Лагранжиана напряжения

Из соотношений (5-4.72) и (5-4.73) следует, что рассматриваемый тип течения принадлежит фактически системам с лагранже-вым периодическим течением. Разумеется, существуют лишь две отличные от нуля компоненты напряжений, например, как это следует из уравнения (5-1.29), [c.204]

Модели для анализа напряжений и деформаций часто оказываются более удобными, если представлены в интегральной форме, вытекающей из вариационных принципов механики. Вариационный принцип Лагранжа (принцип потенциальной энергии) гласит, что потенциальная энергия системы получает стационарное значение на тех кинематически возможных перемещениях, отвечающих заданным граничным условиям, которые удовлетворяют условиям равновесия. Поэтому модель представляют в виде выражения потенциальной энергии П системы как разности энергии деформации Э и работы массовых и приложенных поверхностных сил А [c.158]

Найдем площадки, на которых касательное напряжение Tv принимает экстремальные значения. Ориентация каждой площадки характеризуется единичным вектором нормали v, определяемым формулой (2.3) и условием (2.18). В этом случае в соответствии с методом неопределенных множителей Лагранжа достаточно найти безусловный экстремум функции [c.49]

Тензор с компонентами Т / называют тензором напряжений Лагранжа этот тензор несимметричен (упражнение). [c.19]

Заметим, что, как вытекает из (1.118), (1.119), тензор напряжений Лагранжа несимметричен, тензор Пиола — Кирхгоффа симметричен. [c.25]

Условия (4.247) позволяют дать механическую интерпретацию введенным множителям Лагранжа совокупность множителей представляет собой совокупность координат тензора напряжений, la —плотность вектора напряжений на части поверхности 5 . [c.205]

При исчезающе малых касательных напряжениях Х — О и >0 система уравнений (6.9 ) переходит в уравнение С. Жермен— Лагранжа (5.12). Для решения уравнений (6.9 ) могут быть использованы метод Фурье и вариационные методы. [c.204]

Формулировка вариационного принципа зависит от того, какими величинами (функциями) характеризуется состояние деформированного тела. В принципе Лагранжа такими функциями служат перемещения li, а в принципе Кастильяно — напряжения ст. Именно эти принимаемые за основные функции подлежат варьированию (бесконечно малым изменениям) для того, чтобы получить вариационное уравнение. Все прочие функции считаются связанными с основными соответствующими зависимостями, приведенными в гл. 2. [c.67]

Тензор напряжений И, 20, 25, 31, 55, 63, 78, 136, 1 4G, 252 --Лагранжев 142 [c.460]

Откажемся от ограничения малостью компонент тензора поворота, которое до сих пор всюду принималось. Теперь мы должны пользоваться нелинейными выражениями (7.2.3) для компонент тензора деформации. Введем опять напряжения как множители Лагранжа и составим уравнение равновесия, совершенно аналогичное уравнению (7.4.3), а именно, [c.234]

Для вывода вариационного принципа Кастильяно, рассмотрим воображаемое напряженное состояние бац такое, что j = О, = О, xi е 5т. Значения, которые принимают величины 8ац на части поверхности 5ц, могут быть произвольны. Поскольку состояние 5ац удовлетворяет условиям равновесия, составим уравнения равновесия в форме Лагранжа, приняв за виртуальные перемещения истинные перемещения щ ж соответствующие [c.259]

S = St + Su, находится иод действием массовых сил Fi и поверхностных сил Тi, заданных на 8т- Составим уравнения равновесия в форме Лагранжа, учтя также виртуальную работу внутренних сил, т. е. напряжений, имеющих потенциал U (вц), [c.390]

Теорема о нижней оценке несущей способности. Пусть а , Vi — неизвестное нам истинное решение задачи о предельном состоянии тела, подверженного действию системы поверхностных сил Г(, jj —некоторое допустимое напряженное состояние, соответствующее поверхностным силам Т . Напомним, что для допустимого напряженного состояния выполняются уравнения равновесия и условие F a j) 0. Составим уравнения равновесия в форме Лагранжа как для истинного, так и для допустимого состояния, принимая за поле виртуальных скоростей истинное поле скоростей (заранее неизвестное), [c.491]

