Теория возмущений глы Эйлера

С целью возможного применения методов теории возмущений (асимптотических методов) важно выделить малые или большие параметры, входящие в систему урав нений и характеризующие основные особенности изучаемых физических процессов. Знание таких параметров может позволить упростить исходную систему уравнений в некоторых областях определения решения и тем самым применить более экономичные численные подходы. Так обстоит дело, например, в задачах стационарного обтекания тел вязким газом на основе уравнений Навье-Стокса, когда вязкость зачастую можно учитывать лишь в области пограничного слоя вблизи тела, а в основной области течения можно пользоваться более простыми уравнениями Эйлера. [c.22]

Лагранж, Жозеф Луи (25.1.1736-10.4.1813) — великий французский математик, механик, астроном. В своем знаменитом трактате Аналитическая механика (в 2-х томах), наряду с общим формализмом динамики, привел уравнения движения твердого тела в произвольном потенциальном силовом поле, используя связанную с телом систему координат, проекции кинетического момента и направляющие косинусы (том II). Там же указан случай интегрируемости, характеризующийся осевой симметрией, который был доведен им до квадратур. Следуя своему принципу избегать чертежей, Лагранж не приводит геометрического изучения движения, а рисунки поведения апекса, вошедшие ранее почти во все учебники по механике, впервые появились в работе Пуассона (1815 г), который рассмотрел эту задачу как совершенно новую. Пуассон, тем не менее, систематизировал обозначения, усложняющие понимание трактатов Даламбера, Эйлера и Лагранжа и рассмотрел различные частные случаи движения (случай Лагранжа в некоторых учебниках называют случаем Лагранжа-Пуассона). В свою очередь Лагранж упростил решение для случая Эйлера и дал прямое доказательство существования вещественных корней уравнения третьей степени, определяющих положение главных осей. Отметим также вклад Лагранжа в теорию возмущений, позволивший Якоби рассмотреть задачу о возмущении волчка Эйлера и получить систему соответствующих оскулирующих переменных. [c.21]

Система (1.1) с постоянными (не зависящими от Mj) слагаемыми в правой части рассматривалась в [130] с помощью теории возмущений. При этом были обнаружены вероятностные эффекты при переходе через сепаратрису невозмущенной задачи Эйлера - Пуансо при наличии малой диссипации. [c.261]

Будучи сначала поставлена Эйлером, эта проблема в наиболее общей постановке была развита Лагранжем. Один из наиболее значительных результатов в небесной механике этого великого ученого заключен в его исследованиях по теории возмущений. [c.64]

В обзоре дается систематическое обсуждение уточненных динамических теорий, основанных на модели С. П. Тимошенко для упругих стержней и обобщенных другими исследователями на случай упругих пластин и оболочек. Эти теории отличаются от известных классических результатов теории Бернулли — Эйлера для стержней, теорий типа Кирхгофа для пластин, а также теорий, основанных на гипотезе о нормальном элементе Кирхгофа — Лява для оболочек, наличием дополнительных членов, позволяющих учитывать взаимодействие движений по поперечной координате, выявить конечные, в отличие от классической теории, скорости распространения фронтов возмущений в указанных упругих телах и т. п. [c.4]

Теория возмущений планет была начата Эйлером, мемуары которого о взаимных возмущениях Юпитера и Сатурна в 17-48 и 1752 гг. получили премии Французской академии. В этих мемуарах было дано первое аналитическое развитие метода вариации параметров. Уравнения не были вполне общими, так как он не считал элементы изменяющимися одновременно. Первые шаги в развитии пертурбационной функции были также сделаны Эйлером. [c.374]

Возможность записать кинематические уравнения в виде уравнений Гамильтона интересна в тех случаях, когда динамические уравнения Эйлера можно проинтегрировать независимо от кинематических. Проекции мгновенной угловой скорости р, q, г будут известными коэффициентами в уравнениях (6.152). Записав кинематические уравнения в виде уравнений Гамильтона, мы можем применить некоторые методы аналитической механики, например метод Гамильтона — Якоби. Для приближенного интегрирования кинематических уравнений может оказаться полезным метод теории возмущений, основанный на вариации канонических постоянных. [c.426]

