Тело Зависимость между компонентами

Деформируемое тело, полностью восстанавливающее свои размеры и форму после снятия нагрузки, называется упругим. Для изотропного однородного упругого тела при малых деформациях и напряжениях, не превышающих некоторых определенных значений, принимаем линейные зависимости между компонентами деформации и компонентами напряжения. Эти линейные зависимости выражают собой закон Гука [c.180]

Необходимость существования зависимостей между компонентами тензора деформации можно обосновать также геометрически. Предположим", что в начальном состоянии тела оно мысленно разделено на элементарные параллелепипеды (исключая элементы у поверхности [c.24]

Возвращаясь к уравнению (б) и ему сопутствующим, мы види.м, что объемный интеграл по всему телу от любой линейной функции компонент напряжения должен быть равен нулю. Следовательно, любая линейна зависимость между компонентами напряжения и деформации обеспечивает равенство нулю объемного интеграла от любой компоненты деформации. При этом не требуется изотропии материала в частности, равно нулю и изменение объема материала, вызываемое таким напряженным состоянием. [c.471]

Зависимости между компонентами деформации и составляющими перемещения точки тела [c.454]

Зависимость между компонентами тензоров напряжений и деформаций, например, для изотропного трехмерного вязкоупругого тела можно представить в виде линейных дифференциальных операторов [c.10]

Известно, что ограничения, накладываемые результатами простейших экспериментов (связь между напряжениями и деформациями при растяжении-сжатии, чистом сдвиге и т.п.), не определяют полностью функцию Ф, поэтому, вообще говоря, можно построить сколько угодно зависимостей между компонентами напряжений и деформаций для упругого изотропного тела, приводящих при одноосном растяжении-сжатии к линейному закону Гука [3, 4]. [c.112]

Следовательно, процесс нагружения в точке деформируемого тела задают функцией а (/) и кривой в пятимерном пространстве (к = 1,2, 3, 4, 5), которая описывается концом вектора напряжений (1.122). Такая кривая называется траекторией нагружения в пространстве напряжений [69]. Зависимости между компонентами вектора напряжений и компонентами девиатора напряжений [c.52]

Приведенные в первой главе формулы и уравнения справедливы для любой сплошной среды, независимо от того, является она упругой, пластической или находится в любом другом физическом состоянии. Для различных физических состояний сплошной среды физические уравнения различны. Рассмотрим среды или тела, для которых зависимости между деформациями и напряжениями носят линейный характер, т. е. подчиняются обобщенному закону Гука. По упругим свойствам тела разделяются, с одной стороны, на однородные и неоднородные, а с другой — на изотропные и анизотропные. Тела, в которых упругие свойства во всех точках одинаковы, называются однородными, а тела с различными упругими свойствами в различных точках тела — неоднородными. Неоднородность непрерывная, когда упругие свойства тела от точки к точке изменяются непрерывно, и дискретная, когда упругие свойства тела от точки к точке испытывают разрывы или скачки. Тела, упругие свойства которых во всех направлениях, проведенных через данную точку, одинаковы, называют изотропными, а тела, упругие свойства которых во всех направлениях, проведенных через данную точку, различны,— анизотропными. В зависимости от структуры тело может быть изотропным или анизотропным и одновременно однородным или неоднородным [91]. В случае однородного упругого тела, обладающего анизотропией общего вида, зависимость между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций в точке линейная [c.68]

Если при нагружении в теле возникли пластические деформации, то зависимости между компонентами девиатора напряжений и девиатора деформаций записываются аналогично уравнениям (10.21) [c.271]

Присоединим к краевым условиям шесть определяющих уравнений, или уравнений состояния, выражающих, например, для упругого тела обобщенный закон Гука, зависимости между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций для малых упруго-пластических деформаций, уравнения теории На-вье — Стокса в случае движения вязкой жидкости и т. д. В случае движения сжимаемой среды к краевым условиям присоединяется уравнение состояния и уравнение притока энергии. [c.46]

Рассмотрим для определенности условия опирания тела на наклонной поверхности на примере из рис. 8.7. Эти условия равносильны запрещению перемещений точек поверхности вдоль нормали к этой поверхности и определяют линейную зависимость между компонентами перемещений [c.139]

