Линейные члены в функции

ЛИНЕЙНЫЕ ЧЛЕНЫ В ФУНКЦИИ L 183 [c.183]

Линейные члены в функции X. В случае натуральной системы [c.183]

Если имеется только один контур, т. е. если пластинка односвязна (т. е. не имеет отверстий), то мы можем для всех точек вычесть Ах- Ву- -С из и так как линейные члены в функции напряжений не влияют на напряжения, то может быть заменено /", Затем нам надо решить уравнение V / == О, при данных д-1 [c.436]

Если X — точка максимума, то линейные члены в (6.40) равны нулю, тогда равны нулю составляющие вектора — градиента функции f(X). Следовательно, необходимым условием экстремума является условие [c.278]

Рассмотрим влияние гироскопических сил. Такие силы могут возникать, например, вследствие действия кориолисовых сил в неинерциальной системе отсчета. Они также могут быть следствием процедуры Рауса игнорирования циклических координат. Рассмотрим случай // = 2 + 0- Если лагранжевы координаты системы ортогональны в том смысле, что форма Ьо есть сумма членов, содержащих только квадраты обобщенных скоростей, то (см. 8.5) функция Рауса также будет представлять собой сумму положительно опреде,пен-ной квадратичной формы по позиционным скоростям и свободного от скоростей члена. Однако если 2 — произвольная положительно определенная квадратичная форма, то отсутствие линейного по скоростям члена в функции Рауса гарантировать нельзя, так что функцию Рауса следует принять в виде [c.593]

Остальные члены имеют необычную природу. Их можно, вообще говоря, считать частью кинетической энергии Т, но вместо того, чтобы быть квадратичными, они линейны по скоростям. Такие члены в функции Лагранжа называются 6В [c.155]

Линейные члены в выражении для функции Лагранжа могут появиться либо при составлении функции Рауса, либо тогда, когда на систему наложено движение с заданной [c.179]

Формулы (29.7.1) определяют контактное преобразование. Новая функция Гамильтона, записанная в переменных и , v , не содержит линейных слагаемых. Так как и, v остаются малыми, то первое приближение мы получим, если в уравнениях движения сохраним лишь линейные члены, что равносильно сохранению одних только квадратичных членов в функции Гамильтона. Указанное первое приближение определяется уравнениями [c.582]

Рис. 63. Первое прочтение два типа траекторий движения под действием силы тяжести (направленной вниз) при наличии магнитного поля, ортогонального плоскости (промежуточный вариант — траектория типа циклоиды). Наблюдается не падение, а дрейф. Левый рисунок, в отличие от правого, действителен лишь до тех пор, пока модуль начальной скорости не превосходит некоторого предела, при превышении которого траектория сразу пойдет вверх. Второе прочтение рисунка изменение углов прецессии и нутации в случае Лагранжа. Причина качественного сходства траекторий в обеих задачах — наличие линейных по скоростям членов в функциях Лагранжа и Рауса соответственно

Соотношения (4.144) и (4.145) иллюстрируют редко замечаемое свойство уравнения параксиальных лучей. В случае скошенных лучей (лучей с ненулевыми компонентами начальной скорости в азимутальном направлении) Сфд даже в отсутствие магнитного поля и, более того, даже в отсутствие ка-кого-либо поля вообще. Вследствие этого прямолинейная траектория не может быть описана линейными членами в меридиональной плоскости. Как мы уже знаем, величина г а в этом случае постоянна (см. (4.27)), но это не означает, что г либо а — линейная функция z. (С помощью преобразования к декартовым координатам через (1.9) легко убедиться, что траектория прямолинейна.) Можно заключить, что использование цилиндрической системы координат не является лучшим способом описания скошенных лучей даже в случае аксиально-симметричных полей. [c.234]

Значение шага t можно определить из разложения функции 1(1 ) в ряд Тейлора до линейных членов в окрестности точки Ь = 0 [c.90]

Если XV — точка максимума, то на основании (6.1) линейные члены в (6.2) равны нулю, откуда равны нулю составляющие вектора-градиента целевой функции [c.153]

Изменим теперь порядок рассуждений. Возьмем ко за начало координат. - Тогда чтобы элемент симметрии фо из группы (Ао) был совместим с наличием линейного члена в разложении функции /(А), этот элемент должен оставлять инвариантным [c.323]

Н. Е. Жуковский получил уравнения (2.7) в своей магистерской диссертации [78] из более простых механических и гидродинамических соображений. Далее он сосредоточился на вычислении динамических характеристик для полостей различной геометрии. Рассматривая многосвязные полости, допускающие циркуляционные течения, Н. Е. Жуковский установил случай интегрируемости, который несколько позже В. Вольтерра проинтегрировал в эллиптических функциях [280] ( СМ. 7 гл. 2, 8 гл. 5). Циркуляционные течения в полостях приводят к появлению линейных членов в гамильтониане (2.8). [c.182]

