Принцип экстремального действия

ПРИНЦИП ЭКСТРЕМАЛЬНОСТИ ДЕЙСТВИЯ [c.101]

ПРИНЦИП ЭКСТРЕМАЛЬНОГО ДЕЙСТВИЯ [c.119]

Проиллюстрировать принцип экстремального действия (3.5.2) на примере гармонического осциллятора, [c.120]

Из принципа экстремального действия (32.2) вытекает важное следствие функция Лагранжа механической системы определена лишь с точностью до полной производной по времени от произвольной функции обобщенных координат и времени. [c.184]

Если силы, действующие на частицу, не являются потенциальными, то ее уравнение движения относительно той же системы отсчета, как показывает принцип экстремального действия (32.11), должно иметь вид [c.255]

Принцип экстремального действия [c.207]

Принцип экстремального действия может быть применен к сложным механическим системам со связями. Однако уравнения для таких систем уже получены из общего уравнения механики. Особенно важно, что принцип экстремального действия применим для свободных систем в фундаментальных силовых полях, а также для самих полей как систем с бесконечным числом степеней свободы. По этой причине принцип позволяет получать фундаментальные уравнения физики как в механике, так и за ее пределами. [c.207]

Вывод уравнений Лагранжа из принципа экстремального действия. В математике интеграл (24.1) принадлежит к так называемым функционалам, если рассматривается зависимость его величины от вида подынтегральной функции. Задача об экстремуме функционала — отыскание функции, при которой наступает экстремум,— решается методами вариационного исчисления. В результате решения находятся дифференциальные уравнения, выполняющиеся для подынтегральной функции а поскольку в нашей постановке вопроса лагранжиан есть известная функция переменных д, д и I, то получаются дифференциальные уравнения для обобщенных координат, т. е. уравнения движения. [c.208]

Особенность принципа экстремального действия состоит в простой связи его с преобразованиями от одной системы отсчета к другой. [c.209]

Принципы механики подразделяются еще на невариационные и вариационные. Невариационные законы устанавливают соотношение между величинами, имеющими место для действительного движения. Вариационные устанавливают признаки, отличающие действительное движение от всех других движений, кинематически возможных. Примером вариационных дифференциальных принципов служит принцип возможных перемещений и общее уравнение механики. Известен ряд вариационных интегральных принципов, обладающих различной общностью. Наиболее общим является принцип, установленный Гамильтоном и обобщенный Остроградским, или принцип экстремального действия. [c.211]

Принцип экстремального действия охватывает и немеханические явления, находя применение в электродинамике и теории относительности, термодинамике и статистической физике, квантовой механике и других разделах теоретической физики. Такое широкое применение принципа тесно связано с методом обобщенных координат. Уравнения Лагранжа не ограничены реальным евклидовым пространством. Только для свободной точки они представляют уравнения движения в координатах трехмерного пространства. В случае системы со связями автоматический учет действия сил реакций связей осуществляется уже самим выбором обобщенных координат, а число их определяет мерность пространства конфигураций. Переход к бесконечномерному пространству конфигураций позволяет применить [c.211]

Принцип экстремального действия распространяется на релятивистскую механику при условии, что действие [c.267]

Движение материальной точки в слабом поле. Получим уравнение движения точки в поле, используя принцип экстремального действия (1, 24.2) и вытекающие из него уравнения Лагранжа (I, 24.4). Действие для частицы в поле задается формулой (7.34) 5 = -5 [c.297]

Принцип Гамильтона состоит в следующем функции и У1, удовлетворяющие уравнениям Лагранжа (выражающие истинное движение системы под действием данных сил), удовлетворяют в то же время необходимым условиям экстремальности действия по Гамильтону, т. е. действие по Гамильтону имеет максимум или минимум сравнительно со значениями во всех других возможных близких движениях системы, переводящих ее из начального положения (при <= о) в конечное (t = tl). [c.405]