До сих пор напряженное и деформированное состояния рассматривались независимо друг от друга и не связывались со свойствами материала. Однако между компонентами напряженного состояния, с одной стороны, и деформированного, — с другой, существует определенная зависимость. В пределах малых деформаций эта зависимость я1 ляется линейной и носит название обобщенного закона Гука. Наиболее простую форму обобщенный закон Гука принимает для изотропного тела. В этом случае коэффициенты пропорциональности между компонентами напряженного и деформированного состояний не зависят от ориентации осей в точке. [c.252]

Предположим дополнительно, что гидростатическое давление (первый инвариант тензора напряжений) не влияет на зависимость между девиаторами напряжений и деформаций. Строго говоря, эта гипотеза неверна, но для многих металлов и сплавов она выполняется с достаточно большой точностью, введение же этой гипотезы позволяет намного упростить построение теории. Пусть, для простоты, отличны от нуля два компонента девиаторов. Тогда процесс нагружения в фиксированной точке тела будет изображаться кривой на плоскости а°, а°, процесс деформирования — кривой на плоскости е , Упомянутая выше зависимость связи напряжений с деформациями от истории нагружения означает, что деформированное состояние в данной точке тела зависит от всей кривой на плоскости а°, (т . Математически этот факт эквивалентен тому, что соотношения между напряжениями и деформациями в пластической области, вообще говоря, будут либо дифференциальными неинтегрируемыми, либо операторными зависимостями. Теории, использующие дифференциальные неинтегрируемые соотношения, известны как теории течения они, как правило, строятся с использованием введенного выше понятия поверхности текучести. Рассмотрим простейший класс операторных теорий, которые применяются только для специального вида процессов нагружения. [c.267]

Заметим, что пропорциональность ме щу компонентами напряжений и компонентами деформации в каждой точке тела (обобщенный закон Гука) не всегда приводит к заключению о существовании прямой пропорциональности между величинами внешних нагрузок и перемещений, а следовательно, и к закону сложения отдельных действий — принципу независимости действия сил. В отдельных случаях (например, в так называемых контактных задачах, см. [6], [72], [74]), линейная связь между компонентами напряжений и компонентами деформаций приводит к нелинейной зависимости между силами (например, нагрузка на шар) и перемещениями (смятие шара и т. п.). [c.6]

Из опыта следует, что между компонентами напряженного состояния и компонентами деформации в данной точке тела существуют зависимости, называемые обобщенным законом Гука. [c.18]

Естественно, что между функциями и, v и w, с одной стороны, и Вх, Угх, с другой, существуют зависимости, так как обе группы функций описывают одну и ту же картину деформации тела, но различными средствами. Эти зависимости выводятся в настоящей главе, их получение является одной из основных целей анализа деформированного состояния тела. Из них получаются зависимости и между компонентами деформации (уравне- ия совместности деформаций). [c.453]

Упругое тело называют анизотропным, когда его упругие свойства различны в различных направлениях. Поведение под нагрузкой такого тела даже при линейной зависимости деформаций от напряжений принципиально усложняется по сравнению с описанием поведения изотропного тела. Как показали опыты с анизотропными телами, любая из компонент тензора напряжения может привести к возникновению всех компонент тензора деформаций. Например, если брус прямоугольного поперечного сечения, изготовленный из анизотропного материала, равномерно растягивать вдоль оси, то в общем случае анизотропии такой брус кроме удлинений вдоль оси и изменений размеров поперечного сечения (различных в каждом направлении) будет претерпевать и деформации сдвига во всех трех плоскостях, приводящие к изменению первоначально прямых углов между его гранями. [c.8]

Из уравнения (XV. 13) следует, что в докритической области деформации зависимость между напряжениями и деформациями многослойного тела при постоянном модуле упрочнения компонента М выражается кривой логарифмического типа. [c.327]

Для получения критериев подобия на основе теории старения воспользуемся методом анализа физических уравнений ( 3.2). Сочетая зависимости теории старения для фиксированного момента времени с уравнениями деформационной теории пластичности, примем соотношения между компонентами напряжений и деформаций для несжимаемого материала в форме (5.14). При этом уравнения равновесия, силовые граничные условия i соотношения между деформациями и перемещениями определяются формулами (5.1), (5.2), Для простоты будем пренебрегать действием объемных сил (Xt = 0 i = 1, 2, 3), а нагрев тела считать равномерным. [c.238]

