Тензор Симметрия

Например, при изучении процесса прядения и скручивания нити в прядильной машине в качестве системы отсчета можно выбрать пространство, неподвижное относительно стенок лаборатории. Таким образом, будут индивидуализированы скорость частицы и другие рассматриваемые векторы и тензоры. Для проведения определенных вычислений может оказаться удобным выбрать некую координатную систему, скажем декартову. Вследствие цилиндрической симметрии нити можно вместо этого выбрать цилиндрическую систему координат или из-за некоторых других причин можно выбрать какую-либо другую систему координат, но каждый такой выбор будет влиять только на компоненты векторов и тензоров, а не на сами векторы и тензоры. [c.37]

V(A-a) = a-v-A + А где А — произвольное симметричное тензорное поле и а — произвольное векторное поле. Указание доказательство вести в компонентной форме, поскольку в исходное тождество входит градиент тензора А. Выяснить, где именно требуются условия симметрии. [c.54]

Соотношения (17) являются условиями симметрии тензора напряжении сплошной среды. Оно получено в предположении, что среди поверхностных сил нет пар сил, моменты которых следует дополнительно учитывать в (13). [c.550]

Проведем в какой-либо точке две площадки с единичными векторами пит по нормалям к ним н напряжениями р и р - Проецируя напряжение / на направление т, получим а проецируя р на направление п, получим р п- Используя условия симметрии тензора [c.550]

В силу симметрии тензоров напряжений ац = ац и деформаций гтп = пт получаем [c.114]

Здесь использована симметрия тензора напряжений, т. е. aij = aji. Уравнение (6.41) запишем так [c.128]

При последнем переходе в формуле (1.125) использована симметрия тензора вследствие которой [c.28]

Из симметрии тензоров в / и а, ,- вытекает, что [c.39]

Интеграл no поверхности 5 в (2.518) будет равен нулю в силу условия (2.515), последний интеграл обратится в нуль вследствие симметрии тензора а,у. Таким образом, имеем еще одно ограничение на pF [c.124]

В этом параграфе ограничимся рассмотрением симметричных тензоров второго ранга (симметрия означает, что ( / = 0, iif = tfi отсюда и из симметрии g = g следует, что = [c.318]

Решения уравнения (1.93) называются главными (или собственными) значениями тензора i соответствующие главным значениям Xj. главные направления будем обозначать s. . (Длину s будем считать равной единице.) Из алгебры известно, что решения уравнения (1.93) для случая симметрии = действительны, а главные направления, соответствующие различным главным значениям, ортогональны. [c.319]

Компоненты Пгф, Пе тензора потока импульса в струе тождественно исчезают, как это явствует уже из соображений симметрии. Сделаем предположение, что равны нулю также и компоненты Нее и Пфф (оно оправдывается тем, что в результате мы получим решение, удовлетворяющее всем необходимым условиям). С помощью выражений (15,20) для компонент тензора Oik и формул (23,16—17) легко убедиться в том, что между компонентами Пео, Пфф и Пге тензора потока импульса в струе имеется соотношение [c.119]

Рассматривая неограниченную среду, не деформированную на бесконечности, устремим поверхность интегрирования в первом интеграле к бесконечности тогда на ней о,й = О, и интеграл исчезает. Второй же интеграл можно, воспользовавшись симметрией тензора Oja, переписать в виде [c.19]

Путем простого подсчета можно убедиться в том, что число различных компонент тензора 4-го ранга, обладающего такими свойствами симметрии, равно в общем случае 21 ). [c.51]

Наличие той или иной симметрии кристалла приводит к появлению зависимостей между различными компонентами тензора так что число его независимых компонент оказывается меньшим, чем 21. [c.51]

Триклинная система. Триклинная симметрия (классы l и i) не накладывает никаких ограничений на компоненты тензора а выбор системы координат с точки зрения симметрии вполне произволен. При этом отличны от нуля и независимы все 21 модуль упругости. Произвольность выбора системы координат позволяет, однако, наложить на компоненты тензора дополнительные условия. Поскольку ориентация системы координат относительно тела определяется тремя величинами (углами поворота), то таких условий может быть три можно, например, три из компонент считать равными нулю. Тогда независимыми величинами, характеризующими упругие свойства кристалла, будут 18 отличных от нуля модулей и 3 угла, определяющих ориентацию осей в кристалле. [c.52]

Кубическая система. Направим оси х, у, г по трем осям 4-го порядка кубической системы. Уже наличие тетрагональной симметрии (с осью 4-го порядка вдоль оси г) ограничивало число различных компонент тензора следующими шестью [c.55]

Число различных независимых компонент тензора зависит от симметрии кристалла. Поскольку тензор симметричен, это число такое же, как у симметричного тензора второго ранга а,й (тензора теплового расширения см. 10). [c.177]

Кроме того, этот тензор обладает и более глубокой симметрией, следующей из общего принципа симметрии кинетических коэффициентов Онсагера (см. V, 120 как и в 32, ниже в этом параграфе [c.215]

Можно показать, что в средах, обладающих центром симметрии, величина у (ш) тождественно обращается в нуль. В таком случае пространственная дисперсия проявляется лишь благодаря тем членам в выражении (149.6) для (со, ft), которые квадратично зависят от составляющих волнового вектора ft. Эти слагаемые и обусловливают слабую анизотропию кубических кристаллов. Действительно, в кубических кристаллах, как уже говорилось ранее, тензор е/у (о)) сводится к скаляру, т. е. его главные значения одинаковы. Если же принять во внимание третью сумму в выражении (149.5), то главные значения полного тензора диэлектрической проницаемости Вгу (ев, ft) оказываются различными, и среду следует считать анизотропной. [c.524]