Ряд важнейших исследований по аналитическим методам решения задач механики принадлежит знаменитому русскому математику и механику М. В. Остроградскому (1801 —1861). Он установил очень важный вариационный принцип динамики — принцип наименьшего действия, позволяющий сводить изучение движения механических систем к некоторой экстремальной задаче. Этот принцип называется принципом Остроградского — Гамильтона, так как независимо от Остроградского и в несколько менее общем виде он одновременно также был дан английским ученым Гамильтоном (1805— 1865). М. В. Остроградский решил также много частных механических задач в области гидростатики, гидродинамики, теории упругости, теории притяжения и баллистики. [c.16]

Согласно равенству (7.39) траектория системы в пространстве конфигураций такова, что, двигаясь по этой траектории с заданной энергией, система проходит путь между двумя ее точками в кратчайшее время (точнее, время этого движения является экстремальным). В данном случае принцип наименьшего действия напоминает известный принцип Ферма в геометрической оптике. Согласно этому принципу световой луч всегда выбирает тот путь, при котором время движения от данной точки А к данной точке В является наименьшим. Нам еще представится случай вернуться к этим соображениям в главе 9, где будет рассматриваться связь между методом Гамильтона и геометрической оптикой. [c.257]

Подобные общие принципы, в которых выставляется требование, чтобы интеграл некоторой функции состояния, распространенный на время, в течение которого происходит изменение состояния, имел экстремальное значение, иногда обязательно минимальное, выдвигались неоднократно. Эти принципы имели различную форму, соответствующую тем или другим условиям, налагаемым на варьирование, но при правильном выполнении требуемых варьирований все эти принципы приводят к одним и тем же дифференциальным уравнениям для рассматриваемых процессов. Первым из этих интегральных принципов был предложенный Мопертюи принцип наименьшего действия, в котором утверждалось, что при всех происходящих в природе явлениях среднее значение живой силы имеет минимальное значение. Условия варьирования, имеющие при этом место для механических задач, найдены только Лагранжей, и тем самым этот принцип был только им научно обоснован. Эти условия с современной точки зрения могут быть выражены требованием, чтобы полная энергия варьированного движения оставалась равной полной энергии действительного движения. Впрочем, к тем же результатам приводит принцип Гамильтона, при котором имеет место другое условие, а именно, что время не затрагивается варьированием. Это последнее условие имеет то преимущество, что мы имеем возможность присоединить к Я добавочные члены, относящиеся к внешним силам. Поэтому мы оставляем форму Гамильтона, которая теперь при сохранении прежнего условия варьирования гласит [c.465]

I. Мерой механического движения в вариационном принципе наименьшего действия является функционал 8ь, называемый действием по Лагранжу. Чтобы выявить экстремальные свойства действия 8ь для реальных движений механических систем, нужно установить процедуру выбора пучка близких траекторий в пространстве конфигураций и произвести для них вычисление функционала 81,. Мы будем предполагать, что рассматриваемые механические системы консервативны и для них имеет место интеграл энергии, т. е. [c.133]

Согласно этому принципу функция действия на действительной траектории имеет экстремальное значение по сравнению с ее значениями на виртуальных траекториях, точки которых в начальный и конечный моменты времени совпадают соответственно с начальным и конечным положениями системы. [c.452]

Принцип наименьшего действия состоит в том, что при переходе системы из положения Р в положение Р2 частицы движутся по таким кривым, для которых действие имеет экстремум. Для того, чтобы найти экстремум, необходимо испытать всевозможные функции да t), соединяющие Р и Р2. Этот подход нереален. Однако можно использовать одно из свойств экстремальности если удалиться от экстремума на величину первого порядка малости е, то функционал отклонится на величину второго порядка малости [38]. [c.52]

Поэтому принцип Гамильтона — Остроградского часто называют принципом экстремального или наименьшего) действия. [c.182]

Запись законов природы в виде дифференциальных уравнений непосредственно учитывает наши представления о причинности, ибо при этом процесс развивается из некоторого начального состояния. В полном отличии от этого в принципе Гамильтона речь идет о конечном интервале, времени, когда одинаково принимается во внимание и прошлое, и будущее.. Поэтому в литературе встречаются высказывания,— в стиле автора этого принципа — наподобие следующего для того чтобы достичь своей цели, природа из всех мыслимых движений выбирает те, которые (соответствуют экстремальному действию. [c.27]

