента е. Нужно заметить, что уравнение (4) является еди ственным из шести уравнений (1), обладающим такой особенностью. Эта трудность устраняется путем выбора в качестве новой канонической переменной средней аномалии я( +Р1) [c.222]

Введем новые канонические переменные , О, Н -, I, g, которые связаны линейно со старыми, так что, согласно равенству (6) 11.05, имеем [c.235]

Аналогичным образом все другие члены в / , могут быть представлены рядами вида (2). Следовательно, мы можем рассматривать выражение (2) как общую форму, которую принимает / ,, когда все преобразования к новым каноническим переменным С, О, Н с, g), (А) выполнены. [c.245]

В дальнейшем Л будет принята в качестве новой канонической переменной вместо С. [c.247]

Новые канонические переменные [c.248]

Считая, что S имеет вид (8,23), в силу свободы выбора новых канонических переменных положим [c.57]

При помощи такого преобразования уравнения Гамильтона в новых канонических переменных примут вид [c.69]

Проведенное в рассмотренном примере преобразование к новым каноническим переменным а, п —такое, что новая функция Гамильтона Я (я, а) = О и, следовательно, новые канонические переменные постоянны во времени, — не является [c.137]

Следствие 9.7.7. Пусть выполнено условие теоремы 9.7.6. Тогда 6 соответствии с замечаниел1 9.7.2 существует такое каноническое преобразование, что в новых канонических переменных [c.689]

Так как det d W/dqdx = det d V/dqdx ф О, то W[q,x) — полный интеграл уравнения (7.3) — можно принять в качестве производящей функции канонического преобразования p,q —> у,х у = = dW/dx, р = dW/dq. В новых канонических переменных х,у функция я становится равной К х), поэтому уравнения Гамильтона сразу интегрируются х = xq, у = уо + w xo)t, ш х) = дК/дх. [c.98]

Это уравнение справедливо как для старых, так и для новых канонических переменных. Поэтому интеграл в (1.2.8) для разных переменных может отличаться только на полный ди( к )еренциал [c.22]

С помощью этой теоремы мы введем теперь вместо элементов Делоне новые канонические переменные. [c.233]

Если преобразова1И1е к новым каноническим переменным С и Я такое, что С,, например, есть функция только д, а Я, — функция только р, то преобразование называется обобщенным точечным п ре об разованием. [c.217]

Когда и приняты в качестве новых канонических переменных, уравнения могут быть немедленно написаны, причем функция Гамильтона будет совпадать с первоначальной функцией Гамильтоиа, из которой члены вида 2 s Osi9 устранены и к которой прибавлена часть, аналогичная слагаемому добавленному к R в формуле (3) 11.04. [c.228]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...