Из (19.22) видно, что вместо экспоненциального закона мы имеем линейную функцию времени (а в сечении — квадратичную функцию времени), умноженную на экспоненту. Аналогичным образом полюсы более высокого порядка приводят к временной зависимости в виде полинома более высокого порядка по I, умноженного на такую же экспоненту. Подобные видоизменения будут существенны, в частности, для больших времен. Времена, при которых они начинают приводить к наблюдаемым отклонениям от чисто экспоненциального закона, зависят, конечно, от соотношения между величинами а и Ь. Хотя линейный член в (19.22) в конце концов всегда будет преобладать, это произойдет тем позже, чем меньше а по сравнению с Ь. [c.555]

Устраняя линейный член в экспоненте преобразованием сдвига, находим выражение для корреляционной функции [c.164]

В области этого положения разложение функции f начнется с линейных членов. В первом приближении уравнение связи имеет вид [c.460]

Исключение из этого равенства производных от u,v,t ,n,t по < с помощью (1.1) приводит к равенству, линейно зависящему от производных функций и, V, ш, п, 1 по х,у,2. Проведенное исключение производных по I исчерпывает все имеющиеся связи между производными. Поэтому полученное равенство выполняется лишь при обращении в нуль всех коэффициентов при производных и свободного члена. В результате возникает система шестнадцати уравнений для определения функций А, В, С, О с независимыми переменными 1,х,у,г,и,ь,ы,п,1 [c.18]

Рассматривают некоторую совокупность соседних узлов, т. е. шаблон. Затем составляют линейную комбинацию с неопределенными коэффициентами, в которую входят значения искомой функции и и свободного члена в узлах, принадлежащих шаб- [c.82]

Для каждого из этих предельных случаев главным членом разложения функции распределения в ряд является максвелловская функция распределения [1]. В общем случае можно попытаться построить интерполяционные формулы для расчета кинетических коэффициентов, используя их представление для каждого из предельных случаев. Однако гораздо удобнее прибегнуть к решению интерполяционного линейного интегрального уравнения, в этом случае интерполяционные формулы для кинетических коэффициентов получают как естественное следствие решения упомянутого линейного интегрального уравнения. Изложение указанного подхода (обобщенного метода Энскога), предложенного Б. В. Алексеевым, а также методов возмущений для уравнения Больцмана с неупругими столкновениями можно найти в [1]. [c.127]

Разложив эти функции в ряд Тейлора и сохранив линейные члены ряда, учитывая малые размеры частицы, получим [c.76]

Предполагается, что в этой окрестности функция / (р.) хорошо описывается линейным членом разложения и следующее приближение к корню находится из условия [c.55]

Если бы вариации бю были совершенно произвольными (удовлетворяющими нун<ным условиям на границе), то полученное решение было бы точным, так как вариационный принцип полностью эквивалентен системе уравнений равновесия и граничным условиям для напряжений. В данном случае условие экстремума выполняется лишь по отношению к некоторым Ью, поэтому полученное решение является приближенным. Однако если система функций — полная система, т. е. если любую функцию из данного класса, в частности, Ьгс х, у, ), можно приближенно с любой степенью точности представить в виде линейной комбинации этой системы функций, то, взяв достаточное число членов в (9.9), можно получить решение, вообще говоря, весьма близкое к точному. [c.393]

Предположим теперь, что начало координат Р нашей системы отсчета является положением равновесия. Следовательно, функция V должна иметь в этой точке стационарное значение (см. гл. II, п. 2 и гл. III, п. 1). Поэтому линейные члены разложения (5.10.12) выпадают. Поскольку аддитивная постоянная в потенциальной энергии несущественна, то можно считать, что разложение начинается с членов второго порядка. Дальнейшие члены не нужны, потому что уже членами третьего порядка можно пренебречь при достаточно малых qi. Следовательно, можно написать [c.178]

