Интегральные Численное решение

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРЫ [c.365]

Интегральные методы решения уравнений пограничного слоя отличаются относительной простотой. Они особенно эффективны, если имеется предварительная информация о поведении профилей, (скорости, концентраций, энтальпии). Обычно это имеет место при слабом изменении граничных условий. Если граничные условия меняются резко (сильный градиент давления, резкое продольное изменение температуры стенки, участки вдува), то в этих случаях целесообразно использовать другие методы (например, численные). [c.292]

Типичный вид интегральных кривых, отражающих численное решение задачи (2.21), (2.22), приводится на рис. 2.28. Форма расчетных равновесных поверхностей весьма сильно отличается для задач типа I (положительные перегрузки, см. рис. 2.28, а) и типа II (отрицательные перегрузки, см. рис. 2.28, б), в том числе при весьма близких значениях кривизны в точке симметрии (Сд = 2,5 на рис. 2.28, а и q = 2 на рис. 2.28, б). Для обоих типов задач обращает [c.113]

Естественно, что любой метод численного решения сингулярных уравнений должен опираться на те или иные специальные квадратурные формулы. Разобьем контур на элементарные участки и будем полагать плотность постоянной в пределах каждого из них, обязательно связав ее значение со значением в центре участка (разбиения в так называемой основной точке). Тогда, вычисляя интеграл в той или иной основной точке, придем к интегральной сумме, в которой надо опустить слагаемое, соответствующее отрезку, которому принадлежит исходная основная точка. Укажем также один прием, позволяющий непосредственно переходить к несобственным интегралам. Для этого воспользуемся представлением уравнения (3.1) в иной (регулярной) форме [c.56]

Метод интегральных соотношений. Развитием метода прямых является метод интегральных соотношений, предложенный в 1951 г. А. А. Дородницыным. С помощью этого метода интегрирование систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных сводится к численному решению некоторой аппроксимирующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.182]

Численное решение интегральных уравнений с помощью метода последовательных приближений [c.196]

Численное решение 1 (1-я) — 259 Интегральные уравнения второго рода 1 [c.90]

Численное решение интегральных уравнений. Разобьём область интегрирования на п частей и введём обозначения [c.259]

Таким образом, имея одну и ту же исходную базу (3-18) и (3-20), дифференциальные и интегральные методы расчета радиационного теплообмена органически дополняют друг друга. В связи с бурным развитием машинной вычислительной техники в последнее время интегральные уравнения нашли широкое применение для численных решений различных задач радиационного и сложного теплообмена. [c.190]

Метод частотных характеристик основан на применении интегральных преобразований для решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Интегральные преобразования Фурье и Лапласа широко используются как для аналитического, так и для численного решения разнообразных теоретических и прикладных нестационарных задач в областях автоматического регулирования, связи, радио- и электротехники, теплофизики и во многих других [Л, 50, 62—65]. [c.98]

Помимо математической формулировки задачи теплопроводности в виде дифференциальных уравнений и краевых условий для неоднородного анизотропного тела произвольной формы возможна также формулировка задачи в виде интегральных соотношений, в частности с помощью интеграла взвешенной невязки [12], содержащего весовые функции. Такая формулировка задачи, называемая интегральной, позволяет выявить некоторые общие свойства температурных полей и наряду с классическими методами строгого аналитического решения построить эффективные алгоритмы приближенного аналитического или численного решения. [c.38]

До сих пор мы непосредственно решали дифференциальное уравнение энергии пограничного слоя. Рассматривались только те граничные условия, при которых существуют автомодельные решения. При других граничных условиях дифференциальные уравнения движения и энергии всегда можно записать в конечноразностном виде и получить численное решение. Другим плодотворным методом, который часто используется для получения приближенных решений инженерных задач, является решение интегрального уравнения энергии. [c.258]

Здесь первое слагаемое характеризует поток молекул, диффузно испущенных дном и прошедших расстояние L без столкновений, второе —поток молекул, вошедших в капилляр через открытый конец, третье— поток молекул, которые без столкновений достигли дна, зеркально отразились от него и затем вышли через открытый конец, интегральный член —потоки молекул, десорбированных внутренней поверхностью капилляра и вышедших из него соответственно без столкновений со стенкой и после - зеркального отражения от дна. Сравнение приближенного аналитического решения уравнения (5-5-24) и его численного решения для точной функции К (х) показало, что значения п (х), соответствующие точному и приближенному выражениям К (х), различаются весьма незначительно, причем разность увеличивается с уменьшением 0 и ростом I. Что же касается соответствующих значений N, то они отличаются одно от другого в большей степени, чем п (х). [c.341]

