Интеграл уравнений движения обобщенный

В тех случаях, когда система не консервативна, но имеет место равенство (24) i), формула (25) устанавливает интеграл уравнений движения, подобный интегралу энергии в натуральных консервативных системах. Поэтому при выполнении условия (24) гамильтониан называется обобщенной энергией, а утверждение (25) — обобщенным законом сохранения энергии. Системы, удовлетворяющие условию (24), далее называются обобщенно консервативными системами. [c.265]

Импульсы обобщенные 83 Интеграл уравнений движения 97 [c.298]

Мы получили первый интеграл уравнений движения он выражает постоянство обобщенного импульса pi, соответствующего циклической координате qi [c.102]

Канонические уравнения. Обобщенный интеграл уравнения движения. Отметим, что уравнения движения среды при использовании формулировок и выражений вариационного принципа могут быть представлены в форме, близкой к каноническим уравнениям. [c.460]

Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство. В координатном пространстве в каждый момент нас интересует положение лишь одной движущейся в нем точки—она определяется мгновенными значениями обобщенных координат рассматриваемой системы. Между тем полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби в каждый момент определяет функцию S, заданную во всем координатном пространстве и имеющую вполне определенное значение в каждой точке этого пространства. В связи с тем, что функция S зависит также и от времени, можно представить себе ее как некоторую поверхность, заданную в координатном пространстве и непрерывно деформирующуюся (или движущуюся). Каким же образом задание функции, определенной на всем пространстве и изменяющейся во времени, может определить движение той единственной точки, которая интересует нас Как связано движение этой точки с деформирующейся поверхностью [c.324]

Уравнения (156) представляют собой в неявной форме конечные уравнения движения рассматриваемой консервативной (обобщенно консервативной) системы. Таким образом, зная полный интеграл уравнения (154), можно сразу получить уравнения движения в конечном виде. [c.333]

Обобщение интеграла живых сил. Исходя из уравнений движения Лагранжа, возможно установить интеграл живых сил в форме более общей, чем та, с которой мы встретились при изложении общих теорем динамики. Из уравнений (5.15), наложенных на рассматриваемую механическую систему голономных связей в голономных координатах Лагранжа, после дифференцирования имеем [c.168]

Напишем уравнение движения звена приведения в форме интеграла энергии для некоторого конечного промежутка времени, за который обобщенная координата изменяется от сро до ф, а приведенный момент инерции (в общем случае — величина переменная) — от /по до /п- [c.70]

Численное решение уравнения движения механизма. Пусть приведенный момент сил М задан как функция обобщенной координаты ф. Тогда для определения закона движения начального звена удобно применить уравнение движения механизма в форме интеграла энергии (9.2) [c.87]

Во втором примере целевая функция есть время поворота звена 1 на угол фр из начальной позиции, определяемой углом Фо (см. рис. 106). В этой позиции угловая скорость звена / равна нулю. В конце поворота скорость звена 1 может отличаться от нуля, т. е. допускается жесткий удар ползуна 3 об ограничитель ). Уравнение движения механизма в форме интеграла энергии при обобщенной координате ф имеет вид [c.352]

Но интегральный инвариант (4) снова имеет вид интеграла Пуанкаре — Картана, если считать, что основными координатами и импульсами являются величины и pj (/ = 2, я), а переменная играет роль переменной времени (вместо функции Н имеем функцию К). Поэтому (см. 18) движение обобщенно-консервативной системы должно удовлетворять следующей гамильтоновой системе дифференциальных уравнений порядка 2я — 2 [c.128]