Обсудим связь между материалом, изложенным в данном пункте, где речь шла об описании механических явлений вблизи положения равновесия, и макроскопической картиной пространства конфигураций. Мы оперировали с координатами, имевшими значение локальных координат. Они отражали малые локальные вариации bqi координат I вблизи положения равновесия Р. Потенциальная энергия V вследствие разложения в ряд Тейлора также отражала локальные вариации потенциальной энергии V в окрестности точки Я. Линейные члены выпадали, поскольку мы разлагали функцию вблизи точки равновесия. Разложение начиналось с членов второго порядка и давало то, что в общем случае называется второй вариацией функции (см. гл. II, п. 3). Теперь мы видим, что та же самая вторая вариация, которая была существенна при определении экстремальных свойств стационарной точки, существенна и в вопросе об устойчивости либо неустойчивости состояния равновесия. Если все X положительны, то вторая вариация является положительно определенной формой это означает, что потенциальная энергия увеличивается в любом направлении от Р. Следовательно, потенциальная энергия имеет локальный минимум в точке Р. Утверждения о наличии минимума потенциальной энергии и существовании устойчивого положения равновесия эквивалентны. Если по крайней мере один из корней отрицателен, то вторая вариация меняет знак и стационарное значение потенциальной энергии не является уже истинным экстремумом. В то же время соответствующее положение равновесия неустойчиво. [c.188]

Отсюда следует, что в приведенной лагранжевой функции (56 ) [ ] линейные члены относительно qf , происходящие от с шмы и поэтому появляющиеся на основании формул (55") в сумме [c.306]

Последнюю величину можно также отождествить с полной энергией системы, рассматривая криволинейный интеграл от силы по траектории материальной точки, как это делалось в гл. И. В этом случае равенство величин Н и Е происходит частично благодаря, по-видимому, случайному сокращению членов, относящихся к векторному потенциалу. Можно далее усмотреть, что входящие в функцию Лагранжа члены потенциала, зависящие от скорости, образуют линейную однородную функцию от компонент скорости. Если эти члены обозначить через то из [c.65]

Видим, что 1 (0 будет монотонной функцией, если ar os /fee е[0], 02]. Тогда вектор e(i) описывает волнообразную кривую (рис. 66, а). В противном случае на кривой появятся петли (рис. 66, б). Таким образом, появление линейного члена в функции Рауса Rh приводит к своеобразному закручиванию траекторий вектора е(/). [c.229]

Диссипативная функция Релея. Если среди заданных сил имеются силы, зависящйе от скорости, то они могут оказать влияние на члены Qr в уравнениях Лагранжа (6.2.1). В некоторых случаях, когда силы являются гироскопическими (например, в задаче о движении заряженной частицы в магнитном поле, см. 10.6), они могут быть учтены путем присоединения к выражению для L соответствующих линейных членов. В этом параграфе мы рассмотрим другой класс задач, связанных с силами, зависящими от скорости. Речь будет идти о силах сопротивления, или диссипативных силах, действующих на каждую частицу в направлении, противоположном ее скорости. Мы ограничимся исследованием простого случая, когда сила сопротивления пропорциональна скорости. Уравхгения движения (2.2.12) запишутся теперь в форме [c.196]

В данном А. М. Ляпуновым определении устойчивости предполагается, что возмущающих сил нет в том смысле, что возмущенные движения происходят под действием тех же внешних сил, которые учитываются при определении невозмущенного движения. Задача об устойчивости при возмущающих силах не имеет смысла, если последние ничем не стеснены. Если возмущающие силы меняются от случая к случаю так мало, что их изменение не влияет на линейные члены в правых частях уравнений возмущенного движения, возникает практически важная задача об устойчивости по первому приближению, независимо от членов выше первого-порядка в функциях Xs- Эту задачу Ляпунов разрешил своими теоремами об устойчивости по первому приближению. Для случая, когда в уравнениях (9.2) Psr = onst и невозмущенное движение устойчиво по первому приближению, Н. Г. Четаев (1946) выяснил те свойства функций Х в уравнениях (9.1), при которых проходит доказательство теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Он показал, что если для произвольного числа > О, как бы мало оно ни было, функции Х могут быть стеснены неравенствами j < Я, где X обозначает число, построенное по способу Ляпунова в доказательстве его теоремы об устойчивости, то невозмущенное движение будет устойчивым независимо от численных значений Хд. [c.51]

Функционал для плоских деформаций (см. гл. И) включает функции и и о и их первые производные таким образом, для этой задачи р= 1. Условием согласованности будет непрерывность й и й, что обеспечивается выбранными элементами. Условие полноты для обеих функций и и о также удовлетворяется, поскольку их пробные функции являются полными полиномами первого порядка. Перемещения жесткого тела (т. е. перемещения, не деформирующие элемент) возможны благодаря наличию постоянных членов в представлении и и и. Деформации, будучи первыми производными от перемещений, аппроксимируются на каждом элементе константами и, следовательно, имеют в рассматриваемой области кусочно-постоянный вид. Когда используются полные полиномы более высокого порядка, даже в более общей трехмерной задаче упругости присутствие постоянных и линейных членов в пробных функциях все чаще гарантирует присутствие Жестких перемещений и кусочно-постбянных деформаций. [c.178]