Принцип наименьшего действия утверждает тогда, что действительные движения выделяются из всех мыслимых тем условием, что для них действие принимает экстремальное (для достаточно малых 2 — — минимальной) значение. [c.16]

На протяжении веков мы исходили из убеждения, что законы Природы просты, и были щедро вознаграждаемы в проводимых исследованиях законы механики, гравитации, электромагнетизма и термодинамики допускают простые формулировки и могут быть точно представлены всего лишь несколькими уравнениями. Помимо простоты Природа также склонна к оптимизации , т. е. экономии явления Природы часто происходят так, что некоторая физическая величина достигает своего минимального или максимального значения, или, если воспользоваться собирательным термином, достигает экстремального значения. Французский математик Пьер де Ферма (1601-1665) заметил, что изгибание лучей света при прохождении различных сред может быть точно описано на основании одного простого принципа свет распространяется от точки к точке по пути, для прохождения которого необходимо наименьшее время. Действительно, все уравнения движения в механике могут быть получены с помощью принципа наименьшего действия, который гласит если тело в момент времени находится в точке 2 1, а в момент времени 2 — в точке Х2, то движение происходит так, что минимизирует величину, называемую действием. Этот круг вопросов занимательно изложен в Фейнмановских лекциях по физике [1, т. 1, гл. 26 и т. 2, гл. 19]. [c.129]

Если, наоборот, точка Мз лежит между точками Л41 и М2— действие вообще не принимает на действительной траектории экстремального значения. Аналогичные заключения можно сделать и относительно принципа Гамильтона— Остроградского ). [c.205]

Замечание. — Определение траекторий при помощи принципа Якоби сводится к чисто геометрической задаче нахождения экстремума интеграла (2), представляющей собой задачу на определение геодезических линий. "Время при этом исключается из рассмотрения, и мы имеем экстремальную задачу, если оставить в стороне механическую интерпретацию интеграла (2). Некоторые авторы сохраняют за этим интегралом название действия вдоль траектории. Следует, однако, заметить, что рассматриваемый интеграл представляет собой действие в механическом смысле лишь при условии, что вводится гипотеза, согласно которой при движении материальной системы ее энергия Т — 7 остается постоянной. [c.324]

Вопрос об экстремальных свойствах действия по Лагранжу решается точно так же, как и для принципа Гамильтона-Остроградского при помощи рассмотрения сопряженных кинетических фокусов. [c.484]

Поэтому, хотя поиски экстремальных соотношений в оптике и механике начались на самой заре развития вариационного исчисления, которое и возникло в связи с этими поисками и при решении соответствующих частных задач (например, задачи о брахистохроне), однако оформились они в виде ясных математических выражений раньше всего в оптике, где не требовалось ни разработки такого сложного понятия, как действие , ни выяснения характера его варьирования. Однако время входит и в картину механического движения, поэтому, почти одновременно с возникновением принципа кратчайшего времени в оптике, возникла идея о применении его в механике, а также о разработке в механике самостоятельного, но аналогичного по структуре принципа. Механистическая концепция физической картины мира подсказывала возможность единого принципа для оптики и механики — первая, еще не ясная, но чреватая многочисленными последствиями идея оптико-механической аналогии. [c.781]

Шаумян впервые доказал, что важнейшие типы многопозиционных машин (последовательного, параллельного, последовательно-параллельного действия) различаются не только принципами построения, но и закономерностями развития, связанными с увеличением числа позиций. В машинах параллельного действия увеличение позиций приводит к монотонному, но асимптотическому увеличению производительности, которая стремится к некоторому пределу, зависяш ему только от уровня надежности в работе механизмов и устройств. В машинах последовательного действия эта зависимость носит экстремальный характер — с увеличением числа позиций производительность машины сначала растет, а затем резко падает. Шаумян вывел формулы расчета наивыгоднейшего по производительности числа позиций. Оказалось, что оно зависит лишь от двух факторов общ ей длительности обработки и надежности механизмов и устройств автоматов. Чем выше надежность конструкции, тем с большим числом позиций можно строить полуавтоматы и автоматы. [c.43]