Фактически эти два аспекта экспериментального исследования почти всегда неразделимы. Эксперименты выполняются с образцами ограниченных размеров, к которым прикладываются нагрузки и перемещения. Изучение распределений напряжений и деформаций, возникающих в результате таких воздействий, позволяет получить определяющее уравнение. Вероятно, ни один другой отдельный фактор в экспериментальной механике не приводил к большим ошибкам в установлении характера определяющих уравнений в некоторой неизбежно сильно ограниченной области, чем неверная интерпретация зависимостей между напряжениями и деформациями, которая возникала вследствие того, что предполагаемые их распределения фактически не реализовывались. Поскольку приходится иметь дело с шестью компонентами как напряжения, так и деформации, и только в наиболее совершенных экспериментах удается измерить одновременно два или, самое большее, три из них, необходимо искать способы такого приложения нагрузок и такого выбора геометрических характеристик, которые придают нулевые значения нескольким компонентам напряжений, деформаций, перемещений и поворотов во всем объеме тела. [c.25]

Ознакомившись с этим первым сравнительным исследованием свойств 64 сплавов и 16 чистых металлов, многие из современников Вертгейма полагали, что его наблюдение линейной зависимости между упругостью и процентным содержанием компонентов сплавов имеет чрезвычайно важное значение для понимания строения твердых тел. В то время как для чистых металлов, как показал Вертгейм, модуль изменяется обратно пропорционально седьмой степени межатомного расстояния, аналогичной зависимости для сплавов обнаружено им не было. [c.311]

Под процессом установившейся ползучести в сложном напряженном состоянии будем понимать такой. процесс изменения деформаций во времени, при котором интенсивность скоростей деформации остается неизменной. При этом вследствие однозначной зависимости между и G/ интенсивность напряжений также остается постоянной, хотя каждая из компонент напряжения, вообще говоря, изменяет свое значение во времени. Для простоты расчетов, в последующем эти изменения напряжений учитываться не будут и при установившейся ползучести компоненты тензора напряжений будут считаться постоянными. Это будет отражать то напряженное состояние, которое асимптотически устанаВ ливается в теле при ползучести. [c.238]

В ряде работ [186, 187] для решения контактной задачи МКЭ предлагается использовать релаксационную процедуру. В этом случае континуальное тело предполагается состоящим из системы материальных точек, соединенных между собой упругими связями. Деформация в таком теле распространяется от ее источников равномерно во все стороны путем смещения материальных точек, что приводит к последовательному деформированию связей. При переходе к конечно-элементной дискретизации узлы конечных элементов отождествляются с материальными точками, конечные элементы — с соединяющими их связями. На каждом шаге итерационной процедуры считается свободным от закрепления лишь один узел конструкции, для которого по определенным зависимостям вычисляются компоненты перемещений. При условии, что функционал энергии в локальной области, прилегающей к данному узлу, принимает стационарное значение, это эквивалентно решению задачи МКЭ для области с одним свободным узлом. Такая задача решается многократно для всех материальных точек конструкции с учетом ограничений, накладываемых на контактные узлы. Релаксационная процедура избавляет от необходимости оперировать [c.12]

Определяющие соотношения теории пластичности, то есть зависимости между напряжениями и деформациями, очевидно, должны учитывать не только текущие значения компонентов тензора напряжений и деформаций, но и пути их достижения. Как указывалось ранее, в теории пластичности различают два вида нагружения тел простое и сложное. При простом нагружении все компоненты тензора напряжений возрастают пропорционально одному общему параметру (например, времени t). В этом случае компоненты направляющего тензора напряжений Jij остаются неизменными. В противном случае нагружение будет сложным. Напомним, что направляющий тензор напряжений—это девиатор напряжений, каждый компонент которого разделен на модуль девиатора s [c.41]

В зоне упругих деформаций существует линейная зависимость между тензорами деформаций и напряжением, это закон Гука, который мы использовали в простейшем случае одноосного напряжения. Для кристаллического тела (анизотропного), упругие свойства которого различны по разным направлениям, в самом общем случае должна существовать линейная зависимость каждой компоненты тензора деформаций от всех компонент тензора напряжений. Расчет показывает, что из-за симметрии тензоров число независимых коэффициентов будет равно 21. Двадцать один параметр определяет упругие свойства анизотропного вещества. [c.306]

