Эйлера оператор

Вариационная процедура Эйлера- — оператора в векторном про- [c.218]

Переходим к вычислению входящих в эйлеров оператор производных от У Следует при этом помнить, что коэффициенты зависят от как явно входящего, так и входящего через посредство 2.....Яп поскольку последние здесь являются искомыми [c.735]

Следствие 2.4.2. (Эйлер). Всякий оператор из 50(3) имеет хотя бы одно собственное значение Л = 1. В связи с этим группа 50(3) состоит из вращений вокруг всевозможных прямых, проходящих через полюс О. Эти вращения сохраняют ориентированность троек базисных векторов. [c.88]

Приведем еще один способ введения угловых координат, иногда более удобный, чем способ Эйлера, поскольку он позволяет исключить вырождение при 03 = ез. Пусть, как и прежде, действие оператора А состоит в том, что [c.93]

Согласно следствию 2.4.2 параметры Эйлера существуют для любого оператора А 50(3). [c.97]

Теорема 2.6.2. Зависимость компонент Uij матрицы оператора А Е 50(3) от. параметров Эйлера дается формулами [c.97]

Поскольку параметры Эйлера служат коэффициентами кватернионов из Hi, теорема 2.6.2 и теорема 2.6.3 дают возможность найти оператор А 50(3) по заданному кватерниону и обратно найти кватернион, описывающий то же движение, что и заданный оператор А е 50(3). [c.112]

Установим теперь соотношения между координатами вектора и> и производными по времени от углов Эйлера. Определение углов Эйлера дано на стр. 91, где оператор А 6 50(3) представлен в виде композиции А = о о А . Здесь Аф соответствует углу прецессии гр, Ай — углу нутации ё, А — углу собственного вращения (р. По определению вектор угловой скорости вращения вокруг некоторой оси направлен вдоль нее так, чтобы из его конца вращение было видно происходящим против хода часовой стрелки, а модуль вектора угловой скорости равен модулю производной по времени от угла поворота. [c.135]

В примере 2.6.1 указаны выражения для элементов матрицы оператора А через углы Эйлера. Из этих выражений следует [c.135]

Выписать зависимость компонент матрицы оператора А 6 50(3) от углов Эйлера. [c.150]

Пусть qo, 91, 92, 9з — параметры Эйлера для композиции А = А1 о Аз операторов А1 50(3) и Аз 50(3), а 9о, 9 , 92, 9з — параметры Эйлера для оператора А С использованием свойств унитарных матриц найти параметры Эйлера для оператора А3. [c.151]

Ускорение в переменных Эйлера выражается через один из дифференциальных операторов поля скоростей. О такого рода операторах поля будет сказано в следующем параграфе. [c.331]

Поскольку функция е < является комплекснозначной, необходимо пояснить, в каком смысле понимается действие оператора А на эту функцию. По формуле Эйлера функцию можно представить в виде = os ojt + i sin at. Формально, применив к этой формуле дискретный принцип суперпозиции (2.2.1), получим [c.62]

Отсюда ясно, что операторы В и В являются формально сопряженными, т. е. В = В, вместе с тем В —это оператор, входящий в дифференциальное уравнение совместности деформаций, а В — оператор, входящий в решение уравнений равновесия. Таким образом, полученные равенства свидетельствуют о том, что условия, поставленные в начале параграфа, выполнены и дифференциальные уравнения теории упругости являются уравнениями Эйлера, соответствующими вариационным проблемам для некоторых функционалов. [c.455]

Примем углы вращения по Эйлеру (см. рис. 100, а) и, линеаризовав операторы и их производные, получим [c.344]

Для обозначения оператора Гамильтона, действующего в актуальной конфигурации тела, можно использовать как знак V [9], так и V [36] в соответствии со второй формулой (1.12). В [38] используются оба обозначения, но это представляется нелогичным, так как V и V являются одним и тем же символическим вектором. В настоящей книге используется обозначение V в связи с тем, что оператор Гамильтона в актуальной конфигурации в основном используется для тензоров, определенных в переменных Эйлера. [c.24]

Рассмотрим усложнения, возникающие при замене координат (б2, Лг. 2,. . , Е/, il/, /) ровибронными координатами (9, ф, х, Qi, Qa, Q4/V+6, J /v+ь г/ +1, 2Tw+i, 2,) в уравнении Шредингера (7.45), где Qr (колебательные нормальные координаты) являются линейными комбинациями координат (х,у,г) ядер для линейной молекулы имеются (3N — 5) нормальных координат и два угла Эйлера. Прежде всего рассмотрим замену координат в операторе кинетической энергии электронов Те- Поскольку углы Эйлера не зависят от координат (g, г), электронов, замена координат в Те выполняется довольно легко. [c.143]

Операторы Jx, Jy, Jz, входящие в представляют собой компоненты ровибронного углового момента J [см. (7.78) и (7.79)]. В дальнейшем нам понадобятся выражения компонент оператора углового момента через углы Эйлера. Классические выражения для них определяются по формулам (см. формулу (6) книги [121] с. 261 русского перевода) [c.158]

