Статические — Определение Задачи — Решение

Определение напряженного состояния в теле, находящемся под действием заданных внешних сил, является одной из основных задач теории упругости. В двумерном случае необходимо решить дифференциальные уравнения равновесия (18), и решение это должно быть таким, чтобы удовлетворялись граничные условия (20). Эти уравнения, выведенные с применением статических условий равновесия и содержащие три компоненты напряжения а , G,j, недостаточны для определения указанных компонент. Задача является статически неопределимой чтобы получить ее решение, следует рассмотреть упругую деформацию тела. [c.47]

При применении кинематического метода нет необходимости в решении статически неопределимой упругой задачи. Как бы многократно статически неопределимой ни была задача в упругой области, при определении предельной нагрузки необходимо рассмотреть лишь кинематически возможные предельные состояния, а затем, применяя принцип Лагранжа, найти соответствующую предельную нагрузку. Таким [c.310]

Постановка задачи. Как принято в методе конечных элементов (МКЭ), исследуемое тело может быть представлено в виде дискретной модели, состоящей из отдельных элементов. В соответствии с методом тепловых балансов сумма потоков теплоты, проходящих через граничные поверхности элемента, равна заданной величине. В частности, при отсутствии внутренних источников (стоков) тепла эта сумма равна нулю. При таком определении граничные поверхности конечного элемента являются теплопередающими. Замена сплошного тела дискретной моделью приводит к погрешности решения, которая в данной задаче сводится, в основном, к погрешности способа определения потоков тепла через граничные поверхности и способа определения температур. В статических и динамических задачах механики твердого тела, как правило, находят экстремум функционала, являющегося интегралом от его плотности по объему тела, выражаемого через значения переменных в узлах сетки. [c.25]

Задача определения напряженно-деформированного состояния твердого тела в общем случае внутренне статически неопределима, и для ее решения необходимо дополнить уравнения равновесия конкретными зависимостями между напряжениями и деформациями. Рассмотрим нелинейно упругое тело, у которого напряжения являются однозначными функциями деформаций, не зависящими от истории деформирования. Частный случай такого тела (линейно упругого) был подробно описан в гл. 1. [c.75]

Легко показать, что, если полная безмоментная краевая задача имеет решение, то в нем будут присутствовать элементы произвола, соответствующие возможным изгибаниям срединной поверхности. Перемещениям любого изгибания соответствуют нулевые компоненты тангенциальной деформации, а значит, в силу формул (7.1.4), и нулевые тангенциальные усилия. Поэтому перемещения возможного изгибания заведомо удовлетворяют однородным безмоментным статическим уравнениям и однородным статическим тангенциальным условиям. Кроме того, они по определению удовлетворяют однородным безмоментным геометрическим уравнениям и однородным геометрическим тангенциальным условиям. Таким образом,. [c.219]

В рассматриваемых случаях полная краевая задача безмоментной теории сводится к последовательному решению статической и геометрической задач безмоментной теории ( 7.7). Статическая задача, рассмотрением которой мы пока и ограничимся, заключается в определении тангенциальных усилий ТI, S, из безмоментных уравнений равновесия с учетом статического граничного условия. Оно для случаев (17.30.1) и (17.30.2) записывается соответственно так [c.245]

Анализ влияния нелинейных элементов на динамику СП производим, считая, что линеаризованный СП (не содержащий нелинейных элементов) синтезирован в соответствии с методикой, изложенной в 2-3— 2-5. Будем учитывать влияние только одного нелинейного элемента, по- агая, что все остальные звенья системы имеют линейные статические характеристики. В задачу анализа СП, содержащего нелинейный элемент, войдет определение возможности существования предельных циклов, решение вопроса об устойчивости предельных циклов и определение [c.149]

Мы видим, что решение статически неопределенной задачи (рис. 120, а) сводится к двум статически определенным задачам вычисления усилий S и s . Аналогичным образом рассчитываются и фермы, в которых лишними неизвестными являются усилия в стержнях. [c.250]