Опыт показывает, что при малых деформациях напряжение пропорционально де( юрмации. Этот факт, установленный Гуком для простейших деформаций, составляет формулировку известного закона Гука, справедливого только для достаточно малых деформаций и напряжений. Применительно к акустике бесконечно малых амплитуд мы можем ограничиться рассмотрением идеально упругих сред, для которых связь между напряжением и деформацией линейна. Поскольку в общем случае напряжение и деформация определяются тензорами второго ранга, имеющими по шесть независимых компонент, то естественным обобщением закона Гука будет линейная зависимость между ними. Тогда обобщенный закон Гука можно сформулировать так компоненты напряжения в данной точке тела являются линейными и однородными функциями всех компонент деформации, т. е. [c.20]

Уравнения, связывающие компоненты напряжения. Из элементов теоретической механики известно, что главный вектор и главный момент всех внешних сил, действующих на любое материальное тело, находящееся в равновесии, равны нулю. В случае абсолютно твердого (или, как мы кратко будем говорить, жесткого) тела это условие дает систему шести конечных уравнений, вполне характеризующих состояние равновесия. В случае же деформируемого тела упомянутое условие, если его применять ко всему телу как целому, далеко не дает всех элементов, характеризующих равновесие. Однако из этого условия можно и в нашем случае извлечь уравнения, дающие (в совокупности с законом, выражающим зависимость между напряжениями и деформацией, о чем будет речь впереди) все необходимые соотношения. Но для этого упомянутое условие следует применить не только ко всему телу, как целому, а к каждой части, которую можно мысленно из него выделить. [c.20]

Процесс нагружения в точке деформируемого тела можно представить в пятимерном пространстве траекторией конца вектора напряжений [69]. Действительно, если учесть зависимость (1.10) между компонентами тензора напряжений и компонентами девиатора напряжений, а также, что первый инвариант девиатора напряжений (1.20) равен нулю, то процесс нагружения в точке деформируемого тела характеризуется пятью независимыми функциями времени 1 компонент девиатора напряжений 5.у(/) и функцией времени Оо(/). [c.51]

Кривая одноосного растяжения малоуглеродистой стали с разгрузкой испытуемого образца (рис. 58) показывает, что остаюч-деформация измеряется отрезком ОО. Пластическая деформация начинает проявляться на участке АВ и происходит без увеличения нагрузки. На участке ВС происходит упрочнение материала, поэтому угол наклона касательной к кривой ВС и к оси абсцисс tg р называют модулем упрочнения. Упрочнение имеет направленный характер, т. е. материал меняет свои механические свойства и приобретает деформационную анизотропию, при этом пластическая деформация растяжения ухудшает сопротивляемость металла при последующем его сжатии (эффект Ба-ушингера). Как видно из приведенной кривой, растяжение малоуглеродистой стали при пластических деформациях нагруженного и разгруженного образца значения деформаций для одного и того же напряжения . в его сечении не является однозначным. Методы теории пластичности, наряду с изучением зависимости между компонентами напряжений и деформаций, возникающих в точках тела, определяют величины остаточных напряжений и деформаций после частичной или полной разгрузки дetaли, а также напряжения и деформации при повторных нагружениях. [c.96]

Упругость твердого тела. Согласно закону Гука между напряжениями и деформациями существует пропорциональная зависимость. Для изотропного тела связь между компонентами тензоров Tjjj и дается шестью уравнениями. При этом вводят две упругие постоянные модуль нормальной упругости Е (при осевом растяжении-сжатии) и модуль сдвига G. Вместо модулей Е и G вводят другую пару констант, например постоянные Ламе Л и р,, модуль объемного сжатия К и коэффициент Пуассона v. [c.5]

Формулы (1) и дают искомую зависимость между компонентами напряжения и деформации в изотропном теле. Величины Я, [а представляют собой постоянные, характеризуюш ие упругие свойства данного тела ). Обозначения эти были введены Ламе (G. Lame, 1795—1870) поэтому Я и [X называются постоянными Ламе. Для каждого данного материала они должны быть определены экспериментально ). [c.64]