Подставив эти величины в динамические уравнения Эйлера, получим уравнения для возмущений, соответствующих уравнениям (11.327) теории устойчивости движения А. М. Ляпунова. [c.407]

Книга адресована читателю, серьезно изучающему молекулярную спектроскопию, и хотя предполагается, что он знаком с основными постулатами квантовой механики, теория групп рассматривается здесь из первых принципов. Идея группы молекулярной симметрии вводится в начале книги (гл. 2) после определения понятия группы, основанного на использовании перестановок. Далее следует рассмотрение точечных групп и групп вращения. Определение представлений групп и общие соображения об использовании представлений для классификации состояний молекул даны в гл. 4 и 5. В гл. 6 рассматривается симметрия точного гамильтониана молекул и подчеркивается роль перестановок тождественных ядер и вращения молекулы как целого. Чтобы классифицировать состояния молекул, необходимо выбрать подходящие приближенные волновые функции п понять, как они преобразуются под действием операций симметрии. Преобразование волновых функций и координат, от которых волновые функции зависят, особенно углов Эйлера и нормальных координат, под действием операций симметрии подробно описывается в гл. 7, 8 и 10. В гл. 9 рассматриваются определение группы молекулярной симметрии и применение этой группы к различным системам. В гл. 11 определяется приближенная симметрия и описывается применение групп приближенной симметрии (таких, как точечная группа молекул), а также групп точной симметрии (таких, как группа молекулярной симметрии) для классификации уровней энергии, исследования возмущений, при выводе правил отбора для оптических [c.9]

Данный подход Бесселя обсуждался во второй половине XIX века в связи с вопросами теории движения комет. К нему не раз обращался и известный русский астроном Ф.А. Бредихин, который указывал на основные существовавшие тогда гипотезы, объяснявшие возмущения в движении комет сопротивлением среды (Ньютон, Эйлер, Лаплас) и реактивным действием истекающего из комет вещества (Бессель). Бредихин отмечал наличие влияния реакции истечения кометного вещества на элементы ее орбиты, но полагал эти возмущения малыми и не выделяемыми из других возмущений. [c.40]

В работах [18—19] для этого течения найдено асимптотическое решение уравнений Навье — Стокса при Ве -> оо. Это решение по виду существенно отличается от решения, получаемого в классической теории пограничного слоя. Напомним, что в теории пограничного слоя [1] для построения равномерного асимптотического приближения приходится рассматривать две области течения с продольной координатой порядка длины тела. Течение в одной из них (с поперечным размером того же порядка) описывается уравнениями Эйлера, которые при М > 1 относятся к гиперболическому типу. Другая область — вязкий пограничный слой — имеет толщину, в Ве /2 раз меньшую, а соответствующие уравнения относятся к параболическому типу. Таким образом, возможность передачи информации (возмущений) вверх по потоку, которая соответствует полным уравнениям Навье — Стокса, исключена. [c.242]

Теория рождения периодических решений в канонических системах дифференциальных уравнений, близких к интегрируемым, была разработана А. Пуанкаре для целей небесной механики. В данной главе устанавливается применимость этих результатов к классической задаче о движении тяжелого твердого тела с закрепленной точкой. Тем самым удается существенно расширить класс известных периодических решений. В этой же главе исследовано воздействие возмущения на сепаратрисы неустойчивых периодических решений задачи Эйлера-Пуансо — постоянных вращений вокруг средней оси эллипсоида инерции. Сложное поведение траекторий уравнений движения несимметричного тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки (в частности, рождение многочисленных изолированных периодических решений и расщепление сепаратрис) несовместимо с существованием нового независимого аналитического интеграла. [c.74]