В настоящей главе приводятся решения двумерных статических и квазистатических задач термоупругости для такого рода кусочно-однородных тел. При этом температурные коэффициенты линейного расширения кусочно-однородных тел представляются в виде единого аналитического выражения для всей области, занимаемой телом. С помош,ью интегральных преобразований получены замкнутые решения, единые для всей области определения. [c.186]

При решении смешанных статических и динамических задач электроупругости используются разработанные в классической теории упругости методы решения смешанных задач. Следует отметить, что обобщение этих методов на случай пьезоэлектрических сред связано с дополнительными сложностями, обусловленными как анизотропией пьезоэлектрической среды, так и более высоким порядком разрешающих уравнений электроупругости. В связи с этим рядом авторов (см. работы [1, 49, 51, 55]) использовался метод последовательных приближений, учитывающий малость коэффициента электромеханической связи. Согласно этому методу смешанная задача электроупругости о возбуждении волн в пьезоэлектрике системой электродов решается в два этапа. На первом этапе решается соответствующая смешанная задача электростатики и определяется распределение электрического потенциала в среде, а на втором этапе строится решение уравнений теории упругости, в которых электрический потенциал входит в качестве известной величины, определенной на первом этапе. Следует отметить, что сходимость такого подхода авторами не обсуждалась. [c.584]

Первый этап решения статической и квазистатической задач термоупругости заключается в определении температурного поля Т. Он сводится к решению уравнения (1.8.7) при определенных тепловых начальном и граничных условиях (глава третья). После этого определяется термоупругое напряженное состояние. [c.37]

Уравнения (2) представляют собой так называемый закон парности касательных напряжений. На основе этого закона впредь будем считать, что существуют не шесть разных касательных напряжений, а только три. Тогда приходим к проблеме, когда для определения шести неизвестных напряжений а , Оу, о , ху, уг имеем ТОЛЬКО три уравнения равновесия (1). Следовательно, задача статически неопределима и для ее решения следует привлечь геометрические соотношения, вытекающие из рассмотрения деформированного состояния. [c.11]

Статически неопределимыми стержневыми системами называют системы, имеющие число неизвестных реакций или усилий в стержнях, превышающее число уравнений равновесия, которые можно составить для определения этих неизвестных. Определение усилий в стержнях таких систем не может быть произведено с помощью только статики потому является статически неопределимой задачей. Для решения таких задач необходимо составить условия равновесия, установить, сколько имеется лишних неизвестных (т. е. неизвестных усилий сверх тех, которые можно определить с помощью уравнений статики), после чего составить дополнительные уравнения, исходя из рассмотре- [c.64]

В случае, если на тело наложено больше трех связей в плоской задаче и больше шести связей в пространственной, то неизвестных реактивных усилий в связях окажется больше, чем уравнений статики. В этом случае определение реактивных сил не может быть выполнено с помощью одних лишь уравнений статики. Такие задачи называются внешне статически неопределимыми, и для их решения требуются специальные методы. [c.6]

При расчете статически неопределимых стержневых систем усилия вычисляются по уравнениям деформаций, связывающим усилия и перемещения. Несмотря на то, что определение бокового давления грунта также представляет собой статически неопределимую задачу, ее решение по методу Кулона и по теории В. В. Соколовского производится без введения какой-либо связи между усилиями и [c.96]

Если при постановке статических задач о нагружении конструкций при малых напряжениях и температурах, когда пластические и вязкие эффекты пренебрежимо малы, а также ряда динамических задач (определение собственных частот и форм колебаний, определение амплитуд вынужденных колебаний в удалении от области резонанса и т. д.) допустимо чисто упругое решение, то существует большое число динамических задач, при решении которых нельзя не учитывать различные сопротивления неупругого характера. [c.393]