Введение. Принцип наименьшего действия и его обобщение, произведенное Гамильтоном, переводят задачу механики в область вариационного исчисления. Уравнения движения Лагранжа, вытекающие из стационарности некоторого определенного интеграла, являются основными дифференциальными уравнениями теоретической механики. И тем не менее мы еще не достигли конца пути. Функция Лагранжа квадратична по скоростям. Гамильтон обнаружил замечательное преобразование, делающее функцию Лагранжа линейной по скоростям при одновременном удвоении числа механических переменных. Это преобразование применимо не только к специальному виду функции Лагранжа, встречающемуся в механике. Преобразование Гамильтона сводит все лагранжевы задачи к особенно простой форме, названной Якоби канонической формой. Первоначальные п дифференциальных лагранжевых уравнений второго порядка заменяются при этом 2га дифференциальными уравнениями первого порядка, так называемыми каноническими уравнениями , которые замечательны своей простой и симметричной структурой. Открытие этих дифференциальных уравнений ознаменовало собой начало новой эры в развитии теоретической механики. [c.190]

При распространении на случай общей лагранжевой системы гиростатическими называются те члены функции линейные относительно q, которые влияют на уравнения движения системы, но не входят в обобщенный интеграл энергии. Из сказанного вначале следует, что гиростатическими членами живой силы Т, наверное, будут члены, линейные относительно q во всех тех динамических задачах, в которых как Г, так и потенциал U не зависят от времени. [c.302]

В предыдущем изложении были отмечены те условия, при которых функция Гамильтона и обобщенные импульсы остаются постоянными при движении системы. Согласно одной точке зрения, постоянство импульсов является следствием того обстоятельства, что координаты оказываются циклическими главный результат здесь заключается в том, что соответствующие уравнения движения (Лагранжа или Гамильтона) можно сразу проинтегрировать. Согласно другой точке зрения, такое постоянство само по себе рассматривается как важное свойство системы. Последняя точка зрения широко распространена в наиболее важных приложениях данного метода к современной физике, и приемлемое решение задачи может состоять в определении всех интегралов движения. В общем смысле термин интеграл движения применяется к любой динамической переменной [c.67]

Уравнения движения точки Р могут быть записаны в форме канонических уравнений Гамильтона. Функция Гамильтона явно от времени не зависит, поэтому существует обобщенный интеграл энергии — интеграл Якоби [c.326]

Случай одной степени свободы. Продолжим начатое в п. п. 177-179 изучение некоторых вопросов, связанных с интегрированием консервативных и обобщенно консервативных систем. Будем изучать системы, движения которых обладают описанным ниже свойством периодичности. Для таких систем Делонэ предложил специальный выбор постоянных импульсов а (г = 1, 2,..., п) в характеристической функции Гамильтона п. 178. Эти новые импульсы представляют собой п независимых функций от набора величин появляющихся при нахождении полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Они называются действиями (точные определения см. далее) и ниже чаще всего будут обозначаться /. Канонически сопряженные к ним координаты wi называются угловыми переменными. Переменные действие-угол wi весьма удобны для описания движений, обладающих свойством периодичности. Они находят широкое применение в теории возмущений. [c.371]

Составленные уравнения контактных преобразований обладают интегралом движения Р(ц,р) = с. Это — обобщенный интеграл энергии, являющийся следствием того, что гамильтониан контактных преобразований Г не содержит явно независимую переменную 6. Одновременно Щя. р) с — интеграл исходной канонической системы (20). Это следует из того, что интеграл уравнений (20), не содержащий I явно, обращает в [c.76]

Мы покажем, что если кинетическая энергия Т системы, определенная равенством (19.20), не зависит явным образом от времени /, то дифференциальные уравнения движения допускают обобщенный интеграл энергии. [c.449]

Уравнения прямого изопериметрического пути, получаемые применением оператора Эйлера-Лагранжа к функции F q,t,q) (8), имеют множитель Л у группы слагаемых, определяемых функцией V q, t, q). Поэтому получаемые уравнения можно рассматривать как некоторое обобщение уравнений движения системы с функцией Лагранжа (5) и обобщённым потенциалом (6) (последние получаются при Л = 1). В частности, если функция Лагранжа и обобщённый потенциал не зависят явно от времени dF dt = 0), то в системе (7), (8) имеется первый интеграл [c.131]