Первое слагаемое как произведение скаляра (1/3)/1 иа тензорную единицу Р, обладает тем же свойством изотропии, что и Е. Компоненты тензора Р< не зависят от изменения системы координат, т. е. от поворота осей они удовлетворяют условию сферической симметрии, и поэто.му тензор Р называется сферическим или шаровым . Тензор Р представляет собой отклонение (девиацию) тензора Р от сферической части и носит наименование девиатора тензора Р. [c.125]

Правые части равенств Коши (12) гл. VII можно рассматривать как проекции произведения, в данном случае благодаря симметрии тензора напряжений, безразлично тензора на [c.129]

По ранее доказанному свойству симметрии тензора напр т-жений касательные напряжения, отличающиеся порядком индексов, равны между собой [c.139]

Приведем другую постановку того же вопроса, исходящую из геометрической интерпретации тензора инерции. Направлениям главных осей инерции соответствуют оси симметрии эллипсоида инерции, а следовательно, экстремальные значения моментов инерции. Поэтому дело сводится к нахождению значений а, р, 7, связанных соотношением [c.287]

Учитывая симметрию тензора = уравнения Лагранжа [c.81]

Наличие таких равенств приводит к тому, что в общем случае число независимых компонент тензоров упругих модулей сокращается с 36 до 21 — столько констант имеет твердое тело, не обладающее никакой симметрией. [c.126]

В уравнениях (8.16) тензор ег, содержит девять компонентов. Одиако даже для кристаллов с низкой симметрией только шесть из девяти компонентов являются независимыми тензор ец является симметричным (8,j=eji). [c.277]

Фактически наиболее общая ассоциированная производная симметричного тензора J, сохраняющая симметрию, определяется посредством введенного в работе [16] линейного оператора, обозначаемого через Fab и определяемого соотношением [c.232]

Проведем в какой-либо точке две нJЮH aдки с единичными векгорами пит но нормалям к ним и напряжениями р и Проецируя напряжение на направление т, получим р т, а проецируя на направление , получим рт . Используя условия симметрии тензора напряжений, можно получить условие взаимности напряжений по двум любым площадкам, проходящим через общую точку [c.568]

Из матрицы (40.6) видно, что диагональные компоненты тензора J представляют собой осевые моменты, а остальные — центробежные моменты инерции со знаком минус. В силу симметрии Jx,j = , х ==И Jzx = Jx2, 3 потому швнзор пнврции пмевт всего шесть составляющих. [c.110]

Формула (2.501) находится с помощью формулы Гаусса—Остроградского для тензорных полей с использованием свойств симметрии тензоров Uijkh и е,у [c.122]

Моноклинная система. Рассмотрим класс С, выбираем систему координат с плоскостью х, у, совпадающей с плоскостью симметрии. При отражении в этой плоскости координаты подвергаются преобразованию х х, у - у, г —г. Компоненты тензора преобразуются как произведения соответствующих координат. Поэтому ясно, что при указанном преобразовании все компоненты среди индексов которых индекс г содержится нечетное (1 или 3) число раз, переменят свой знак, а остальные компоненты останутся неизменными. С другой стороны, в силу симметрии кристалла все характеризующие его свойства величины (в том числе и все компоненты kthim) должны остаться неизменными при отражении в плоскости симметрии. Поэтому ясно, что все компоненты с нечетным числом индексов г должны быть равными нулю. Соответственно этому общее выражение для свободной упругой энергии кристалла моноклинной системы есть [c.52]

Ромбоэдрическая система. Рассмотрим класс Сзо и выберем систему координат с осью z вдоль оси третьего порядка и осью у, перпендикулярной к одной из вертикальных плоскостей симметрии. Для выяснения ограничений, налагаемых на компоненты тензора Xikim наличием оси Сз, удобно произвести формальное преобразование, введя комплексные координаты I, ] согласно определению [c.54]

В силу свойств симметрии тензора tkim имеем [c.132]

Решение. Выбираем систему координат х, у, г так, чтобы ось г совпадала с линией дислокации (и снова пишем bz = Ь). Вектор и опять имеет лишь компоненту = и х, у). Так как плоскость х, у является плоскостью симметрии, то равны нулю все компоненты тензора ikim> У которых индекс г встречается нечетное число раз. Поэтому отличны от нуля только две компоненты тензора 0, [c.156]

Выражение (33.3) аналогично выражению (10,1) для свободной энергии кристалла вместо тензора упругости в нем стоит теперь тензор т1гй,т, а вместо щи — тензор Vlf . Поэтому все результаты, полученные в 10 для тензора в кристаллах различной симметрии, в полной мере относятся и к тензору [c.179]

Оставшееся в равенстве (45) третье слагаемое бг-5 выражает отличие перемещения элементарного объема деформируемой среды от перемещения того же объема абсолютно твердого тела и образует деформационное перемещение Рдеф, равное по условию симметрии тензора 5 [c.340]

Поменян теперь местами во втором слагаемом индексы г, /, учтя симметрию тензора напряжений o,j == Oj, п дeфopмaциJO Ву = [c.57]

В осях симметрии iXiyiZi для колес 1, 3 к осях jIt] для колеса 2 вычисляются числовые значения экваториального и полярного моментов инерции. Тензоры инерции /[О, 1(р /з<з) колес в этих осях будут диагональными. Тензор инерции колеса 2 в осях вычисляется с помощью матричного преобразования [c.116]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...