Поскольку в данном случае поставленная задача определения деформирующей силы статически определима, то для ее решения не будем пользоваться кинематическими уравнениями. [c.108]

Приближенное решение задачи об определении сил инерции механизма может быть сделано с применением метода замещающих точек (см. 53). Произведем статическое размещение масс звеньев 2 и 3 (рис. 12.9, (1). Массу m2 звена 2 разместим в точках А и В. Тогда массы т л ч Щв, сосредоточенные в этих точка, будут, согласно уравнениям (12.14), равны [c.246]

Одной из важнейших задач сопротивления материалов является оценка жесткости конструкции, т. е. степени ее искажения под действием нагрузки, смещения связей, изменения температуры. Для решения этой задачи необходимо определить перемещения (линейные и угловые) любым образом нагруженной упругой системы (балки, рамы, криволинейного стержня, фермы и т. д.). Та же задача возникает при расчете конструкций на динамические нагрузки и при раскрытии статической неопределимости системы. В последнем случае, как уже отмечалось, составляются так называемые уравнения совместности деформаций, содержащие перемещения определенных сечений. [c.359]

Уравнение (16.]) содержит два неизвестных напряжения а, и пе. Для их определения, придерживаясь общего плана решения статически неопределимых задач, рассмотрим еще геометрическую и физическую стороны задачи. [c.445]

Задача называется статически определенной, если число неизвестных равно числу независимых уравнений равновесия. Если же число неизвестных больше числа независимых уравнений равновесия, то задача называется статически неопределенной. В последнем случае одними уравнениями статики задача не может быть решена. Для ее решения следует привлечь уравнения, даваемые другими дисциплинами, например сопротивлением материалов. [c.31]

П р и м е ч а н и е. При решении пространственных задач следует иметь в виду, что могут встретиться такие частные случаи расположения сил, что некоторые нз уравнений равновесия обратятся в тождества. Это произойдет, например, в случаях, когда все линии действия сил пересекают какую-либо одну ось, либо все силы перпендикулярны какой-либо оси, и в некоторых других случаях. Число неизвестных в таких задачах при их статической определенности должно быть менее шести. [c.89]

При решении задач о равновесии несвободного твердого тела реакции связей являются неизвестными. Задача определения реакций может быть решена методами статики лишь в том случае, если число искомых величин не превышает числа уравнений равновесия, содержащих эти неизвестные. Такие задачи называют статически определенными, а системы тел, для [c.56]

Однако определение усилий во всех без исключения стержнях фермы по способу Риттера возможно лишь тогда, когда ферма допускает сечения,проходящие через три стержня, не пересекающиеся в одной точке. В более сложных случаях приходится сначала разлагать ферму на части, к которым можно применять метод Риттера. На рис. 140 изображены некоторые фермы, принадлежащие к статически определенным, но таким, которые требуют перед применением метода Риттера или построения диаграммы Максвелла — Кремоны предварительного разложения. На схемах этих ферм показано расположение начального сечения, которое следует проводить при решении задачи. [c.284]

Три уравнения (1.8) не дают однозначного решения, так как в них входят шесть неизвестных функций напряжений. Поэтому можно подобрать множество разнообразных решений уравнений (1.8), в которые войдет достаточное число произвольных постоянных, дающих возможность удовлетворить условиям на поверхности (1.3). Значит, всякая задача определения напряжений по внешним силам — статически неопределима. Для ее решения необходимо составить дополнительные уравнения совместности деформаций. [c.12]