Теорема о верхней оценке несущей способности. Пусть I — произвольное кинематически допустимое поле скоростей и скоростей деформации, т. е. такое поле, которое удовлетворяет граничным условиям ui = V на части поверхности Sv. По заданным скоростям деформации Бу определяются напряжения сгу единственным образом, если поверхность напряжения строго выпукла. Напряжения о у вообще не удовлетворяют уравнениям равновесия. Выпишем уравнения равновесия в форме Лагранжа, принимая за поле виртуальных скоростей [c.492]

В случае, когда за обобщенную электрическую координату принято напряжение и, из уравнений Лагранжа— Максвелла для электрической цепи с з парами узлов получаем следующую систему дифференциальных уравнений [c.206]

Пример 61. Основываясь на уравнениях Лагранжа — Максвелла, составить контурные уравнения для электрической цепи, показанной на рис. 86, применив аналогию сила — напряжение. [c.208]

Следующим новшеством этой книги является включение в нее механики непрерывных систем и полей (гл. 11). Вообще говоря, эти вопросы охватывают теорию упругости, гидродинамику и акустику, однако в таком объеме они выходят за рамки настоящей книги и, кроме того, по ним имеется соответствующая литература. В противоположность этому не существует хорошей литературы по применению классических вариационных принципов к непрерывным системам, хотя роль этих принципов в теории полей элементарных частиц все время возрастает. Вообще теорию поля можно развить достаточно глубоко и широко еще до рассмотрения квантования. Например, вполне возможно рассматривать тензор напряжение — энергия, микроскопические уравнения неразрывности, пространство обобщенных импульсов и т. д., целиком оставаясь при этом в рамках классической физики. Однако строгое рассмотрение этих вопросов предъявило бы чрезмерно высокие требования к студентам. Поэтому было решено (по крайней мере в этом издании) ограничиться лишь элементарным изложением методов Лагранжа и Гамильтона в применении к полям. [c.9]

Наряду с вариационным принципом Кастильяно можно было бы сформулировать и вариационный принцип, полностью симметричный вариационному принципу Лагранжа, если ввести в рассмотрение функционал ТГ, и условию стационарности которого придать вид 6Я =0, Ш — 6Д =0. Варьирование ведется по внешним силам и внутренним усилиям (случай дискретной системы) или внешним силам и напряжениям (случай сплошной среды). [c.492]

Функционал Рейсснера (15.116) получен из функционала Лагранжа, в котором отсутствует член, содержащий интеграл по 5 , поскольку функционал Лагранжа варьируется лишь по перемещениям, а вариация перемещений на 5 , где они заданы, равна нулю, вследствие чего указанный член в (и) не был существенным и был опущен. В принципе же Рейсснера варьирование выполняется и по напряжениям, поэтому на варьирование по а может быть выполнено. В приведенном выше функционале Рейсснера на варьирование по а не производилось, поскольку член с интегралом по не был использован. Если бы этот член был включен в функционал, то по а следовало бы варьировать и его. [c.524]

Например, если в электрических схемах в качестве обобщенных сил принять напряжение (электродвижущую силу, потенциал электрического поля), то виртуальную работу можно определить по изменению потенциальной энергии при переносе заряда на соответствующую разность потенциалов W = Uq (аналог произведению силы на путь W = Рх). В этом случае уравнения Лагранжа представят собой выражение 2-го закона Кирхгофа как выражение равенства напряжений, затраченных на отдельных участках контура и электродвижущих сил источников тока, включенных в ту же цепь. [c.24]

Члены уравнений Лагранжа, получаемые дифференцированием Г, Ф и П, дают выражения отдельных обобщ,енных сил по кал Дой координате qj, а смысл всего уравнения соответствует условиям равновесия этих и внешних сил в исследуемых точках, или равенству потерянных напряжений и электродвижущих сил источников, включенных в контур. [c.27]