Решение системы (1) — (12) связано с большими трудностями. Поэтому были рассмотрены различные возможности численного решения задачи. Применение операционного исчисления Лапласа по переменной времени приводит к системе интегральных или (при несколько иной форме решения) интегро-дифференциальных уравнений. Ядра этих уравнений представляют собой решение уравнений теплопроводности и, строго говоря, являются бесконечными рядами по собственным значениям данной краевой задачи. В этих системах остаются две независимые переменные (время и высота в насадке), т. е. имеются двойные интегралы, причем и по Ро и по 2 как с переменным, так и с постоянным верхним пределом получается своеобразная смесь интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра. Поэтому известные аналитические методы, используемые для решения уравнений типа Фредгольма или Вольтерра в отдельности, в данном случае неприменимы. Конечно, полученные интегральные (интегро-дифференциальные) уравнения могут быть решены одним из известных методов численно, тем более, что численные методы для решения интегральных уравнений хорошо исследованы и их сходимость проверена. [c.338]

Однако численное решение интегральных уравнений с двойными интегралами и достаточно сложными ядрами требует чрезвычайно большой вычислительной работы и не может быть практически выполнено даже на современных электронных счетных машинах для большого количества различных задач в интересующей теплотехников широкой области изменения параметров, определяющих теплообмен. [c.338]

Численное решение этих уравнений по методу конечных разностей [142] оказывается слишком громоздким даже при использовании счетных машин. Излагаемое ниже решение прямых задач двумерного потока в турбомашинах строится путем последовательных приближений в естественной системе координат или близкой к естественной с использованием уравнений неразрывности и вихрей в интегральной, форме. Описываемые методы были проверены в практике технических расчетов и оказались достаточно эффективными. [c.274]

Применение этих методов позволяет лишний раз убедиться в преимуществах использования интегральных соотношений вместо дифференциальных для численного решения нелинейных задач гидродинамики [17]. [c.274]

Типичный вид интегральных кривых, отражающих численное решение задачи (1.174), (1.175), приводится на рис. 1.73. Форма интегральных кривых весьма сильно отличается для задач типа 1 (положительные перегрузки) и типа 2 (отрицательные перегрузки). Ясно, что, за исключением начальных участков, интегральные линии имеют такую форму, которая физически не реализуема как форма поверхности раздела фаз. В [24] приводится анализ устойчивости интегральных кривых, на основе которого выделены максимальные участки устойчивости этих кривых, приводимые на рис. 1.74 и далее на рис. 1.77, где в качестве параметра выступает безразмерная кривизна поверхности в точке симметрии. [c.82]

Схема циклов нагружения (рис. 2.1.3) может быть построена и на основе численного решения линейных и нелинейных краевых задач - методами конечных элементов, конечных разностей, интегральных уравнений. В этом случае по результатам численного анализа для заданного режима эксплуатационного нагружения получают непосредственно распределения и величины местных упругих или [c.82]

Как уже отмечалось, за последние годы значительное внимание было уделено решению задачи о поверхностном дефекте в форме полуэллипса в пластине конечной ширины. Были построены численные решения с применением комбинированного метода, метода граничных интегральных уравнений, метода конечных разностей и метода конечных элементов. В трехмерном варианте комбинированного метода [55] для решения задачи о поверхностных дефектах используется общее решение (42) для эллиптической трещины в сочетании с программой метода конечных элементов для пространственных задач. [c.41]

Наряду с дискретной моделью сплошного тела при расчете конструкций широко используется другой путь — численное решение получаемых для него дифференциальных или интегральных соотношений (также, очевидно, связанное с дискретизацией). Для поставленной задачи общего анализа процессов деформирования более удобен первый путь, несмотря на некоторые усложнения при составлении основных уравнений. [c.159]