Выше отмечалось, что в качестве аппроксимирующих функций элементов чаще всего используются полиномы. В зависимости от степени последних конечные элементы делятся на симплекс-, комплекс- и мультиплекс-элементы. Полиномы симплекс-элементов содержат константы и линейные члены полиномы комплекс-элементов — константы, линейные члены, а также члены более высоких степеней. Комплекс-элементы, как правило, кроме граничных имеют дополнительные внутренние узлы. Полиномы мультиплекс-элементов также содержат члены более высоких степеней. Однако на мультиплекс-элементы накладывается дополнительно еще одно условие их границы должны быть параллельны координатным осям. [c.23]

Разложим теперь функции, входящие в это равенство, в ряды Тейлора по степеням и. Выписав лишь линейные члены и заменив многоточиями члены высщих порядков, получим [c.50]

Мы рассмотрим здесь ангармонические эффекты третьего порядка, происходящие от кубических по деформации членов в упругой энергии. В общем виде соответствующие уравнения движения оказываются очень громоздкими. Выяснить же характер возникающих эффектов можно с помощью следующих рассуждений. Кубические члены в упругой энергии дают квадратичные члены в тензоре напряжений, а потому и в уравнениях движения. Представим себе, что в этих уравнениях все линейные члены перенесены в левые, а все квадратичные — в правые стороны равенств. Решая эти уравнения методом последовательных приближений, мы должны в первом приближении вовсе отбросить квадратичные члены. Тогда останутся обычные линейные уравнения, решение Uo которых может быть представлено в виде наложения монохроматических бегущих воли вида onst-е определенными соотношениями между (О и к. Переходя к следующему, вгорому, приближению, надо положить и = и,, + Uj, причем в правой стороне уравнений (в квадратичных членах) надо сохранить только члены с Uq. Поскольку Uq удовлетворяет, по определению, однородным линейным уравнениям без правых частей, то в левой стороне равенств члены с Uq взаимно сокращаются. В результате мы получим для компонент вектора Uj систему неоднородных линейных уравнений, в правой части которых стоят заданные функции координат и времени. Эти функции, получающиеся подстановкой Uq в правые стороны исходных уравнений, представляют собой сумму членов, каждый из которых пропорционален множителю вида [(к,-к,) г-(й)1-(о,)/] или где tt i, (02 и к , — частоты и волновые векторы каких-либо двух монохроматических волн первого приближения. [c.145]

При выводе уравнений равновесия и уравнений движения нематиков наличие у них центра инверсии не использовалось. Поэтому те же уравнения в их общем виде справедливы и для холестериков. В то же время имеется и ряд отличий. Прежде всего, меняется выражение Fa, с которым должно вычисляться, согласно определению (36,5), молекулярное поле h. Далее, наличие линейного по производным члена в свободной энергии приводит к появлению различия между изотермическими и адиабатическими значениями модуля /Са (ср. конец 36). В сформулированной в 40, 41 системе гидродинамических уравнений основными термодинамическими переменными являются плотность и энтропия. Соответственно этому должны использоваться адиабатические значения (как функции р и S) модуля упругости. [c.225]

Воспользовавшись соотношением (6.37), можно вычислить теплоемкость Су , электронного газа. Так как Еф согласно (6.37) зависит от Т , то и и, должна быть функцией Т , вследствие чего теплоемкость , = (duJdT)v будет линейной функцией температуры, т. е. = уТ (при Г = О, согласно третьему началу термодинамики, Су, f = О, поэтому постоянный член в выражении для Су, е отсутствует). Для определения коэффициента пропорциональности у разложим значения -f p,v, s T в ряд по степеням Т [c.455]

Метод коллокации заключается в следующем. Искомая функцня представляется в. виде ряда. Затем выражение функции вводится в разрешающее дифференциальное урлвнение с требованием удовлет-=ворения этого уравнения в отдельных точках области задания функции. Каждая точка, в которой это требование выполняется, называется точкой коллокации. Из полученной таким образом системы линейных алгебраических уравнений могут быть определены коэффициенты аппроксимирующей функции. Естественно г-ртребоватъ, чтобы число членов аппроксимирующей функции соответствовало числу точек коллокации. [c.384]

Таким образом, мы видим, что благодаря членам гиростати-ческой природы в функции Лагранжа в уравнениях малых колебаний появляются линейные члены относительно лагранжевых нормальных скоростей с антисимметричными (постоянными) коэффициентами. [c.393]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...