Смысл этого условия заключается в том, что из всех мыслимых напряженных состояний тела имеет место в действительности то напряженное состояние, которое сообщает потенциальной энергии конструкции минимальное значение при соблюдении граничных условий. Это экстремальное свойство потенциальной энергии твердых тел было впервые сформулировано Ж. Лагранжей в форме принципа возможных перемещений и опубликовано в его замечательном труде Аналитическая механика в 1788 году. [c.29]

Существует также теорема [3], которую часто называют принципом минимума полной потенциальной энергии или теоремой Лагранжа в состоянии равновесия консервативной системы ее полная потенциальная энергия принимает стационарное значение, причем в устойчивом состоянии равновесия это стационарное значение — минимум. Подчеркнем, что принцип минимума полной потенциальной энергии охватывает все консервативные системы — как линейные, так и нелинейные. Нелинейность консервативной системы может быть обусловлена двумя причинами геометрическими и физическими. Геометрические нелинейности обычно связаны с большими перемещениями гибких тонкостенных систем типа стержней, мембран или оболочек. Физическая нелинейность — это нелинейность зависимости между напряжениями и деформациями в упругом твердом теле. [c.77]

Здесь Еж,. . , Yzx — линейные формы компонент тензора напряжений Т, определяемые по (3.2.8) гл. III и выражаемые формулами (3.1.8) гл. III е—тензор, задаваемый этими формами его компонент и, значит, представимый формулой (1.1.4). Вариации компонент тензора бГ под знаком интегралов в (2.5.10) не независимы, а должны удовлетворять зависимостям (2.5.3). Пришли к связанной задаче вариационного исчисления и, следует известному правилу, вводим в объеме V лагранжев вектор X это позволяет, представив теперь (2.5,10) в виде [c.158]

Теперь, введя лагранжев множитель р, придем к вырал<ениям главных напряжений для несжимаемого материала в виде [c.642]

Значение Х°, соответствующее точке условной стационарности и°, может быть не единственным. Чтобы обеспечить единственность Х°, обычно накладывают требование независимости на уравнения, содержащиеся в дополнительном условии (2) это требование выражается в том, что матрица Якоби множества функций, сокращенно записанных ф(и), должна иметь соответствующий ранг (см., например, [0.9, 1.6]). В данной книге нет необходимости заботиться об единственности множителей Лагранжа. В гл. 3 и 4 будут часто встречаться случаи, когда существует бесконечное множество Х° (например, функционал Эпз (е, ф), где тензор функций напряжений ф является множителем Лагранжа, гл. 3). В этих случаях нас устраивает любое из бесконечного множества значений так как все они определяют одно и то же решение исходной задачи (I), (2). [c.37]

Метод решения вариационного уравнения Лагранжа. Уравнение Лагранжа (6.41) дает удобный метод приближенного решения задач МДТТ без дифференцирования напряжений. Это особенно важно при решении задач теории пластичности. Представим выражение Oijbeij в виде [c.128]

Вторую группу методов составляют так называемые прямые методы.. Их характерной особенностью является то, что минуя дифференциальные уравнения на основе вариационных принципов механики упругого тела строятся процедуры для отыскания числовых полей неизвестных функций в теле — перемещений, усилий, напряжений. В гл. 3 при рассмотрении двух основных принципов — Лагранжа (вариации перемещений) и Кастильяно (вариации напряжений) — уже были изложены два таких прямых метода, а именно метод Ритца (см. 3.5) и метод, основанный на принципе Кастильяно (см. 3.7). В дополнение к ним в данной главе излагаются общие основы наиболее эффективного в настоящее время прямого метода — метода конечных элементов (МКЭ). Перечисленные методы либо полностью основаны на вариационных принципах (методы второй группы), либо допускают соответствующую трактовку с использованием этих принципов (методы первой группы). Поэтому часто эти приближенные методы называют вариационными. [c.228]