При численном решении задачи для неизвестных л задают произвольные начальные значения х1 = Хк/а=о из области, близкой к нулевому решению. Далее строят интегральные кривые Хй (о хи. .., xf). При малых значениях средней скорости v тривиальное решение = О является устойчивым, и интегральные кривые будут мало отклоняться от нулевого положения. Критическое значение скорости у соответствует точке ветвления решений исходной системы. В этой зоне интегральная кривая должна проходить вблизи устойчивого нетривиального решения. Варьируя начальные условия х%, мы получаем набор интегральных кривых, которые при х% Q должны определить расположение огибающей, соответствующей решению однородной задачи. [c.223]

Для формирования и численного решения системы сингулярных интегральных уравнений (1.5.1) - (1.5.3) контур Г, ограничивающий область Q, занимаемую пластиной, разбивается на граничные элементы, которые являются отрезками прямых или дугами окружностей. В пределах элемента компенсирующие нагрузки m t ) считаются постоянными. Ядра интегральных уравнений [c.42]

Отметим, что кроме улучшения сходимости ряда выделение главного значения функции Грина для,изменения кривизны хг позволит выявить структуру полученного ниже интегрального уравнения, Выделить в явном виде характер особенностей в реакции <7 преобразовать уравнение к удобному для численного решения виду. Поэтому вопрос выделения главного значения мы считаем принципиальным. [c.328]

Следует заметить, что метод Фурье не является единственным методом решения задач этого рода. В работах Г. А. Гринберга ) путем применения метода функций Грина выводятся интегральные уравнения, численные решения которых могут проводиться при помощи последовательных приближений. Вопрос об эффективности метода, конечно, и в этом случае решается рассмотрением быстроты сходимости приближений. [c.399]

Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. - Киев Наукова думка, 1968. [c.251]

Существует два способа расчета параметров жидкости в пограничном слое. Первый способ заключается в численном решении системы дифференциальных уравнений пограничного слоя, впервые полученных Прандтлем, и основывается на использева-нии вычислительных машин. В настоящее время разработаны различные математические методы, позволяющие создавать рациональные алгоритмы для решения уравнений параболического типа, к которому относится уравнение пограничного слоя. Такой подход широко используется для определения характеристик ламинарного пограничного слоя. Развиваются приближенные модели турбулентности, применение которых делает возможным проведение расчета конечно-разностными численными методами и для турбулентного потока. Второй способ состоит в нахождении методов приближенного расчета, которые позволяли бы получить необходимую информацию более простым путем. Такие методы можно получпть, если отказаться от нахождения решений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям для каждой частицы, и вместо этого ограничиться отысканием решений, удовлетворяющих некоторым основным уравнениям для всего пограничного слоя и некоторым наиболее важным граничным условиям на стенке и на внешней границе пограничного слоя. Основными уравнениями, которые обычно используются в этих методах, являются уравнения количества движения и энергии для всего пограничного слоя. При этом, однако, необходимо задавать профили скорости и температуры. От того, насколько удачно выбрана форма этих профилей, в значительной степени зависит точность получаемых результатов. Поэтому получили распространение методы расчета параметров пограничного слоя, в которых для нахождения формы профилей скорости и температуры используются дифференциальные уравнения Прандтля или их частные решения. Далее расчет производится с помощью интегрального уравнения количества движения. [c.283]

Для того чтобы стационарное пламя устойчиво распространялось по равновесной в походном состоянии смеси, необходимо, чтобы вблизи начального состояния отсутствовала химнческая реакция (У = 0). Линеаризуя систему уравнений п ее первые интегралы около решений, соответствующих равновесным состояниям, получим системы уравнении, позволяющие исследовать характер особых точек, соответствующих равновесным состояниям. На рис. 5.2.1 дана схема ноля интегральных кривых в плоскости (б, Ti), где = dTJdx, при тепловом режиме распространения пламени. В данном случае особые точки о ъ d являются седлами. Линейное решение позволяет по сепаратрисе выйти из начальной особой точки о. Последующее численное решение, описывающее переход в конечное равновесное состояние, и вычисление собственного значения —скорости пламени можно строить методом пристрелки. [c.416]

Опишем еще один способ численного решения интегральных уравнени Фредгольма. Очевидно, что входящий в (2.1) интеграл можно приближенно заменить конечной суммой, если воспользоваться той или иной квадратурной формулой. Разобьем отрезок [а,Ь] на п частей точками а = хо, ац, х ,. .., Хп-, Хп = Ь. Тогда интеграл в (2.1) можно представить, например, в виде [c.47]