Несмотря на большой интерес к изучению течений с переходом через скорость звука, в их теории вследствие сложности исследования все еще много нерешенных задач. Наибольшее продвижение достигнуто в теории плоских потенциальных околозвуковых течений газа. Это продвижение связано в основном с использованием переменных годографа, в которых уравнения движения газа становятся линейными (см. 3), причем в околозвуковом приближении уравнение для функции тока сводится к уравнению Эйлера—Трикоми (6.26). Линеаризация уравнений в исходных переменных в рамках теории малых возмущений скорости, как уже говорилось ранее, при околозвуковых скоростях невозможна. [c.384]

Первая теория движения Юпитера и Сатурна, основанная на вычислении возмущений по дифференциальным уравнениям движения, принадлежит Эйлеру (1748). [c.484]

Однако здесь дело в том, что уравнение Бернулли—Эйлера лишь приближенно описывает изгиб упругого стержня и для больших значений q (для коротких волн) непригодно (подробнее см. 35). Если же оставаться в рамках этой приближенной теории, то противоречие снимается, так как указанное уравнение не определяет какой-либо максимальной скорости распространения возмущений. Возмущение по такой системе, хотя и ослабевая по мере удаления от источника, мгновенно распространяется по всей области, в которой система определена. [c.152]

В 1766 году Лагранж переехал в Париж, где был радостно встречен Даламбером, Клеро, Кондорсе и другими. В это время стало известно, что Эйлер оставил пост президента физико-математического класса Берлинской академии и переехал в С.-Петербург. Даламбер предложил кандидатуру Ла-1фанжа, Эйлер горячо ее поддержал, и 6-го ноября 1766года Лагранж переехал в Берлин, где и пробыл до 1787 г. Сборники Берлинской академии в этот период обогатились целым рядом блестящих работ Лагранжа как по математике, так и по общей и небесной механике. Именно к этому времени относятся его знаменитое решение задачи Кеплера (ряд Лагранжа), исследования по вопросу о вращении твердого тела вокруг неподвижного центра, решение задачи о притяжении эллиптического сфероида, создание основ теории возмущений и многие другие. [c.584]

Большое разнообразие встречающихся в физике Н, у. м. ф. затрудняет развитие общих матем. методов их исследования. Лишь для сравнительно немногих Н. у. м. ф. доказаны теоремы существования и единственности, к таким относятся ур-ния Янга — Миллса, ур-ния Навье — Стокса в двумерном случае, ур-ния газовой динамики. Для ур-ний Навье — Стокса в трёхмерном случае теорема единственности решения задачи Коши до сих пор не доказана. Затруднена даже проблема классификации Н. у. м. ф. Часть их попадает под классич. разделение на эллиптич., гиперболич. и параболич. ур-ния, но значит, число важных Н. у. м. ф. (среди них Кортевега — де Фриса ур-ыие, Кадомцева — Петвиашвили ур-ние) не могут быть отнесены ни к одному из этих типов. Нек-рую классификацию Н. у. м. ф. можно осуществить на основе физ. соображений. Прежде всего это разделение на стационарные и ЭВО.ТЮЦ. ур-ния. Большинство стационарных ур-ний относится к эллиптич. типу. Среди эволюц. ур-ний, явно содержащих производные по времени, можно выделить консервативные Н. у. м. ф., сохраняющие интеграл энергии, и диссипативные Н. у. м. ф., описывающие открытые системы , обменивающиеся энергией с внешним миром . Одним из интересных достижений теории Н. у. м. ф. было обнаружение того факта, что консервативные Н. у. м. ф., как правило, являются гамильтоновыми системами, хотя явное введение кано-иич. переменных зачастую оказывается трудной задачей. Установлена гамильтонова природа большинства консервативных обобщений ур-ний Эйлера и даже системы ур-ний Власова, описывающих плазму без столкновений. Для гамильтоновых систем, близких к линейным, развиты методы теории возмущений, позволяющие учитывать нелинейные эффекты и производить статистич. описание решений. Все перечисленные выше универсальные Н. у. м. ф., за исключением Бюргерса ур-ния и Хохлова — Заболотской ур-ния, являются гамильтоновыми. [c.315]

Классическая теория возмущений для описания орбитальных движений больших планет вокруг Солнца была разработана в основном Эйлером, Клеро, Лаграпжем,- Лапласом, Гауссом, Лс-верье, Ньюкомбом [12, 107—110J. [c.129]