Хорошо известно, что множители Лагранжа представляют собою реакции связей. Соответственно на уравнение (7.4.3) можно смотреть несколько иначе. Первые два члена представляют собою работу внешних сил, объемных и поверхностных. Третий член есть работа внутренних сил, величины 6e,j = А (би,, j + 6iij, i) представляют собою обобщенные перемещения, а Оу — соответствующие обобщенные силы. Очевидно, что ОцОец есть инвариант, поэтому Оц — симметричный тензор второго ранга, который называется тензором напряжений. Преобразуем третий интеграл в соотношении (7.4.3) интегрированием по частям. Заметим, прежде всего, что [c.220]

Здесь варьируются независимо напряжения о и перемещепи>1 щ. Функционал Лагранжа, записываемый через и деформации ij, выраженные через Ut по формулам (12.2.1), послужил отправной точкой для всех выводов. Прямое распространение на геометрически нелинейные задачи вариационного принципа типа Кастильяно невозможно. Действительно, в линейной теории было использовано то обстоятельство, что беу выражается через Ьщ по тем же формулам, по которым б ,- выражаются через Uu Поэтому преобразование объемного интеграла можно было произвести до варьирования функционала. В нелинейной теории этого сделать нельзя. [c.392]

Здесь бар представляют собою компоненты деформации срединной плоскости 2бар = и-а, s + а. Формулы (12.4.3) достаточны для построения общей теории. Составляя функционал Лагранжа и приравнивая нулю его вариацию, мы получим некоторые дифференциальные уравнения для м и ц с соответствующими граничными условиями, т. е. построим техническую теорию изгиба пластин, заранее предполагающую выполнение известных кинематических ограничений. Но мы будем пользоваться вариационным принципом Рейснера и зададимся следующим законом распределения напряжений по толщине [c.397]

При исчезающе малых касательных напряжениях Х"—>-0 и система уравнений (5.9 ) переходит в уравнение С. Жерд1ен — Лагранжа (4.12). Для решения уравнений (5.9 ) могут быть использованы метод Фурье и вариационные методы. [c.136]

В последующем задаче об изгибе балки уделяли много внимания крупные ученые, в числе которых были Мариотт, Лейбниц, Варньон, Яков Бернулли, Кулон и др.. Пишь в 1826 г. с выходом в свет лекций по строительной механике Навье был завершен сложный путь исканий решения задачи об изгибе балки, затянувшийся во времени почти на двести лет. Навье дал правильное решение этой задачи, им впервые введено понятие напряжения. Им же сделан существенный шаг в направлении упрощения составления уравнений равновесия, состоявший в том, что Навье отметил малость перемещений и возможность относить уравнения равновесия к начальному недеформированному состоянию. Это очень широко используемое положение иногда называют принципом неиз жнности начальных размеров. В истории развития механики деформируемого твердого тела важную роль сыграли такие крупные ученые, как Лагранж, Коши, Пуассон, Сен-Венан. Особо следует отметить заслуги Эйлера, впервые определившего критическое значение сжимающей продольной силы, приложенной к прямолинейному стержню (1744). Решение этой задачи во всей полноте тоже заняло по времени почти двести лет Дело в том, что решение Эйлера было ограничено предположением о линейно-упругом поведении материала, что накладывает ограничение на область применимости полученной Эйлером формулы. Применение эюй формулы за границами ее достоверности и естественное в этом случае несоответствие ее экспериментальным данным на долгое время отвлекло интерес инженеров от этой формулы и лишь в 1889 г. Энгессером была предпринята попытка получить теоретическое решение задачи об устойчивости за пределом пропорциональности. Он предложил 1аменить в формуле Эйлера модуль упругости касательным модулем i = da/di. Однако обоснования этому своему предложению не дал. В 1894 г. природу потери устойчивости при неизменной продольной силе правильно объяснил русский ученый Ясинский и лишь в 1910 г. к аналогичному выводу пришел Карман. Поэтому исторически более справедливо назвать его решением Ясинского —Кармана, предполагая, что Карман выполнил это исследование независимо от Ясинского. [c.7]

Основываясь на уравнениях Лагранжа второго рода, составить дифференциальные уравнения вращения этой системы и, пользуясь аналогией сила напряжение, построить аналоговую электрическую непь для этой системы. [c.212]