Термодинамические напряжения. Поскольку деформация определяется по отношению к первоначальному недеформированному состоянию тела, а напряжение вычисляется на единицу площади деформированного тела, зависимость между деформацией и напряжением имеет сложный вид. При этом дифференциал работы, произведенной напряисением, не равен компонентам напряжения, умнон ениым на дифференциалы соответствующих компонент деформации. Для удобства записи уравнений введем величины которые Трусделл [2] назвал термодинамическими напряжениями. Эти величины определяются таким образом, чтобы сумма [c.47]

Феноменологическое исследование механических свойств композиционных материалов может быть проведено двумя путями. Первый основан на рассмотрении армирующего материала как конструкции и учитывает реальную структуру композиции. В этом случае задача состоит в установлении зависимостей между усредненными напряжениями и деформациями. Второй путь основан на рассмотрении армированных материалов как квазноднородных сред и использовании традиционных для механики твердых деформируемых тел средств и методов их описания. Краткая схема аналитического расчета упругих констант композиционного материала методом разложения тензоров жесткости и податливости в ряд по объемным коэффициентам армирования приведена в монографии [60, 83]. Установлено, что при малом содержании арматуры можно ограничиться решением задачи для отдельного волокна, находящегося в бесконечной по объему матрице. Однако такой подход заведомо приводит к грубым погрешностям при расчете упругих характеристик пространственно армированных материалов, объем которых заполнен арматурой на 40—70 %. К тому же следует учесть, что пространственное расположение волокон в этих материалах приводит к росту трудностей при решении задачи теории упругости по определению напряженно-деформированного состояния в многосвязанной области матрица—волокно. Коэффициент армирования при этом входит в расчетные выражения нелинейно, что приводит к очередным трудностям реализации метода разложения упругих констант материала по концентрациям его компонентов. [c.55]

Для того чтобы более ясно показать, что действие или накопленную живую силу системы или, другими словами, интеграл произведения живой силы на элемент времени можно рассматривать как функцию упомянутых выше бл -Ь 1 величин, а именно начальных и конечных координат и величины Я, следует отметить, что все, что зависит от способа и времени движения системы, может рассматриваться как такая функция. В самом деле, закон живой силы в первоначальном виде в сочетании с известными или неизвестными Зп зависимостями между временем, начальными данными и переменными координатами всегда дает известные или неизвестные Зп -р 1 зависимости, связывающие время и начальные компоненты скоростей с начальными и конечными координатами и с Я. Однако благодаря тому, что Лагранж не пришел к представлению о действии как функции такого рода, те следствия, которые были выведены здесь из формулы (А) для изменения этого определенного интеграла, не были замечены ни им, ни другими блестящими аналитиками, занимавшимися вопросами теоретической механики, несмотря на то, что в их распоряжении была формула для вариации этого интеграла, не очень отличающаяся от нашей. Дело в том, что Лагранж и другие, рассматривая движение системы, показали, что вариация этого определенного интеграла исчезает, когда даны крайние координаты и постоянная Я. Они, по-видимому, вывели из этого результата только хорошо известный закон наименьшего действия, а именно 1) если представить точки или тела системы движущимися от данной группы начальных к заданной группе конечных положений не так, как это в действительности происходит, и даже не так, как они могли бы двигаться в соответствии с общими законами динамики, или с дифференциальными уравнениями движения, но так, чтобы не нарушать какие-либо предполагаемые геометрические связи, а также ту единственную динамическую зависимость между скоростями и конфигурациями, которая составляет закон живой силы 2) если, кроме того, это геометрически мыслимое, но динамически невозможное движение заставить отличаться бесконечно мало от действительного способа движения системы между заданными крайними положениями, то варьированное значение определенного интеграла, называемого действием или накопленной живой силой системы, находящейся в представленном таким образом движении, будет отличаться бесконечно мало от действительного значения этого интеграла. Но когда этот закон наименьшего, или, как его лучше было бы назвать, стационарного действия, применяется к определению фактического движения системы, он служит только для того, чтобы по правилам вариацион- [c.180]