В системах оптимального управления в большинстве случаев поддерживаются такие соотношения между скоростью резания v и подачей s, чтобы стоимость обработки детали на станке была минимальной. Принцип действия оптимальной системы показан на рис. 5.27. Система самостоятельно ищет по определенному алгоритму ту рабочую точку в поле скорость—подача , в которой выбранный критерий оптимальности Е (стоимость обработки) приобретает экстремальное значение. При изменении условий обработки положение оптимума Uj смещается, и система автоматически смещает рабочую точку в новое положение оптимума Уа- [c.132]

Другое важное преимущество вариационного принципа (32.2) состоит в том, что его нетрудно распространить на системы, имеющие бесконечно большое число степеней свободы, т. е. на системы, не являющиеся чисто механическими, например, на упругие среды, электромагнитные поля и поля элементарных частиц. Другими словами, почти во всех областях физики можно сформулировать вариационные принципы, аналогичные принципу (32.2) и позволяющие получать соответствующие им уравнения движения (например, уравнения Максвелла в классической электродинамике, уравнение Шредингера в квантовой механйке и т. д.). Различие в формулировках принципа экстремального действия в указанных разделах физики сводится лишь к различию в определении соответствующих функций Лагранжа. Возможность формулировки принципа экстремального действия в различных разделах физики свидетельствует о единстве материального мира и общности форм проявления различных физических процессов. [c.186]

Используя определение фувкции Гамильтона (33.3), принцип экстремального действия можно представить в виде [c.193]

Действие. Принцип Гамильтона. Уравнения Лагранжа были получены ранее из уравнений Ньютона для системы связанных материальных точек с помощью принципа виртуальных перемещений и принципа Даламбера — Лагранжа. Однако уравнения Лагранжа можно получить из общего теоретического принципа, носящего название вариационного принципа экстремального (иногда стационарного) действия. (Он же называется принципом Остроград-ского — Гамильтона.) Принцип экстремального действия распространяется не только на механические, но и на квантово-механические системы, поля, поэтому он имеет важнейшее теоретическое значение. [c.207]

Мы применим принцип экстремального действия для нахождения уравнений движения свободной точки в потенциальном и обобщеннопотенциальном поле. [c.207]

Математическое выражение, называемое принципом наименьшего действия, у Эйлера естественно вытекало из его работ по отысканию кривых, обладающих экстремальными свойствами. Однако, если геометрическая задача блестяще решалась методом изопериметров , то в случае механического движения приходилось ограничиваться решением уже решенных задач (а posteriori), так как указать из общих соображений, какая именно величина в том или ином случае будет иметь максим ум и минимум, не удавалось. Это ограничивало сферу применения и эвристическое значение принципа наименьшего действия у Эйлера. Еще одно ограничение универсаль- [c.788]

Однако, как было уже отмЛено, экстремальный характер вариационного принципа лишает телеологическое истолкование какого-либо смысла. Особенно отчетливо это видно при рассмотрении формы, которую Якоби придал принципу наименьшего действия. [c.867]

Математическое выражение, называемое принципом наименьшего действия, у Эйлера естественно вытекало из его работ по отысканию кривых, обладающих экстремальными свойствами. Однако если геометрическая задача блестяще решалась методом изопериметров , то в случае механического движения приходилось ограничиваться решением уже решенных задач, так как указать из общих соображений, какая именно величина в том или ином случае будет иметь максимум и минимум, не удавалось. Это ограничивало сферу применения и эвристическое значение принципа наименьшего действия у Эйлера. Еще одно ограничение универсальности его характера явствовало из того, что у Эйлера он органически связан с законом живых сил и имеет место только там, где применим последний. [c.198]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...