Система переменных Андуайе - Депри не разбивается на позиционную и чисто импульсную составляющие подобно углам Эйлера и сопряженным им каноническим импульсам. Однако они очень удобны для применения метода теории возмущений, так как связаны с компонентами кинетического момента. В двух наиболее известных интегрируемых (невозмущенных) задачах динамики твердого тела — случаях Эйлера и Лагранжа — переменные С и Ь соответственно являются интегралами движения. Сходные системы оскулирующих элементов , не обязательно являющихся каноническими, использовались еще Пуассоном, Шарлье, Андуайе и Тиссераном при построении теорий физической либрации Луны и вращательного движения планет в небесной механике. Их введение в этом веке А. Депри в работе [71] преследовало цель прояснить фазовую геометрию случая Эйлера (см. 2 гл. 2) и позволило осознать их универсальный характер в динамике твердого тела — они использовались для применения методов качественного анализа в [92], где называются специальными каноническими переменными, и для численных исследований [28]. [c.47]

Вопросы второй и третьей категории до сих пор мало пссле-дованы, хотя часто появляются важные результаты. Моично вспомнить, например, исследования о рядах Эйлера и их значении для так называемых механических квадратур. Подобные исследования есть и в теории возмущени . Между тем здесь перед нами открывается непочатый край работы, где при помощи существующих методов исследования сходимости, несомненно, можно получить в высшей степени важные выводы для астрономии. [c.464]

Среди работ, затерянных в безбрежном океане статей и монографий, посвященных задаче трех тел, многие результаты и поныне не утратили своего значения. XVIII в. оставил нам частные решения Л. Эйлера и Ж. Лагранжа, теорию возмущений и метод вариации постоянных . XIX столетию принадлежит великое открытие па копчике пера , сделанное У. Леверрье и Дж. Адамсом. Идея представления решений в виде степеииых и тригонометрических рядов также в духе того столетия для вычисления орбит небесных тел астрономы до сих пор нередко используют методы, восходящие к исследованиям того времени. Итог исследованиям XIX в. подвели Новые методы небесной механики Л. Пуанкаре и знаменитая теорема К. Зундмана об аналитической регуляризации любого решения задачи трех тел с ненулевым значением момента количества движения. [c.133]

М. К. Newman [1.264] (1955) исследовал колебания консольной балки Тимошенко при ударном возбуждении ее конца. Для решения задачи применялось преобразование Лапласа с последующим аналитическим обращением интеграла Римана — Меллина, которое привело к бесконечной сумме вычетов. Произведены расчеты деформаций в заделанном сечении. Отмечается, что с уменьшением длительности прилагаемого Ихмпульса доминирующая компонента возмущения характеризуется все большей частотой и, когда она превосходит фундаментальную собственную частоту, теория Бернулли— Эйлера плохо описывает максимальные деформации. [c.59]

Когда Иоганн и Яков Бернулли, Клеро, Даламбер, Д. Бернулли, Ламберт, Эйлер и, наконец, Лагранж применили принципы Ньютона к различным задачам небесной и земной механики, то они столкнулись 00 следующим обстоятельством. С одной стороны, принималось почти за аксиому, что динамическая проблема разрешима в том случае, если она приводится к квадратурам (и к последующим операциям дифференцирования и исключения). С другой стороны, наиболее актуальные проблемы почти никогда к квадратурам не сводились. Гениальные усилия РГлеро привели в конце концов к систематической теории движения Луны и к теории возмущений больших планет, но не к желаемому решению с помощью квадратур . [c.177]

В 1745—1746 гг. Л. Эйлер вычислил возмущения Луны и предложил соответствующие лунные таблицы. Клеро и Даламбер опубликовали независимо друг от друга лунные таблицы, которые, как и эйлеровские, не давали точного движения Луны- Эйлер при этом даже обратился к некоторым элементам декартовой теории (сопротивление среды — эфира), но в дальнейшем недостатки лунных таблиц были исправлены на основе ньютоновой теории, ставшей фундаментом теоретической астрономии. Характерно, что при всем этом Эйлер стремился к механическому объяснению сил тяготения. [c.363]