Развитие вычислительной техники позволило значительно расширить возможности решения задач кавитационного обтекания, особенно осесимметричных и нространствеиных. Следует отметить работу Бреннена, использовавшего для расчета осесимметричного кавитациошюго течения в ограниченном потоке метод конечных разностей, и работы А. Н. Иванова, сводящие задачу к двум интегральным уравнениям, решение которых выполняется численными методами. [c.11]

Ф. А. Мак-Клинток [123] на основании введенного им критерия разрушения (см. 11) получил интегральное уравнение, численное решение которого есть. докритическая диаграмма разрушения. В соответствии с этим критерием механический смысл докри-тического роста трещины состоит в следующем. Пусть в точке г = р (0 = 0) перед концом трещины удовлетворяется условие разрушения [c.246]

Выражения (1.26)-(1.28) используются и при расчете потенциаяа методом интегральных уравнений. Решение таких уравнений производится численными методами [32]) оно может быть выполнено и в тех случаях, [c.37]

А А . .. Ап Uo, Ui Fo, 0 = Ui, U l, 0, 0 , причем A- = = A ( -f- -Й). Здесь в фигурных скобках вектор-столбец U dUldx, Q, М , Aj— обычная переходная матрица (см., например, [3]) участка балки между сечениями xj, Е — единичная матрица четвертого порядка, В — матрица, у которой единственный отличный от нуля элемент r i = к. Численное решение такой задачи не представляет трудности, когда число участков не слишком большое. Таким образом, можно сконструировать модель агрегата, где общ,ая рама представлена в виде комбинации небольшого числа простейших элементов тина балок, пластин, оболочек простейшего вида. К такой модели рамы прикрепляются элементы указанного выше типа. Комплексная функция действительного аргумента к (со) выбирается по данным экспериментального определения жесткостей подсистем в точках соединения их с рамой. Для определения с (р) по известному к (со) необходимо было бы решить интегральное уравнение. Здесь рассматривается простейший случай, когда с (р) задано и решение может быть получено в замкнутой форме или в виде зависимостей между основными безразмерными параметрами задачи. [c.70]

I — ТОЧКИ, полученные по формуле (6-41) 2 численное решение интегрального уравнения задачи [Л. 354. 3551 5 — решение, полученное на основе дифференциальноразностного приближения 4 — решение на основе диффузионного приближения. [c.181]

В работах [Л. 104, 430] исследован процесс радиационного теплообмена ламинарного потока с заданным профилем скоростей, текущего в канале. При этом так же, как и в исследованиях внешней задачи обтекания поверхности, пренебрегается аксиальным переносом тепла за счет теплоироводности и излучения. Далее автор, исходя из результатов исследования чисто конвективного теплообмена на стабилизированном участке, делает допущение о постоянстве безразмерного температурного профиля в каждом сечении потока, что позволяет свести задачу к одномерной. При описании радиационного теплообмена автором используются интегральные уравнения теплообмена излучением применительно к плоскому слою. Представляя искомую функцию безразмерной температуры в виде одномерного ряда Тэйлора по оптической толщине слоя и подставляя ее в исходное интегральное уравнение, автор приходит к нелинейному дифференциальному уравнению, решаемому затем численно. При этом производится ограничение первыми тремя членами ряда, что дает дифференциальное уравнение второго порядка. Полученные результаты численного решения были сопоставлены автором [Л. 104] с решениями методом диффузионного приближения и приближения оптически тонкого слоя. [c.400]

Таким образом, метод интегральных соотношений как разновидность проекционных методов решения уравнений в частных производных является обобщением метода прямых и инженерного метода сосредоточенных параметров. Решение разбивается на два этапа. Первый этап состоит в сведении точной системы уравнений в частных производных к аппроксимирующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений. На втором этапе проводится численное решение этой аппроксимирующей системы каким-либо из стандартных методов (обычно методом Рунге—Кутта). При этом приведение системы обыкно1венных дифференциальных уравнений типа (7-46) к канонической форме может быть легко осуществлено непосредственно программой. [c.96]