Сравнивая начало возможных перемещений Лагранжа и начало виртуальных изменений напряженного состояния упругого тела Кастильяио, следует отметить, что первое заменяет собой уравнения равновесия (внутри тела и на его границах), а второе — уравнения совместности деформаций. [c.49]

Описание движения С. с с. п. обычно основывается на ур-ниях, связывающих обобщённые координаты и обобщённые импульсы (в т. ч. поля, токи, напряжения) входящих Ь неё объектов. Порядок этих ур-ний определяется числом степеней свободы С, с с. и. Так, плоское движение маятника а иоле тяжести или изменения тока в Г, С, Д-контуре описывается дифференц. ур-ниями 2-го порядка и соответствует С. с с. п. с одной степенью свободы. Ур-ния движения консервативных (сохраняющих энергию) С. с с, п. могут быть получены из вари-ац. принципа (см. Наименьшего действия принцип). При этом различаются три оси. типа эквивалевтных описаний движения С. с с. п. через Лагранжа ф-цию, содержащую обобщённые координаты и скорости, через Гамильтона ф-цию, содержащую обобщённые импульсы и координаты, и через ф-цию действия (см, Гамильтона — Якоби уравнение), выраженную через обобщённые координаты и их производные. В первых двух случаях в ур-ния входят полные производные по времени, в последнем случав — частные производные. [c.535]

Будем считать, что в физических соотношениях (3.89), связывающих приращення напряжений и деформаций, матрица касательных модулей [Gtl, вычисленная для равновесной конфигурации т, сохраняет неизменными свои компоненты на итерациях в пределах этапа нагружения. Кроме того, будем считать деформации малыми, поэтому при использовании соотношений (3.89) не будем делать различия в матрицах [Gi] для двух указанных выше вариантов интегрирования. Эти варианты вычислений соответствуют записи принципа возможных перемещений в форме Лагранжа. Более подробно с вычислительными и теоретическими аспектами решения нелинейных задач можно ознакомиться в работе [59]. Такой метод решения нелинейных задач можно назвать шаговым с промежуточной итерационной коррекцией модифицированным методом Ньютона. На рис. 3.7 условно показан процесс вычиааений. Здесь р vi и обозначают нагрузку и перемещения. Как видно из рисунка, жесткость системы на интервале нагружения (т, т + Ат) сохраняется постоянной. [c.100]

Принадлежность к энергетическому пространству оператора А устанавливается существованием компонентов напряжеяно-деформированного состояния, которые входят в соответствующий функционал. Так, для трехмерного и плоского напряженного состояния дифференциальный оператор А имеет второй порядок, в функционал Лагранжа входят первые производные по перемет щениям. Поэтому для их существования необходимо обеспечить непрерывность перемещений по области системы. Из тех же соображений при решении задач изгиба плиты или оболочек (порядок дифференциального оператора —4) необходимо обеспечить непрерывность как перемещений, так и их первых производных. [c.9]

Вариационные принципы Лагранжа, Кас-тилиано, Хеллингена-Рейсснера и др. [14], учи-тьтающие температурные деформации (см. п.4.2.5), также могут быть использованы при аналитическом решении. задач теории упругих температурных напряжений. [c.213]

Дифференцирование поля по времени. Дифференцируя по времени функцию ф = ф (М, 0. находим, как меняется с течением времени величина ф (температура, скорость, напряженное состояние и др.). Если поле величины ф задано по Лагранжу в виде ф = = Ф (SS Vf i), то нахождение производной величины ф по времени труда не предтавляет, она равна d(p/df) i и называется индивидуальной, или субстанциональной, или полной производной по времени. Она показывает, как меняется со временем величина ф в индивидуальной движущейся точке сплошной среды, заданной лагранжевыми координатами Если же поле ве- [c.56]

Например, функционал Рейсснера (гл. 3) является полным в пространстве перемещений и напряжений и частным в пространстве перемещений, деформаций и напряжений (по отношению, например, к полному функционалу Ху —Вашицу). Функционал Лагранжа Эл2(и, е)—частный в любом пространстве, содержащем поля перемещений и деформаций. [c.30]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...