Одно из следствий научно-технической революции заключается в резком повышении требований к точности расчетов, что, в свою очередь, требует более полного учета всех физических особенностей рассматриваемых задач. Как правило, прикладные задачи, связанные с исследованием колебаний стержней, требуют знания статического напряженно-деформированного состояния. Это существенно осложняет решение уравнений движения, так как требует решения уравнений равновесия — определения вектора состояния в статике, компоненты которого входят в качестве коэффициентов в уравнения малых колебаний. В консервативных задачах статическое напряженно-деформированное состояние влияет в основном только на спектр частот, изменяя их числовые значения. В неконсервативных задачах, например в задачах взаимодействия стержней с потоком воздуха или жидкости, статическое напряженно-деформированное состояние влияет не только на спектр частот (на мнимые части комплексных собственных значений), но и на критические состояния стержня (на действительные значения комплексных собственных значений), что, конечно, необходимо учитывать при расчетах. Во второй части книги, так же как и в первой, основные теоретические положения и методы решения иллюстрируются конкретными примерами, способствующими более глубокому пониманию излагаемого материала. [c.3]

Задачи динамики стержней являются более сложными, чем задачи статики, так как их решение часто требует определения статического напряженно-деформированного состояния, от которого зависят уравнения движения. Кроме того, уравнения движения стержней — это уравнения в частных производных, решение которых существенно сложнее, чем решение уравнений в обыкновенных производных, с которыми приходится иметь дело при решении задач статики, поэтому при подготовке специалистов задачам динамики стержней уделялось мало внимания, несмотря на то что в инженерной практике они и.меют очень широкое распространение. Только с развитием вычислительной техники и новых методов численного решения уравнений в частных производных появились реальные возможности решения задач динамики сплошной среды и в том числе задач динамики стержней. В настоящее время при численном решении уравнений в обыкновенных и частных производных используются различные методы и их комбинации, выбор которых и эффективность зависят от опыта исследователя и конкретных особенностей задачи. [c.276]

Определять перемещения в кривых стержнях необходимо для проверки их жесткости, а также при решении статически неопред(--лимых задач. Как в случае стержней малой, так и большой кривизны, для определения перемеш,ений удобно воспользоваться методом Мора. В стержнях малой кривизны можно пренебречь продольными деформациями и деформациями сдвига. Тогда в случае плоского изгиба формула Мора будет иметь тот же вид, что и для балок [c.441]

От числа условий равновесия зависит количество уравнений, которые можно составить для определения неизвестных сил при решении задач. Если в задаче число неизвестных сил больше, чем число возможных уравнений раЕНовесия, то все эти силы определить невозможно. Такие задачи называются статически неопределенными. Их Вы научитесь решать, изучая "Сопротивление материалов и "Строительную механику". Методами же статики решаются только статически определенные задачи - задачи, число неизвестных сил в которых меньше или [c.22]

Поскольку уравнений равновесия недостаточно для определения из пнх напрялу-енпй Ох, о , а Хху, Ху г,х, то задача теории упругости является статически неопределимой, и для ее решения помимо уравнений равновесия внутри тела и условий на поверхности необходимо иметь еще дополнительные уравнения, устанавливающие зависимость между дефор- [c.24]

Задачи аэро- и гидродинамической устойчивости можно разделить на две группы. К первой группе относят статические задачи, при решении которых используют соотношения стационарной аэро- и гидродинамики установившихся течений без учета сил инерции, демпфирующих сил и других временных факторов. К задачам статической устойчивости относят многие задачи выпучивания пластинок, оболочек, панелей обшивки летательных аппаратов, скручивания крыльев. Статическую форму потери устойчивости аэроупругих и гидроупругих систем называют дивергенцией, а величину скорости потока и , при которой происходит данное явление, -критической скоростью дивергенции. Расчет дивергенции сводится к определению критических величин параметров конструкции и потока, обеспечивающих возможность существования отклоненных (слабоискривленных) форм конструкции. Уравнения, применяемые для расчета дивергенции, могут быть записаны в виде [c.516]

