Численное решение интегральных уравнений Вольтерры

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРЫ [c.365]

Решение системы (1) — (12) связано с большими трудностями. Поэтому были рассмотрены различные возможности численного решения задачи. Применение операционного исчисления Лапласа по переменной времени приводит к системе интегральных или (при несколько иной форме решения) интегро-дифференциальных уравнений. Ядра этих уравнений представляют собой решение уравнений теплопроводности и, строго говоря, являются бесконечными рядами по собственным значениям данной краевой задачи. В этих системах остаются две независимые переменные (время и высота в насадке), т. е. имеются двойные интегралы, причем и по Ро и по 2 как с переменным, так и с постоянным верхним пределом получается своеобразная смесь интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра. Поэтому известные аналитические методы, используемые для решения уравнений типа Фредгольма или Вольтерра в отдельности, в данном случае неприменимы. Конечно, полученные интегральные (интегро-дифференциальные) уравнения могут быть решены одним из известных методов численно, тем более, что численные методы для решения интегральных уравнений хорошо исследованы и их сходимость проверена. [c.338]

Относительно х(г) это не что иное, как интегральное уравнение Вольтерра второго рода. В силу этого обстоятельства его численное решение относится к корректно поставленным задачам при замене S z) на а-приближение 5(т(г). [c.116]

Помимо решения аппроксимационных задач, предлагаемая техника дифференцирования оказалась эффективным средством анализа и численного решения некоторых нелинейных задач оптики аэрозоля. В частности, речь идет о задачах, в которых требуется, помимо спектра размеров частиц, найти одновременно и спектральный ход показателя преломления их веш ества либо зависимость его от размера частиц. В равной мере это относится, например, и к зондированию аэрозолей, взаимодействующих с полем влажности. Удается показать, что в подобных случаях обратные задачи в форме интегрального уравнения первого рода можно свести к интегральным уравнениям второго рода. Иными словами, удается осуществить так называемую естественную регуляризацию некорректных задач. Аналогичный факт известен в теории интегральных уравнений Вольтерра [27]. [c.225]

Все приведенные выше интегральные уравнения есть нелинейные уравнения типа Вольтерра, и для их решения применимы обычные итерационные и численные методы. [c.113]

Большие затруднения, встречающиеся при численном решении даже простейших интегральных уравнений, вынуждают искать более эффективные методы решения, которые к настоящему времени еще недостаточно разработаны. Г. А. Гринберг 131, используя частный прием, указал решение линейных тепловых задач, когда граница области движется по закону x-=vt или х. — АУ t при постоянной температуре на движущейся границе. Б. Я- Любов [4], применяя интегральное преобразование Карсона—Лапласа к интегральному уравнению Вольтерра, дал метод решения линейных тепловых задач с равномерно движущейся границей, но использование результатов Б. Я. Любова для численных решений затруднительно. Д. В. Резодубов [5 — 71 решал упомянутые задачи методом, обобщающим. метод Г. А. Гринберга [3], и методом контурных интегралов. [c.118]

Это интегральное уравнение для неизвестного распределения размеров капель / (D) представляет собой уравнение Вольтерра первого рода. Даже при известном аналитическом выражении для функции скорости счета (вместо таблицы числовых значений) аналитическое решение уравнения (13) отсутствует. Поэтому использовались численные методы. Кунц [22], Скарбороу [23] и другие разработали метод численного определения функции / D). По существу эти методы состоят в замене определенного интеграла формулами для квадратуры и определении значений неизвестной функции в каждой точке путем разбиения определенного интеграла с использованием стандартных методов решения систем уравнений. [c.178]

Название метод граничных элементов , впрямую привязанное к дискретизации границы для проведения вычислений, вряд ли могло появиться до тех пор, пока численное решение сложных задач на ЭВМ не стало общедоступным — интегральные уравнения родились и долгое время оставались не средством численного решения задач, а мощным орудием теоретического исследования проблем математической физики. С их помощью доказывались теоремы существования и единственности решения краевых задач в различных классах функций, выяснялся характер сингулярностей в особых точках, изучались спектры операторов, соотношения между исходными и сопряженными уравнениями и т. д. Эта большая работа оставила заметный след в развитии математики. Достаточно назвать имена Э. Бетти, В. Вольтерры, Д. Гильберта, Ж- Лиувилля, Дж. Лауричеллы, А. М. Ляпунова, К. Неймана, А. Пуанкаре, С. Сомильяны, Э. Фредгольма, чтобы почувствовать сколь значительны результаты, полученные в теории интегральных уравнений. [c.266]

Р. Я. Ивановой [23] была рассмотрена задача о качении вязкоупругого цилиндра по основанию из того же материала. Задача решалась в плоской постановке при исходных физических интегральных зависимостях наследственного типа. Предполагалось, что движение катка начинается в момент времени —оо и продолжается с постоянной скоростью объемное последер вие отсутствует. Путем привлечения принципа Вольтерра задача решалась в рамках теории упругости с помощью метода Н. И. Мусхелишвили [38]. Полученные при этом два сингулярных уравнения типа Фредгольма содержат реологический оператор, который выражается через резольвенту ядра наследственности при сдвиге. После введения подвижной системы координат и замены дуги окружности катка дугой параболы одно из этих интегральных уравнений, которое соответствует мнимой части соотношения Мусхелишвили, удалось привести к форме, даюшей возможность решить его по методу Карлемана. Для конкретности резольвента ядра наследственности была взята в внде совокупности простых экспоненциальных ядер. Даже в этом случае получение численного результата было связано со значительными вычислительными трудностями. Решение выписано в квадратурах вычисление их осуществлялось приближенно применительно к материалам, обладающим достаточно большим временем релаксации. [c.403]

Не представлялось возможным коснуться в монографии обратных задач, связанных с нелинейными эффектами взаимодействия оптического излучения с компонентами атмосферы [14, 45], атмосферной рефракцией [1] и турбулентностью [14]. С учетом этого обстоятельства следует признать, что название монографии несколько шире содержащегося в ней материала. Вместе с тем, если акцентировать внимание на математических аспектах теории оптических обратных задач, то в монографии рассмотрены практически все виды тех интегральных уравнений и их систем, к которым сводятся обратные атмосферно-оптические задачи независимо от их конкретного физического содержания. В частности, если вести речь о некорректных задачах, то в монографии изложены эффективные алгоритмы обращения интегральных уравнений Фредгольма, Вольтерра, простейшие нелинейные уравнения, а также интегральные уравнения в форме интеграла Стилтьеса. Особое внимание уделено построению вычислительных схем численного решения систем функциональных уравнений, включающих и интегральные с ядрами, зависящими от неизвестных параметров. В этом отношении содержание монографии обладает достаточной общностью. На примере обратных задач светорассеяния представилось возможным рассмотреть методы численного решения тех функциональных уравнений, к которым сводятся наиболее распространенные обратные задачи оптики атмосферы. Подобные аналогии указываются в тексте монографии и сопровождаются соответствующими ссылками на литературу. [c.12]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...