В общем случае изучение механических процессов в начально-деформированных телах необходимо проводить в рамках нелинейной теории упругости. Однако, множество процессов, происходящих в начально-деформированных телах, можно рассматривать в рамках линеаризованной теории наложения малых деформаций (возмущений) на конечные деформации (начальное состояние) в предположении, что возмущения малы. Традиционно [30, 41, 42] различают три состояния тела естественное (ненапряженное) состояние (ЕС), начально-деформированное состояние (НДС) и актуальное (возмущенное по отношению к НДС) состояние. При этом особое значение приобретает выбор системы координат, которая может быть связана либо с естественной конфигурацией (система координат Лагранжа или материальная система координат), либо с актуальной конфигурацией (система координат Эйлера) [30, 41, 42]. Линеаризованные уравнения движения существенным образом зависят как от выбора системы координат, так и от выбора определяющих соотношений, поскольку имеет место возможность определения напряженного состояния различными тензорами (Коши, Пиола, Кирхгофа и т.д.) и множественность их представления через меры деформации (Коши-Грина, Фингера, Альманзи) или градиент места. Более детально с особенностями постановки задач для преднапряженных тел можно ознакомиться в монографиях А. И. Лурье [41], А. Лява [42] и А. Н. Гузя [30]. [c.290]

В работе [25] предложена простая теория усилителя, близкая по форме построения к теории неустойчивости Гельмгольца. Суть ее в следующем. Рассматривается односкоростной цилиндрический ламинарный поток несжимаемой жидкости с плотностью ро, который описывается гидродинамическими уравнениями Эйлера для радиальной vr) и продольной (г>г) компонент скорости. Возмущениями по азимутальной координате (р пренебрегают. В предположении, что под действием начального возмущения возникающие переменные величины изменяются по закону ex]) iuit — ikz), где ш — действительная величина, линеаризованные уравнения движения имеют вид [c.174]

Основы теории волн в упругом цилиндрическом стержне были созданы Похгаммером и Кри еще в конце прошлого века. Было установлено наличие различных форм собственных волн. В дальнейшем исследования по распространению нестационарных волн в элементах упругих конструкций проводились, как правило, на основе приближенных уравнений, которые получали из соответствующих уравнений статики. Добавление к этим уравнениям инерционных членов позволило построить решения задач о распространении волн, однако некоторые выводы при этом оказались в противоречии с результатами теории упругости. Так, скорость распространения возмущений при динамическом изгибе стержня, определенная по уравнению Бернулли — Эйлера, не имеет верхнего предела, в то время как по теории упругости она должна быть ограничена скоростью продольных волн в сплошной среде. Упомянутое уравнение вообще не позволяет установить наличия фронтов волн. Скорость продольной волны, определяемая приближенным уравнением продольных колебаний стержня, хотя и ограничена, но не совпадает с соответствующей скоростью из теории упругости (см. 35). [c.10]

В итоге найденные с помощью уравнения теории упругости значения напряжений в точке оказались одинаковыми, что подтверждает правильность результата. Ценность этого пути рещения уже рещенной задачи состоит в том, что он показывает возможность использования методов теории упругости для расчета процессов течения жидкости. Анализ данного рещения показал, что этот путь является более сложным и более общим, чем непосредственное интегрхфование уравнения Эйлера, однако с его помощью можно получить новые, ранее неизвестные результаты. К числу таких результатов относится возможность расчета напряженного состояния при течении разрывных потоков (с негладким распределением функций). Такой путь рещения задачи движения жидкости, однако, связан с допущением, что уравнения течения жидкости так же, как и уравнения движения твердого тела, - линейные. Это существенное ограничение не позволяет распространить такой метод на любые задачи расчета течения жидкости и ограничиться рассмотрением течений с квазитвердым ядром. Обычно к таким случаям относят относительно тонкие течения, например, течения в водяных или газовых воронках, а также волны возмущения. [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...