Этого трудного пути, допускающего в конечном счете получение численных результатов не из общих формул, а для определенного задания геометрических параметров и параметров нагрулсения, стараются избегнуть ценой тех или иных пренебрежений. В случае, когда длина цилиндра достаточно велика можно, используя набор решений вида (7.6.3) при л чисто мнимом, точно удовлетворить краевым условиям на боковых поверхностях и довольствоваться приближенным выполнением условий на торцах. Система сил, распределенных по торцам (наперед заданных, а также определяемых решениями первой группы), заменяется ей статически эквивалентной системой, для которой решение, оставляющее боковые поверхности свободными от нагружения, известно. Обычно эта цель достигается наложением решения задачи Сен-Венана (гл. VI) в последней краевые условия на торцах выполняются интегрально— строится решение, в котором главный вектор и главный момент распределенных по торцам сил имеют заданные значения, а боковая поверхность оказывается ненагруженной. [c.347]

Для определенности задачу длительной прочности сформулируем для ортотропных осесимметричных оболочек [116, 188] при отсутствии температурного воздействия (0 = 0). В этом случае в уравнениях (22.10), (22.11) необходимо всюду заменить компоненты тензора жесткости A i j соответствующими операторами которые находим по формулам (2.10), если в них величины с, Ес, Eah к = 2,. . ., т) считать операторами, определяемыми через интегральный оператор типа Волыерра, как указано в 2. Полученная в этом случае система интегро-дифференци-альных уравнений при стационарных граничных условиях с помощью принципа Вольтерра сводится к статической краевой задаче для упругих ортотропных оболочек. Ее решение при соответствующих краевых условиях определяет выражения для обобщенных смещений Uio, u i как функцию координаты х и операторов Aaifi- В общем случае это будут некоторые трансцендентные функции от операторов Аагм, расшифровка которых может быть осуществлена, если предварительно эти функции разложить в операторный ряд [172] по степеням соответствующих операторов. Расшифровку последних можно осуществить, если считать, например, что для каждого субструктурного элемента интегральные операторы Г являются операторами типа Эд — Работнова [169]. [c.149]

В настоящей главе выводятся дифференциальные уравнения с коэффициентами типа импульсных функций (асимметрическая единичная функция, дельтафункция Дирака и ее производная) теплопроводности многоступенчатых изотропных тонких пластин и цилиндрических стержней с учетом теплоотдачи и внутренних источников тепла, квазистатической задачи термоупругости осесимметрически деформируемой круглой многоступенчатой пластины. На основе выведенных уравнений для круглых пластин кусочно-постоянной толщины, нагреваемых внутренними источниками тепла или внешней средой, находятся единые для всей области определения замкнутые решения статических и квазистатических задач термоупругости. [c.313]

В этих уравнениях для определения постоянных гю , КяЬ последние три члена не зависят от контурной нагрузки и определяются искомыми постоянными, так как через них выражены краевые условия для соответствующих трех составляющих задач. Распределение напряжений, получаемое в результате решения этих задач, является характеристикой статической неопределимости области с контуром данной конфигурации. При решении различных контурных задач эти решения, дающие составляющие напряжений, не изменяются, а величины постоянных, чёрез которые выражаются напряжения, определяются для каждой краевой задачи уравнениями (IV. 36). [c.309]

В работах Мелана и Паркуса [42], Новацкого [46] и др. определение термоупругого потенциала перемещений Ф является основным этапом решения задач термоупругостн. В этих работах принят следующий метод решения отдельных статических и квазистатических задач термоупругости. [c.40]

Теория упругой и неупругой устойчивости относится к числу тех разделов механики, в процессе развития которых решение частных задач, как правило, значительно опережало разработку общих теоретических вопросов. Многие задачи, возникшие из потребностей техники, решались без должного анализа основных понятий, существа используемых методов и границы их применимости. Примером могут служить многолетнее преобладание статического метода и приведенно-модульной концепции в теории устойчивости упруго-пластических систем, необоснованное применение статических критериев к задачам упругой устойчивости при наличии неконсервативных сил и др. Само понятие устойчивости нередко использовалось применительно к задачам, в которых исследование устойчивости, по существу, отсутствовало. Впрочем, эта ситуация свойственна и ряду других прикладных наук именно это имел в виду Р. Беллман (1964г.), характеризуя понятие устойчивость как сильно перегруженный термин с неустановившимся определением . [c.360]