Уравнение движения (4.14) в форме интеграла энергии позволяет найти зависимость угловой скорости Ш) начального звена 1 как функцию обобщенной координаты (р, [c.137]

Вывод уравнений Лагранжа из принципа экстремального действия. В математике интеграл (24.1) принадлежит к так называемым функционалам, если рассматривается зависимость его величины от вида подынтегральной функции. Задача об экстремуме функционала — отыскание функции, при которой наступает экстремум,— решается методами вариационного исчисления. В результате решения находятся дифференциальные уравнения, выполняющиеся для подынтегральной функции а поскольку в нашей постановке вопроса лагранжиан есть известная функция переменных д, д и I, то получаются дифференциальные уравнения для обобщенных координат, т. е. уравнения движения. [c.208]

Рассмотрим решение некоторых простых задач методом Гамильтона — Якоби. Ограничимся обобщенно-консервативными системами-системами, функция Гамильтона которых не зависит явно от времени и, следовательно, уравнения движения допускают обобщенный интеграл энергии. [c.330]

Рассмотрим фазовое пространство системы В ", которому принадлежат обобщенные скорости и координаты. Пусть в положении равновесия д = ц = О силовая функция V также равна нулю и имеет изолированный максимум, т.е. существует окрестность, в которой нет других стационарных точек. Поскольку связи стационарны, а силы консервативны, то уравнения движения (12.2) имеют первый интеграл — закон сохранения энергии Т- 11= к. На [c.111]

В частном случае обобщенно консервативной системы гамильтониан Н является интегралом уравнений движения поэтому если некоторая функция f(q, р, 4 —интеграл уравнений движения, то ее первая, вторая и т. д. частные производные по времени также являются интегралами этих уравнений. Действительно, для таких систем в силу теоремы Якоби — Пуассона (/, Я) = = onst и из условия (30) следует, что [c.269]

Вместе с развитием неголономных связей и теории общего их вида приобретают значение новые методы в поисках решений классических задач аналитической механики. Такие новые методы базируются, можно сказать, на двух теоремах. Первая теорема высказана в работах П. В. Воронца в первых десятилетиях нашего века в следующей формулировке каждый первый интеграл уравнений движения некоторой механической системы может считаться уравнением связи, наложенной на систему с соответствующими реакциями, равными нулю . Действительно, примем данный первый интеграл за связь и составим уравнения движения с множителем. Далее, учитывая, что первый интеграл тождественно удовлетворяет левым частям всех уравнений с множителем, мы придем к тому, что данный множитель должен быть равен нулю. Обратная же теорема должна читаться следующим образом. Положим, дана механическая система с заданными, пусть идеальными в смысле Лагранжа — Даламбера, связями и активными силами. Имеются динамические дифференциальные уравнения данной системы. Положим, требуется найти янтеграл заданного вида для дайной системы уравнений. Тогда, 1при-няв данный интеграл за уравнение дополнительной связи, будем составлять уравнения движения с подобной связью. Интеграл же может быть любой аналитической структуры, поскольку мы умеем уже составлять уравнения движения при связях любой, если можно так сказать, неголономности. Далее, если мы решим расширенную систему уравнений движения, т. е. уравнений с множителем вместе с уравнением связи, то могут быть две возможности находятся уравнения движения системы, т. е. обобщенные координаты основной задачи в функциях времени и вместе с ними определяется множитель в функции времени. Но, если при каких-либо параметрах системы, или предполагаемого первого интеграла, или при некоторых начальных данных, множитель обратится в ноль, то тогда действительно уравнение связи окажется первым интегралом данной задачи. Возьмем, к примеру, классическую задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Мы знаем, с каким трудом добывались решения этой задачи и как, по существу, их мало. Всего три случая — общего решения, да и общность относится только к начальным условиям, а на другие параметры — распределение масс и положение центра тяжести — налагаются определенные условия. Частных интегралов больше, но все они находились с трудом (вспомним, например, случай Гесса). Данные же методы наиболее естественны нри выяснении вопроса, является ли заданная связь -первым интегралом уравнений движения данной системы как свободной. [c.13]