Большие затруднения, встречающиеся при численном решении даже простейших интегральных уравнений, вынуждают искать более эффективные методы решения, которые к настоящему времени еще недостаточно разработаны. Г. А. Гринберг 131, используя частный прием, указал решение линейных тепловых задач, когда граница области движется по закону x-=vt или х. — АУ t при постоянной температуре на движущейся границе. Б. Я- Любов [4], применяя интегральное преобразование Карсона—Лапласа к интегральному уравнению Вольтерра, дал метод решения линейных тепловых задач с равномерно движущейся границей, но использование результатов Б. Я. Любова для численных решений затруднительно. Д. В. Резодубов [5 — 71 решал упомянутые задачи методом, обобщающим. метод Г. А. Гринберга [3], и методом контурных интегралов. [c.118]

Решение прямой задачи по методу сеток заключалось в численном решении в решетчатой области задачи Дирихле для гармонических функций Ф" (х, у) или а(х, у), или, наконец, задачи Неймана для функции Ф(х, у). Эти же задачи сводились к решению интегральных уравнений типа Фредгольма, причем интегралы вычислялись вдоль контуров профилей и их ядра сушественно зависели как от формы просЬилей, так и от положения точки на профиле (дуги профиля). По методу конформных отображений решение краевой задачи для функций Ф(х, у) и ФДх, у) отпадает, так как эти функции определены в канонических областя> , зато возникает новая задача нахождения конформного отображения данной решетчатой области на каноническую, т. е. построения отображающей функции z Z). Решение последней задачи, по существу, также оказывается задачей Дирихле для гармонических функций х( , т ), у( , т ) или aгg т ), [c.145]

К положрггельным элементам одномерного варианта МГЭ (простота логики формирования разрешаюш,ей системы уравнений, хорошая устойчивость численного процесса, непосредственное определение начальных параметров каждого обобш,енного стержня из разрешаюш,ей системы и т.д.) добавляются факторы, существенно важные для расчета пластинчатых систем. Ядра интегральных уравнений (функции Грина) в МГЭ не содержат сингулярных точек. По этой причрше уравнение (7.20) снимает проблему вычисления многомерных сингулярных интегралов. Исключается и проблема построения численного решения в окрестностях угловых точек пластины, что весьма актуально в прямом методе граничных элементов [29]. Как будет показано ниже, этот момент позволяет существенно повысить точность [c.407]

Этого трудного пути, допускающего в конечном счете получение численных результатов не из общих формул, а для определенного задания геометрических параметров и параметров нагрулсения, стараются избегнуть ценой тех или иных пренебрежений. В случае, когда длина цилиндра достаточно велика можно, используя набор решений вида (7.6.3) при л чисто мнимом, точно удовлетворить краевым условиям на боковых поверхностях и довольствоваться приближенным выполнением условий на торцах. Система сил, распределенных по торцам (наперед заданных, а также определяемых решениями первой группы), заменяется ей статически эквивалентной системой, для которой решение, оставляющее боковые поверхности свободными от нагружения, известно. Обычно эта цель достигается наложением решения задачи Сен-Венана (гл. VI) в последней краевые условия на торцах выполняются интегрально— строится решение, в котором главный вектор и главный момент распределенных по торцам сил имеют заданные значения, а боковая поверхность оказывается ненагруженной. [c.347]

Отметим также, что А. С. Рабиновичем ) был разработан итерационный метод решения интегрального уравнения (5.1). И. Г. Горячевой > уравнение (5.1) было сведено к нелинейному интегральному уравнению типа Гаммерштейна, для численного решения которого был использован метод последовательных приближений. В. М. Александров и И. И. Ку-диш ) провели асимптотический анализ уравнения (5.1) и получили расчетные формулы для различных значений безразмерных параметр ров а и [c.191]

Обьиный метод решения сингулярного интегрального уравнения состоит в регуляризации по Карлеману—Векуа и в последующем численном решении полученного интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Такой подход очень трудоемок. В последнее время при решении задач, представляющих интерес для приложений, наибольшее распространение получили прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений, которые, минуя регуляризацию, приводят к решению конечных систем алгебраических уравнений. Среди этих методов можно отметить метод Мультоппа—Каландия [5], основанный на определенных формулах для интерполяционного полинома и квадратурных формулах для сингулярного интеграла. [c.243]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...