При кручении, как и при других видах деформации, встречаются такпе случаи, когда уравнений статики недостаточно для определения внутренних усилий — крутящих моментов. При этом для решения задач приходится использовать условия деформации. Такие задачи называются статически неопределимыми в принципе их решение не отличается от рассмотренных выше статически неопределимых задач на растяжение (сжатие). [c.135]

Решение. В этой балке четыре иеизвестные реакции (момент и три силы) и только три условия равновесия ддя нх определения ( 2 0 ГУ-0 2ото-0). Позтому данная задача относится к статически неопределимым. Общий метод их решення будет рассмотрен в следующей главе. Здесь дпя решения подобной задачи использовано дифференциальное уравнение (8.6), которое имеет вид [c.229]

Учебник имеет ряд особенностей, отличающих его от большинства учебников, ранее изданных другими авторами. Учитывая затруднения, которые испытывают студенты при изучении курса и преследуя цель равномерно распределить домашние расчетнопроектировочные работы, авторы сочли целесообразным изменить обычно принятую последовательность изложения материала. В частности, такой раздел, как Геометрические характеристики плоских сечений , носящий вспомогательный характер, помещен в начале курса, что позволяет уже в первые дни выдавать студентам домашнее расчетно-проектировочное задание. Затем в самостоятельную главу выделены вопросы построения эпюр внутренних усилий — раздел, усвоение которого вызывает у студентов определенные трудности. Особенность книги состоит также в том, что решение основных задач сопротивления материалов в ней излагается по единому плану сначала рассматривается статическая сторона задачи, затем — геометрическая, физическая и, наконец, их синтез. [c.3]

Для решения задач на равносесие произвольно расположенных на плоскости сил, приложенпых к твердому телу, можно пользоваться тремя уравнениями равновесия сил. Задача статически определенна, если число неизвестных не больше трех. Если к телу приложена плоская система параллельных сил, то можно воспользоваться только двумя уравнениями равновесия сил. [c.67]

Перейдем к проблеме равновесия динамической системы с трением. В такой системе помимо неизвестных значений абсолютных величин сил трения возникает дополните,пьная неопределенность из-за того, что во многих случаях направление сил трения неизвестно и должно быть найдено. Здесь следует принять во внимание, что направление трения скольжения вполне определено скоростями точек системы. С.педовательно, для решения статических задач полезной будет информация о тол , каким движением система дошла до положения равновесия. Чтобы иск.пючить неопределенность, можно также искать силы трения, при которых система не переходит из покоя в определенное движение. [c.363]

Определение приращений векторов внешних нагрузок. Выражения для приращений векторов внешней нагрузки (q, )х, Р< > и-при непрерывном деформировании стержня необходимы при численном решении нелинейных уравнений равновесия стержня, когда требуется явное выражение для компонент нагрузки. Приращения векторов внешней нагрузки необходимы и при определении критических нагрузок при решении задач статической устойчивости стержней. В дальнейшем считается, что силы, приложенные к стержню, и геометрические параметры, входящие в выражения для приращений сил, приведены к безразмерной форме. Частные случаи определения прирашенин векторов изложены в Приложении 3. Там же приведен случай определения приращения вектора при малых углах поворота связанных осей [формула (П. 159)]. [c.29]

О методах решения задач на определение центров тяжести тел и статических.моментов площадей, о выводе некоторых формул, которые желательно знать на память, разговор пойдет в следующей главе. А в заключение этой темы рассмотрим-любопытные случаи применения только что записанных формул для определеш я объемов и площадей боковых поверхностей тел вращения. Сделаем это с помощью теорем греческого математика и механика Паппа ( З-й век н.э. ) и швейцарского математика Пауля Гульдаша (17-й век). [c.33]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...