Если с1А /с11 =а /с1(=0, как принято в вариационном принципе, эквивалентном системе уравнений движения, то из (2.241) следует обобщенный интеграл уравнений движения (сравн. преобразование Клебша) [c.461]

Интегральные инварианты и уравнения движения консервативных и обобщенно консервативных систем. В связи с тем, что для консервативных и обобщенно консервативных систем имеет место интеграл энергии (обобщенной энергии), гамильтониан, совпадающий с энергией (обобщенной гнергией) системы, не изме- [c.326]

Чтобы оправдать это утверждение, заметим прежде всего, что из 83 = 0 следуют уравнения (ЗГ), потому что 8S обращается в нуль при всяком возможном выборе 8р (и Ьд ), что несомненно оправдывается, в частности, когда вариациям 8р приписываются те значения в виде линейных функций от 8 , Ъд, которые выводятся из уравнений, определяющих обобщенные количества движения. Заметим, далее, что в то время как в обычном понимании вариайия интеграла S геометрически истолковывается как происходящая от бесконечно малого, произвольного изменения изображающей кривой в пространстве Г конфигураций (между теми же крайними конфигурациями), обобщение Гельмгольца относится непосредственно к произвольной бесконечно малой вариации изображающей кривой в фазовом пространстве (между теми же крайними значениями для д, но не необходимо для р). [c.453]

В дальнейшем Якоби находит много различных случаев получения интегралов уравнений движения. Например, рассматривая системы с силовой функцией, Якоби показывает, что в случае, когда можно выбрать такие обобщенные координаты qi, что силовая функ р1я не зависит от координаты qs-, а живая сила завис1 т от нее, можно получить интеграл данно системы уравнений в виде Ps = onst (при этом говорят, что координата qs — циклическая). [c.212]

Говоря о различных формах уравнений вихревого движения жидкости, можно отметить полезные преобразования уравнений гидродинамики, рассмотренные в 50-х годах А. Клебшем и в 60-х годах Г. Вебером Уравнение Клебша представляет некоторое обобщение интеграла Бернулли, имеющее определенную аналогию с каноничсескими уравнениями Гамильтона, а преобразование Вебера дает видоизмененную форму уравнений движения в так называемых переменных Лагранжа. [c.75]

В связи с тем, что в случаях Лиувилля и Штеккеля возможность решения задачи в квадратурах связана с существованием квадратичного относительно обобщенных скоростей первого интеграла, были предприняты исследования условий, при которых динамические уравнения движения системы допускают подобные интегралы. В этом направлении в конце XIX в. ряд результатов получили Г. Пирро, П. Пенлеве, Т. Леви-Чивита Ж. Адамар 103 и П. Бургатти нашли новые случаи интегрируемости уравнений движения материальной системы (при наличии квадратичных относительно обобщенных скоростей первых интегралов), из которых ранее известные вытекают как частные случаи. Однако до настоящего времени не доказано, что эти случаи интегрируемости явля10тся самыми общими. Работы на эту тему появлялись [c.103]

Задача 19.6. На рис. 19.7 изображена схема центробежного регулятора. Два одинаковых тела М] и М2, массой т каждое, могут перемещаться в пазу АВ. Одинаковые пружины жесткости с непвдвижно укреплены на вертикальной оси вращения О регулятора, а вторыми концами прикреплены к телам М и М2 Составить ди еренциальные уравнения движения и показать, что при равномерном вращении регулятора они допускают обобщенный интеграл энергии. [c.451]

Это дифференциальное уравнение движения тела во вращающемся пазу АВ, справедливое ка к для постоянных, так и для переменных значений угловой скорости (О, можно получить, пользуясь обычным дифференциальным уравнением относительного движения, причем слагаемое mw Xi играет в этом случае роль переносной силы инерции (кориолисова сила инерции перпендикулярна к оси X, и ее проекция на эту ось равна нулю). Обобщенный интеграл энергии при м = onst получается из это]0 равнения непосредственным интегрированием (обе части уравнения нужно умножить на dxi и воспользоваться тождеством Xi dxi = xidxi). [c.452]