Полезно определить преобразование углов Эйлера при вращении системы (л , у, z) вокруг различных осей. Вращение Ra системы (л , у, z) на я радиан вокруг некоторой оси, расположенной в плоскости ху и образующей угол а с осью х (а измеряется при вращении против часовой стрелки вокруг оси г), заменяет углы Эйлера на (я — 9, ф + л, 2л — 2а — %). Этот результат получается при тщательном изучении рис. 7.1 и действия оператора Ra на систему осей (л , у, z). Аналогичным образом вращение па р радиан вокруг оси z (измеренное против часовой стрелки) заменяет углы Эйлера на (9, ф, Х + Р)- [c.171]

Для удобства эти результаты приведены в табл. 7.1. Из трансформационных свойств углов Эйлера легко получаются трансформационные свойства операторов 1х, Jy h [см. (7.144) — (7.146)], которые также включены в табл. 7.1. [c.172]

Теперь мы рассмотрим более подробно связь между молекулярной точечной группой и группой молекулярной симметрии. Каждая операция О группы молекулярной симметрии преобразует, вообще говоря, как вибронные переменные, так и углы Эйлера и ядерные спины [и спины электронов в случае Гунда (а)]. Поэтому мы можем записать каждую операцию О в виде произведения коммутирующих операторов Оа, О и Ос, из которых Оа действует только иа вибронные переменные [и на спиновые функции электронов в случае Гунда (а)], Оь действует только на углы Эйлера, а Ос осуществляет перестановку ядер-ных спинов. Любая из этих операций может быть тождественной операцией, для которых мы используем обозначения Е, / и ро соответственно. Таким образом, мы можем записать каждую операцию группы МС в виде [c.303]

После того как определены вращения rI или Rt), эквивалентные элементам группы МС, трансформационные свойства операторов Jx, Jy и 7z при действии каждого из элементов группы МС получаются из результатов, приведенных в табл. 7.1. Так как матричные элементы направляющих косинусов зависят только от углов Эйлера [см. формулу (7.52)], их трансформационные свойства в группе МС также следуют из табл. 7.1, если определены вращения, эквивалентные элементам группы МС. Можно показать, что трансформационные свойства операторов Ххх, Кг, zx) и (7х, Jy, 7г), независимо от того, равно т = g, ii или i, идентичны. Этот результат следует также из рассмотрения, приводящего к формуле (5.118), так как можно записать [c.312]

U центросимметричной молекулы равны нулю, так как компоненты оператора J всегда относятся к типу симметрии g (так как операция (5,-, определяющая g- и и-типы симметрии, не влияет на углы Эйлера). Поэтому центробежное искажение ие смешивает вращательные уровни колебательных состояний g- и и-типа [см формулу (11.16) и обсуждение после нее]. На- [c.317]

Углы Эйлера доставляют минимальный набор координат, определяющих положение твердого тела. Когда они заданы, матрица оператора А вычисляется однозначно. Обратное неверно. Одному и тому же оператору А отвечает множество наборов углов Эйлера, так как каждый из углов может быть найден с точностью до слагаемого, кратного 2тг. Чтобы избавиться от этого неудобства, с.педует учесть. [c.92]

Использование углов Эйлера или кардановых углов не встречает принципиальных затруднений, когда углы элементарных поворотов задаются в зависимости от времени и требуется указать, в какое положение переходит твердое тело. Однако необходимость вычисления тригонометрических функций этих углов делает расчеты по определению матрицы оператора поворота не всегда эффективными. В ряде задач предпочтительным оказывается описание углового движения твердого тела с помощью параметров Эйлера, параметров Кэли-Клейна или кватернионов. [c.96]

Теорома 2.6.3. Пусть А = (арк) — матрица оператора А из 50(3). Тогда параметры Эйлера уо, Уз, У2, Уз можно найти с помощью одной из следующих систем уравнений [c.98]

Пример 2.6.1. Пусть матрица оператора А задается углами Эйлера 1р, 1 , так что А = A,iiAi)A,p. Коэффициенты Орк матрицы А выражаются формулами [c.99]

Отметим, что если Q 3(1(2) отвечает некоторому оператору А 50(3), то матрица —Q дает тот же оператор. Поэтому присутствие половинных углов Эйлера в выражениях для параметров Кэли-Клейна вполне естественно. Имеем взаимно однозначное соответствие между одним оператором из 50(3) и парой матриц (Q, —Q) из 3(1(2). Можно сказать, что Q есть двузначная функция операторов из 80(3). [c.110]

Отметим, что метод конечных элементов полностью ориентирован на применение ЭВМ, хорошо приспособлен для решения краевых задач в областях сложной формы, мало чузствителен к переменности коэффициентов дифференциальных операторов и виду правых частей. Наиболее бурное развитие этого метода относится к последним двум десятилетиям, но основы метода были заложены еще в работе Р. Куранта [17], где указано, что идея соответствующего алгоритма была навеяна работой Л. Эйлера примерно двухсотлетней давности, в которой исследуются условия минимума интеграла. [c.130]