ТЕРМОДИФФУЗИЯ — перенос компонентов среды (газовой смеси, раствора) под влиянием градиента температуры среды ТЕРМОСТРИКЦИЯ — магнитострикционная деформация ферро-, ферри- и антиферромагнетиков при их натревании в отсутствие магнитного поля ТЕРМОУПРУГОСТЬ—раздел механики, изучающий зависимости между напряжениями, деформациями и температурой деформируемых тел ТЕЧЕНИЕ (ламинарное — упорядоченное лечение жидкости или [c.286]

Как видно, матрица ВДП устанавливает по окружно-сти тела в го сходственных точках, за которыми установлено наблюдение, линейную зависимость между комплексными амплитудами волн компонентов перемещений и комплексными амп 1нтудами волн компонентов усилий. Элементы этой матрицы зависят от частоты. Для полного описания динамических характеристик тела в заданных сходственных точках необходимо определять последовательность матриц вида (3.8) для всех чисел. волн, допускаемых порядком симметрии, т. е. для 0 /П 5/2. [c.45]

В своём выводе основных уравнений теории упругости Навье (см. стр. 129) исходил из предположения, что идеально упругое тело состоит из молекул, между которыми при его деформировании возникают силы взаимодействия. При этом принималось, что силы эти пропорциональны изменениям расстояний между молекулами и действуют по направлениям соединяющих их прямых линий. Таким путем Навье удалось установить соотношения между деформациями и упругими силами для изотропных тел с введением лишь одной упругой константы. Коши (см. стр. 135) первоначально ввел две константы в зависимости между напряжением и деформацией в случае изотропии. В самом же общем случае анизотропного тела Пуассон и Коши допускали, что каждая из шести компонент напряжения может быть представлена однородной линейной функцией шести компонент деформации (обобщенный закон Гука). В эти функции входило 36 постоянных. Положив в основу физического истолкования явления упомянутую выше молекулярнуро теорию, они снизили число постоянных для общего случая до 15. Они показали, что изотропия допускает дальнейшее снижение этого числа, так что окончательно для записи соотношений между компонентами напряжения и деформации необходима лишь одна постоянная, которую и ввел Навье. [c.262]

Определяющие соотпошепия теории пластичности, т. е. зависимости между напряжениями и деформациями, очевидно, должны учитывать не только текущие зпачения компонент тензора напряжепий и деформаций, по и пути их достижения. В теории пластичности различают два вида нагружения тел простое и сложное. [c.160]

В основе классической теории упругости лежит представление об упругом линейно-деформируеыом теле. Основной закон, определяющий общую зависимость между напряжениями и деформациями для линейно-упругого тела, сформулирован в 1678 г. Робертом Гуком в такой форме каково перемещение, такова сила. В современщ)й формулировке этот закон для сложнонапряженного состояния звучит так в каждой точке деформируемого тела компоненты тензора деформаций являются линейными функциями от компонентов тензора напряжений. [c.40]

Дифференциальные зависимости (1.144) между компонентами тензора деформаций и компонентами вектора перемещений позволяют простым дифференцированием по известным перемещениям V, ш как некоторых функций координат точек тела определить компоненты тензора деформаций. Решение обратной задачи — нахож дение перемещений как функций координат точек тела по известным компонентам деформаций — сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений в частных производных (1.144). Для существования решений этой системы необходимо наличие определенных связей между шестью компонентами деформаций т. е. выполнение определенного условия интегрируемости уравнений (1.144). Это условие называют условием сплошности или совместности деформаций Сен-Венана. Условия сплошности деформаций получаются из уравнений (1.144) исключением из них частных производных от соответствующих перемещений по соответствующим координатам [c.67]

Между компонентами матриц б, у. Я, ц, Я, Д, введенными выше, существуют простые зависимости, которые могут быть использованы при решении ряда задач об определении напряженного состояния тела [35, 36]. Эти зависимости базируются на известной теореме о взаимности работ, которая может быть сформулирована так для двух напряженных состояний некоторого тела работы, совершаемые внешними силами одного состояния на соответствующих этим силам перемещениях второго состояния, равны друг другу. Проиллюстрируем эту теорему на простом примере. На рис. 1.2 показаны упругие оси деформированной балки под действием силы Р (1-е состояние) и пары М° (2-е состояние). Теорема о взаимности работ утверл<дает, что [c.10]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...