Обобщенный интеграл энергии. Напишзм уравнения движения неголономной системы в квазикоординатах [c.199]

Что касается нахождения самого полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби, то в ряде случаев он может быть получен методом разделения переменных. Большую роль в методе разделения переменных играет выбор обобщенных координат. Например, в задаче о движении частицы в центрально-симметрическом поле возможно разделение переменных в полярных координатах, но невозможно в декартовых координатах. Случается, что для одной и той же задачи разделение переменных в уравнении (37.1) допускается несколькими системалт обобщенных координат. Однако для многих практически важных задач (например, задачи трех тел) такое [c.208]

Поскольку движение точечных вихрей на сфере является обобщением случая плоского вихревого течения, приведем кратко известные результаты для задачи о взаимодействии вихрей на плоскости. Простейший пример движения двух вихрей рассмотрен Гельмгольцем [23]. Г. Кирхгоф [27] установил гамильтоновость уравнений движения N точечных вихрей, а также нашел четыре первых интеграла этой системы, которые связаны с независимостью гамильтониана от времени и его инвариантностью относительно параллельного переноса и поворота системы координат. Интегрируемость задачи трех вихрей отметил А. Пуанкаре [32] (существуют три первых интеграла, находящихся в инволюции). В работе [18] система точечных вихрей рассматривалась в качестве модели двумерной турбулентности. Там же получено решение задачи о взаимодействии трех одинаковых вихрей. Авторы работы [19] на основе численных расчетов устанавливают стохастические свойства системы четырех вихрей и тем самым показывают, что двумерное течение идеальной жидкости в общем случае не является вполне интегрируемой системой. Как уже было отмечено, аналитическое доказательство неинтегрируемости системы четырех точечных вихрей на плоскости дано в работах Зиглина [9, 33]. Отметим также работы [20] и [22]. В [20] проинтегрирована в эллиптических функциях система трех одинаковых вихрей и показана хаотизация движения четырех вихрей равной интенсивности. В [22] рассматриваются интегрируемые случаи движения четырех вихрей. [c.376]

Таким образом, каждой циклической координате отвечает интеграл вида (АЛОЗ) —циклический интеграл, В силу уравнения движения сохраняется обобщенный импульс, соответствующий циклической координате. [c.231]

Записанный так интегральный инвариант Пуанкаре — Картана для консервативных систем отличается от интегрального И11ва-рианта в общем случае движения в потенциальном поле в трех отношениях во-первых, суммирование в первом члене ведется не от единицы до л, а от двух до п во-вторых, вместо гамильтониана Я в этом выражении стоит функция К, которая получилась, когда интеграл энергии (136) был разрешен относительно импульса Pi (см. выражение (138)) в-третьнх, роль t играет теперь <7i. Таким образом, воспользовавшись тем, что для консервативных и обобщенно консервативных систем гамильтониан не зависит явно от времени, мы исключили время из выражения интегрального инварианта Пуанкаре — Картана. Теперь совершенно так же, как в общих случаях движения систем в потенциальном поле из интегрального инварианта Пуанкаре — Картана следуют канонические уравнения Гамильтона, для консервативных и обобщенно консервативных систем из интегрального инварианта (139) следуют уравнения [c.328]

Две материальные точки с массами mi и пи. связаны нитью, ijpaxo-дящей через отверстие в гладком столе , причем гп находится на поверхности стола, а m2 — ниже этой поверхности. Предполагая, что Шг движется строго по вертикали, выберите обобщенные координаты этой системы и напишите уравнения Лагранжа для нее Постарайтесь выяснить физический смысл каждого из этих уравнений. Сведя задачу к одному дифференциальному уравнению второго порядка, получите его первый интеграл. Каков его физический смысл (Движение рассматривается лишь до тех пор, пока масса mi или гпг не пройдет через отверстие.) [c.40]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...