Давление р, содержащееся в числе Эйлера, в уравнении движения входит под дифференциальный оператор, поэтому величину р можно заменить на р — ро = Ар при ро = соп81. Если под р понимать давление в произвольном сечении канала, а под ро — давление на входе в канал, то величина Др может использоваться как характеристика гидравлического сопротивления канала. В этом случае число Эйлера записывается в форме [c.15]

Обратное утверждение справедливо не всегда, а именно, не всякое дифференциальное уравнение или систему дифференциальных уравнений можно рассматривать как уравнения Эйлера в вариационной задаче для некоторого функционала. Для того, чтобы имелась такая возможность, дифференциальные операторы, входяище в дифференциальные уравнения, должны удовлетворять определенным требованиям. Эти требования сводятся к следующему. Дифференциальные операторы А и А, входящие в различные группы уравнений (каждая из которых составлена относительно своих тензоров и функций), должны быть формально сопряженными, т. е. такими, что [c.450]

Представим дифферощиальное уравнение типа уравнения Л.Эйлера - Ж.Лагранжа в общем виде с помощью некоторого дифференциального оператора L [c.284]

Рассмотрим переход от координат (I2, il2, I2.....ti) к ровибронным координатам Q,ф,x.Qu. .., Qs -e, Xn+i, . , Zi) в уравнении Шредингера для жесткой нелинейной многоатомной молекулы здесь три угла Эйлера (9, ф, %) определяют ориентацию молекулярно-фиксированной системы осей (х, у, z) относительно пространственной системы осей ( , т), ), а (ЗЛ — 6) нормальных координат Qr являются линейными комбинациями координат ядер Xi, yt, Zi). Тогда оператор выражается через операторы (1 , Qu. .., Рзлг-е, Р, . ... Ръи-%), где — компоненты ровибронного углового момента, а Рг = —itid/dQr. Такая замена координат позволяет разделить сумму и межъ-ядерной потенциальной функции Vn (которая получается в приближении Борна — Оппенгеймера, рассмотренном в следующей главе) на часть, зависящую только от 1х, Jy> и на (ЗЛ —6) частей, зависящих только от координат Qr и сопряженных им импульсов Рг. Новый набор координат содержит теперь три угла Эйлера вместо двух углов в (7.65) и (7.66) для двухатомной молекулы и (3N — 6) колебательных координат Qr вместо одной координаты R в (7.67) для двухатомной молекулы. Как видно из (7.58) и (7.60), такая замена координат не влияет на форму Те [см. (7.46)]. [c.153]

Каждый элемент группы МС помимо прочего приводит к определенному изменению углов Эйлера молекулы. Такое изме пение может быть представлено как эквивалентное вращение Например, для молекулы HjO, рассмотренной выше, эквива лептпыми вращениями для операций , (12), Е и (12) яв ляются вращения R , Ro, Rn/2 и Rz соответственно, где исполь зуются обозначения из табл. 7.1, а R° — единичный оператор Эти эквивалентные вращения можно записать иначе соответственно. [c.173]

Если равновесные конфигурации для молекулы в двух электронных состояниях Фе И Фе различны, ТО оривнтация осей (x,y,z), закрепленных в молекуле, для этих двух состояний при данном мгновенном расположении ядер также может быть различной. Это обусловлено тем, что ориентация осей определяется из условий Эккарта, которые зависят от равновесной геометрии молекулы [см. (7.127) — (7.135)]. Такой эффект называется поворотом осей [60]. Поэтому для однозначного определения ориентации осей (х, у, г) и, следовательно, величин Kat и Ма в (11.152) мы должны в качестве равновесной геометрии молекулы, которая может быть использована в условиях Эккарта, выбрать равновесную конфигурацию молекулы в одном из электронных состояний. Тогда вращательные волновые функции другого электронного состояния следует выразить через вращательные волновые функции, зависящие от углов Эйлера, определенных относительно новых осей, так как матричные элементы ЯаЕмогут содержать только один набор углов Эйлера, В результате становятся разрешенными некоторые лишние вращательные переходы, называемые переходами с поворотом осей, которые не удовлетворяют правилам отбора по К (или Ка и Кс), выведенным ниже. Этот эффект следует учитывать также при сравнении экспериментальных значений вибропных матричных элементов операторов Ма с их значениями, вычисляемыми из первых принципов. Переходы с поворотом осей обычно слабые и наблюдаются редко. [c.348]

Если спин электрона связан с группой СНз, то следует ввести систему осей, закрепленную в волчке СНз. Тогда мы получаем правила преобразования углов Эйлера, приведенных в табл. 10.21, и таблицу характеров спиновой двойной группы, которая совпадает с таблицей характеров группы sv(M)2 (см. табл. А. 8). Характеры полуцелых представлений зависят от того, с какой системой осей, закрепленных в волчке, связан нечетный электрон посредством оператора спин-орбитальной связи. Характеры спиновых двойных групп для нежестких молекул [c.408]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...